应用回归分析_第2章课后习题参考答案
1. 简答题
1.1 什么是回归分析？
回归分析是一种统计建模方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。它通过建立数学模型，根据已知的自变量和因变量数据，预测因变量与自变量之间的关系，并进行相关的推断和预测。正则化最小二乘问题
1.2 什么是简单线性回归和多元线性回归？
简单线性回归是指只包含一个自变量和一个因变量的回归模型，通过拟合一条直线来描述两者之间的关系。
多元线性回归是指包含多个自变量和一个因变量的回归模型，通过拟合一个超平面来描述多个自变量和因变量之间的关系。
1.3 什么是残差？
残差是指回归模型中，观测值与模型预测值之间的差异。在回归分析中，我们希望最小化残差，使得模型与观测数据的拟合效果更好。
1.4 什么是拟合优度？
拟合优度是用来评估回归模型对观测数据的拟合程度的指标。一般使用R方（Coefficient of Determination）来表示拟合优度，其值范围为0到1，值越接近1表示模型拟合效果越好。
2. 计算题
2.1 简单线性回归
假设我们有一组数据，其中X为自变量，Y为因变量，如下所示：
X
Y
1
3
2
5
3
7
4
9
5
11
我们想要建立一个简单线性回归模型，计算X与Y之间的线性关系。首先，我们需要计算拟合直线的斜率和截距。
根据简单线性回归模型的公式 Y = β0 + β1*X，我们可以通过最小二乘法计算出斜率和截距的估计值。
首先，计算X和Y的均值：
mean_x = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) / 5 = 3
mean_y = (3 + 5 + 7 + 9 + 11) / 5 = 7
然后，计算X和Y的方差：
var_x = ((1-3)^2 + (2-3)^2 + (3-3)^2 + (4-3)^2 + (5-3)^2) / 5 = 2
var_y = ((3-7)^2 + (5-7)^2 + (7-7)^2 + (9-7)^2 + (11-7)^2) / 5 = 8
接下来，计算X和Y的协方差：
cov_xy = ((1-3) * (3-7) + (2-3) * (5-7) + (3-3) * (7-7) + (4-3) * (9-7) + (5-3) * (11-7)) / 5 = 4
根据最小二乘法的公式：
β1 = cov_xy / var_x = 4 / 2 = 2
β0 = mean_y - β1 * mean_x = 7 - (2 * 3) = 1
因此，拟合直线的方程为：Y = 1 + 2X。
2.2 多元线性回归
假设我们有一组数据，其中X1和X2为自变量，Y为因变量，如下所示：
X1
X2
Y
1
2
5
2
3
8
3
4
11
4
5
14
5
6
17
我们想要建立一个多元线性回归模型，计算X1、X2与Y之间的线性关系。首先，我们需要计算回归系数的估计值。
根据多元线性回归模型的公式 Y = β0 + β1X1 + β2X2，我们可以通过最小二乘法计算出回归系数的估计值。
首先，定义自变量矩阵X和因变量向量Y：
X = [[1, 2], [2, 3], [3, 4], [4, 5], [5, 6]]
Y = [5, 8, 11, 14, 17]
然后，计算X的转置矩阵X’和X’与X的乘积X’X：
X' = [[1, 2, 3, 4, 5], [2, 3, 4, 5, 6]]
X'X = [[55, 70], [70, 95]]
接下来，计算X’与Y的乘积X’Y：
X'Y = [195, 260]
最后，根据最小二乘法的公式：
β = inv(X'X) * X'Y = [[-0.5], [2.5]]
因此，回归模型的方程为：Y = -0.5 * X1 + 2.5 * X2。
3. 思考题
3.1 残差分布检验
在回归分析中，残差分布检验用于检查回归模型中残差是否满足正态分布的假设。一种常用的方法是绘制残差分布的Q-Q图。
Q-Q图是一种图形工具，用于比较两个概率分布之间的差异。在残差分布检验中，我们将残差的排序值与一个标准正态分布的排序值进行比较，并绘制成散点图。

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