现代测量与现代平差技术
摘要:本文首先简述了现代测量平差中的各种理论与经典测量平差之间的关系,指出现代测量平差与数据处理理论仍然是以高斯-马尔柯夫模型为核心,通过该模型在不同层面上的扩充、发展形成了若干新理论、新方法,并以图描述了经典测量与现代测量数据处理中各种理论之间的关系。然后分别阐述了现代测量数据处理中粗差理论、系统误差的处理、病态问题的处理、非线性问题的处理、不等式约束的平差等的发展,最后综述了其他数据处理理论的一些发展情况。最后讲了整体平差法是一个严格而又有效的平差方法,其应用与现代计算机技术密切相关。具体介绍了整体平差法的基本原理,并以实测GPS控制网的布设为例,探讨了它在现代测量控制网建立中的具体应用及其技术优势。
关键词:经典测量平差;现代测量平差;高斯-马尔柯夫误差模型;误差模型扩展 整体平差　分级平差　GPS控制网
Abstract: This paper described the relationship between the theories in modern surveying adjustment and the traditional surveying adjustment. It pointed out that the theories of modern surveying adjustment and the data processing should be still based on Gauss-Marko
v error model. Through enlargement and development in different aspects of the model, new theories and methods are worked out. A figure showing such relationship is given.Meanwhile, the theories on blunder detection, systematic error processing, ill-pose problem, nonlinear model,inequality constraints are elaborated. At the last the progresses of other theories on data processing are
summarized.Key words: traditional surveying adjustment; modern surveying adjustment; Gauss-Markov error model;extension of error model
1、现代测量平差与数据处理理论发展概述
经典的测量平差与数据处理是以高斯-马尔柯夫模型为核心[1]:
L=AX+Δ(1a)
E(Δ) = 0,D(Δ) =σ20Q=σ20P-1(1b)
Rnk(A) =n,R(Q) =R(P) =n(1c)
这里L为观测向量,Δ为误差向量,X为未知参数向量,A为X的系数矩阵,E(·)为数学期望,σ2为单位权方差,P为观测权矩阵,Q为协因素矩阵,n为观测个数。现代测量平差与数据处理理论仍然是以高斯-马尔柯夫模型为核心,通过该模型在不同层面上的扩充、发展形成了若干新理论、新方法。例如,误差从独立扩展到相关导出了相关平差的理论[2],误差从偶然误差扩展到系统误差引出了系统误差处理的有关理论和方法[3~5];误差从偶然误差扩展到粗差导出了粗差探测理论、稳健估计理论等[6~8],系数矩阵从满秩扩展到病态引出了病态问题的处理理论、有偏估计等[9~11],从满秩扩展到秩亏则引出了秩亏网平差理论;参数从无先验信息扩展到有信息先验则引出了滤波、配置和推估、Bayes方法等[12];参数从与时间无关扩展到与时间相关引出动态测量数据处理理论[13,14];观测从单一种类观测扩展到多类观测引出方差估计理论、信息融合等理论[12,15];模型从线性扩展到非线性引出了非线性平差理论[16,17];模型从无约束扩展到有等式约束、到不等式约束导出了附不等式约束平差理论[18~20];待估参数扩展到函数导出非参数统计、小波分解、半参数回归等[21,22]。各种现代平差理论与方法与经典平差模型的关系可以描述如图1.1所示。
图1.1 各种现代平差理论与方法与经典平差模型的关系图
本文将根据上述扩展,分别论述现代测量数据处理中粗差处理、系统误差处理、病态问题处理、多元异质数据处理、先验信息处理、动态测量数据处理、非线性模型处理、不等式约束问题处理等方面的进展。
2、粗差处理处理理论与技术的发展
经典的测量平差与数据处理理论是建立在观测误差为偶然误差的假设上的,最小二乘估计的最优性也只是在观测误差为偶然误差的假设基础上成立。但观测难免会出现粗差,特别是现代测量中,观测数据量大、自动化程度高,影响观测的各种环境因素难以控制的情形。有统计学家曾经根据大量数据分析指出生产实际和科学实验中,粗差的出现大约占观测总数的1%~10%[8]。当观测出现粗差时,传统的最小二乘方法则难以取到最优结果。欧自强[24]曾经研究比较了当观测受粗差污染(观测服从污染分布)时最小二乘估计与一范估计的性质,结果表明,观测受到很小的污染时,一范估计就会优于最小二乘估计,这是统计研究的结果。实际上,粗差的出现,特别是大粗差的出现往往会给经典平差的结果带来严重的影响,因此,在现代测量数据处理中如何消除粗差的影响就显得越来越重要。
