Abstract
There are a lot of applications of inverse problems in science and engineering, inverse problem and its solution methods have been a hot research field. The difficulty in solving inverse problem is its ill-posed characteristic, that is the existence、uniqueness and stablility of the solution. For the most inverse problems in engineering, the existence of the solution is evident, there must be the reason for a kind of result. But the uniqueness and stablility of the solution are the problems. There have been lots of computational inverse techniques for solving this kind of ill-posed inverse problems. In all these methods, Tikhonov regularization method is the most popular method to solve the ill-posed inverse problems.
(1) The ill-posedness is the characteristic of inverse problems, take an example of the Fredholm integral equation to illustrate the influence of ill-posedness.
(2) The modified Tikhonov regularization method is presented based on genetic algorithm, the superiorities of the two algorithms are inherited. The numerical computation of the method is very important to the precision of the solution, genetic algorithm is employed to implicit the regularization algorithm numerically, as it is a kind of adaptive global algorithm based on evaluation. The validity of this combined method is proved by the inverse parameter estimation problem of a cantilever beam.
(3) The method is applied to a parameter estimation of a drawbead model, the Bauschinger effect and the incline of the neutral layer are estimated by the measured drawbead restraining force.
A kind of credible, effective and stable inverse solution method is presented for ill-posed inverse engineering problems in this research. We can better estimated the system or improve the efficiency by implementing the method in engineering.
KeyWords: Genetic Algorithms; Inverse problem; Regularization; Ill-posed problem
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第 1 章绪论
反问题及其求解方法一直以来是一个具有挑战性的研究课题，反问题在很多科学和工程技术领域都有相当广泛的应用，这方面的研究受到很多学者的关注。科学界的研究促进了反问题理论的发展，工程界的关注加强了反问题的应用。在工程实践中，存在很多问题需要通过反求技术来达到目的，如设计问题，识别问题等。对反问题本身而言，它考察的是相应正问题的逆过程，是一门与诸多技术领域相关的交叉学科，因此对它的研究涉及到很多学科。总体上来说，它是通过效果或是表象来寻究产生这种现象的动因或是模型本身。
1.1 研究的意义和工程应用背景
自20世纪60年代以来，反问题理论及方法得到了迅速发展，它已经渗透到各个领域，例如医学中的CT成像技术，考古学中对文物历史年代的判定，信号图像处理，自动控制，量子力学，工程中的超声波，无损探测问题乃至经济决策等等[1-5]。反问题的提出是相对于正问题而言，其基本特征是通过“效果，输出”反演“原因，输入”。
反问题的研究意义可以从其所属分类考虑，一方面反问题用于识别原始系统，在工程实际中，通常由测量得到一定的响应参数，如地震时的地震波、成形图像或是位移或速度响应等，而产生这种响应的系统本原究竟为何或相应的某些输入参数有时候是未知或是难以测量的，由产生的这种响应和系统模型来反推这些参数即为系统识别问题；另一方面，研究反问题的目的还用于设计系统，希望达到一定的目标而如何设计系统、如何调整系统参数，即为设计问题，由目标来确定系统中的不确定性因素。
就车辆工程学科来说，仅仅在车身设计和制造方面就存在大量的反问题，其中模具设计就是一典型的反问题过程。通常我们对所需要的产品有直观的认识，而在设计模具中就需要考虑材料在受力过程中的变化，如起皱、断裂及回弹现象等。为了尽量减小上述现象对模具的影响，就需要考虑材料在冲压成型中的受力情况；而回弹现象又同时影响了产品的质量，假如所需产品存在45度倒角，而由于材料在冲压过程中存在回弹现象，因此设计模具时它的角度并非是45度，那么模具的倒角究竟是多少才能达到要求，
这就是一个反求问题。车辆工程中还存在各种各样诸如此类的反问题，比如毛胚反演问题，材料参数反求问题，摩擦系数反求问题等等。
各个领域的反问题求解存在其特，但在反求思路和方法上也存在一些共性，