现代测量与数据处理理论中,粗差影响的消除主要是从两个方面开展研究的,一是把粗差看做非随机,从粗差主要影响观测值的均值的角度开展研究,即使用污染误差模型中的均值移动模型作为误差模型,使用粗差探测的有关方法来发现和剔除粗差;二是把粗差看做一种随机的大误差,从粗差主要影响观测方差的角度开展研究,即使用污染误差模型中的方差扩大模型作为误差模型,使用抗差估计(稳健估计)等方法来消除粗差的影响[3,7]。
在粗差探测方面,最早由Baarda提出了的数据探测法(Data-snooping)[25],
Wi=Viσvi(2)
这里Vi为观测改正数,σvi为改正数的均方误差,Wi为粗差探测统计量。该方法原则上只适用于一维粗差探测。对于多维粗差探测,国际国内许多专家使用不同的数学和统计方法都进行过尝试[3,26],近年,欧吉坤教授又提出了拟准平差的方法[27],目前仍然有学者从事这方面的研究。对于数据量大、变量多的情形,实用上,仍然是一维的方法代替多维方法进行探测。根据粗差探测的能力,又可以判断观测和估计结果的可靠性,从而建立测量方案设计的可靠性理论。
在稳健估计(抗差估计)方面,稳健估计的研究源自Huber等人的稳健统计理论[8,28]。其估计可以用如下模型描述[29]:
∑ρ(V) =∑VTPVV= min (3a)
PV=
P(V1) 0…0
0 0┇
┇0P(Vi) 0
0…0
(3b)
这里观测方程由(1)式确定。各种稳健估计表现出的差别在于权函数P(Vi)的不同。国际上最早提出的是丹麦法权函数,李德仁教授基于验后方差的思想提出了一种权函数,王之卓教授称之为“李德仁方法”。周江文教授提出了等价权的思想并由此提出了抗差估计的IUGG方案,杨元喜教授等进一步完善了周江文教授的有关理论与方法,并使这一理论和方法得到了全面的推广应用。朱建军基于均方误差的概念提出了均方误差最小的权函数[30]。并利用污染误差模型,将有关的理论和方法统一,建立了污染误差模型下的测量数据处理理论[7]。稳健估计的其他研究主是一范和P范方面的研究。
3、系统误差处理理论与技术的发展
关于系统误差的处理目前国际国内通用的主要方法是采用附加系统参数的平差方法:
L=AX+HΔS+εn(4)
即根据观测对象、观测过程、及外界条件的物理特性等先验信息,建立系统误差与某些因素的函数关系,通过附加参数实现消除系统误差影响的目的。当系统误差的性态比较简单,函数关系比较准确时,这种方法能很好地消除系统误差的影响。但如果系统误差关系比较复杂难以用简单的函数描述时,这种方法则难以取得很好的效果。另一种传统的方法是通过精化客观的物理模型来削弱系统误差的影响(精化模型法),例如,通过精化大气模型等来改正和减少大气的系统性误差影响,通过精密星历来减少轨道误差的影响等,但数学模型与客观实际总会有差别,特别当客观实际变化较大难以用数学模型描述时,这些方法的应用就会受到限制。
例如,对于GPS定位测量,即使使用精化模型后,残余的误差仍将会以系统误差为主。第三种方法是半参数回归的方法[21,22],半参数方法的优点是不需要对系统误差或模型误差的规律有明确的了解,因而这种方法在近年得到了测绘工作者的广泛重视。其缺点是只利用了数值计算中函数的光滑性去逼近非参数部分,目前并没有成熟的方法利用关于系统误差的先验知识。系统误差处理还有一些其它的方法,例如差分方法、观测值的线性组合方法等,这些方法主要是针对一些特殊的测量手段(如GPS),并且只在一定范围内有效(如短基线)。
4、病态问题处理理论与技术的进展
平差模型的另一个发展是将误差方程系数满秩扩展到秩亏和病态。秩亏和病态的平差模型形式上与经典平差模型没有区别,但经典的平差模型是隐含了系数矩阵A满秩的假设。对于传统的测量技术来说,由于技术手段单一,严格按照技术规范制定测量方案,一般很难出现系数矩阵病态的情况。例如,传统的平面三角测量,规范严格规定三角形内角必须在30~120°之间,特殊个别情况也应大于20°,按这个规定布设的三角网肯定不会病态。但现代测绘的许多领域难以满足这一要求,例如大地测量反演、卫星重力的向下延拓、GPS的快速定位、近景摄影测量等都存在病态问题。
当方程病态时,最小二乘平差的结果非常不稳定,质量很差。为解决这一问题,研究工作是从两个方面展开的,一是有偏估计,二是正则化方法。Stein首先于1955年证明了当维数大于2时,正态均值向量的最小二乘估计是不容许估计,由此开辟了有偏估计的研究。1970年Hoerl和Kennard从改善系数矩阵病态性质的角度提出了岭估计,其做法是在法方程系数矩阵对角线上加上一个微量从而达到改善方程病态的目的:
X^= (ATPA+kI)-1ATPL(5)
这里k为岭参数。实践表明选择合理的岭参数确实能有效地改善病态方程的解。岭参数的选择最早提出的有双h公式、Hoerl-Kennard-Baldwin迭k公式及Lawless-Wang的迭k公式[31]等。目前主要有岭迹法、有广义交叉核实、L曲线法、双h及改进类方法。在大地测量领域,归庆明提出利用特征根来确定岭参数[32],朱建军则针对岭估计效果与参数真值大小有关这一特性,提出了对参数估计量及岭参数同时迭代的方法,该方法对岭参数的初值选取要求很宽松[33]。
正则化方法是Tiklonov于1960年代初基于“稳定的近似解”的概念提出的,具体做法是对最小二乘准则进行适当的修正(近似):正则化最小二乘问题
VTPV+αΦ(X) = min (6)

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