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同时也存在一些跨学科的计算反演方法。现在广泛使用的求解方法有各种优化方法及智能方法，如蒙特卡罗方法，神经网络方法和遗传算法等，他们对有些反问题的求解是很实用的。但是反问题中存在一类求解困难的不适定性反问题，它的求解曾困扰了反问题的发展。所谓适定性的概念是与所考察问题的解的存在性，唯一性和稳定性问题相关，若有一个性质或是这三个性质均不能得到满足，此问题为不适定性问题。对大多数反问题而言，这种不适定性是与生俱来的，也可以说是反问题的固有特性，而具体问题不适定性的程度又同所考察问题本身有关。对于此类不适定性问题，通常从其问题本身出发，采用拓广或缩小问题的求解域、增加解的限制条件或者对问题本身进行转化等方法，以便减弱问题的不适定性作用，将它们尽量转化为适定性问题解决。但这些方法中，有的限制条件过多，有的数值实现困难，有的不能从根本上解决问题。这就使得对不适定性反问题的求解方法研究成为重中之重。
通常在对反问题进行求解时，首先需要考虑问题是否适定，若是不适定的，则有可能通过一般反求方法得到的结果与所需要得到的真实情况不符，尤其是适定性的第三个性质（解的稳定性）对数值计算是十
分重要的，否则问题的不适定性就会发挥作用，使得实验数据的微小误差被放大，导致解的大幅震荡，从而使求解失去意义。而数据的微小变化在数值计算中是无法避免的，例如测量数据的误差，计算机的舍入误差等，在进行反演计算时，已知数据通常都是测量得来的，无论测量工具多么先进，测得的数据都或多或少存在误差，并且方程的离散过程往往也不可避免误差的存在。由于反问题的不适定性，如果采用传统的处理适定问题的反演计算方法来求解就会得到不稳定的结果，而使得求解结果失去意义，因此我们必须针对不适定性问题采用特殊方法来解决，从某种方面来说工程技术的需要推动了反问题的发展。反问题的求解经历了一个漫长的发展历史，也相应产生了许多方法，诸如脉冲谱技术，广义脉冲谱技术，最佳摄动量法，蒙特卡罗方法及各种优化和正则化方法等[1]。其中，最具有普适性，理论上完备而且行之有效的方法，就是由Tikhonov以第一类算子方程为基本框架而创造性的提出，后来得到深入发展的正则化方法。这种方法是求解不适定性反问题的稳定近似解的一种数值方法，能较好的解决病态问题，使其转化为适定性问题进而得到解决。
1.2计算反演技术的发展历史及研究现状
反问题的研究经历了漫长的发展历史，它不仅与不适定性问题理论密切相关，而且还与数值计算方法的发展有关，并且反问题的发展带动了众多学科的共同发展。
总体上来说，反问题的发展经历了三个阶段[6]：第一阶段是反问题的起步阶段。反问题的一个很重要的特点就是问题是否适定，自20世纪初由Hadamard定义了问
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题的适定性的概念（即待求问题满足解的存在性，唯一性和稳定性）以后，对反问题的研究更深入了。特别是近几十年来，在控制与识别、遥感、资源勘探、航空航天、核反应堆、大气测量、海洋工程、生物医学等自然科学和工程技术领域，都提出了大量的反问题，而且发现这些问题很多均是不适定的，于是问题的提出极大地推动了反问题理论与方法的研究与发展。计算机技术、仿真技术及计算方法的飞速发展都给反问题求解方法的发展提供了条件；在反问题发展的第二阶段，基于实际应用的推动，很多学者在不适定性问题的理论及求解方法上做了大量的工作，并取得了丰硕的成果，提出了多种针对此类问题的求解方法，如选择法、拟解法、光滑化方法及正则化方法等[4]。此阶段为反问题发展的阶段，也为数值反演技术发展的阶段。以前苏联数学家A. N. Tikhonov院士为主的科学工作者对反问题理论探索做出了巨大的贡献，为不适定性问题的求解奠定的了坚实的数学基础。
A. N. Tikhonov的工作主要集中在1974年出版的专著《不适定问题的解法》中，书中详细介绍了不适定问题的理论及各种求解方法及其应用实例，该专著于1977年出了英译本[4]，中文版于1979年由地质出版社翻译出版[5]。D. S. Tsien与Y. M. Chen 在求解流体力学反问题时最早提出了脉冲谱方法[7]；80年代以后为反问题发展的第三阶段，在此阶段，需要解决的问题主要是进一步完善各种求解方法，探索反问题新的解法，提高反问题的求解精度，拓宽反问题的应用领域，向多维反问题方面发展等。自1973年A. N. Tikhonov主持召开了“全苏不适定问题解法及其应用”的学术会议后，美国也于1979年在Delaware大学
召开了题为“不适定问题的理论与实践”的国际研讨会。现在，美国每年都举办“反问题”研讨会。目前国际上有专门反映反问题理论和应用研究进展的国际刊物“Inverse Problems”, “Inverse Problem in Science and Engineering”等。另外很多学者对反问题的应用也做了大量的研究，Keith A. Woodbury[8]于2002年出版了著作《Inverse Engineering Handbook》，详细讨论了反问题的各种求解方法，并以热传导问题为实例进行详述；Liu G. R 等于2003年出版了《Computational Inverse Techniques in Nondestructive Evalution》[9]，书中详细介绍各种计算反演方法，并将方法应用于无损检测问题；Curtis R. Vogel[2]在其著作《Computational Methods for Inverse Problems》详细讲解了各种求解方法及多种正则化参数选择方法；Heinz W. Engl[10]出版了著作《Regularization of Inverse Problems》，他对正则化理论做了深入的探讨，从理论上更进一步推动了方法的发展。我国在此领域起步较晚，80年代初在著名学者冯康教授的大力倡导及大量实际问题的推动下，许多数学和科技工作者才投身于该领域的研究，相继发表了很多著作，其中有肖庭延[1]等的《反问题的数值解法》，刘继军[11]的《不适定问题的正则化方法及应用》等等。值得注意的是，1999年3月在北京召开的第113次“香山科学会议”以反问题作为主题进行了跨学科的学术探讨，在国内尚属首次，与会的科学家来自数学、化工、能源、物理、材料、航天等领域，从各自
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的领域出发对反问题的理论与方法及其应用进行了3天的热烈讨论，并达成共识“作为实现科学创新重要
途径的反问题研究对当今中国非常重要”[12]。
伴随着反问题的发展，计算反演技术也得到迅速发展，其中正则化方法是专门针对反问题的病态性的数值计算方法，它的研究极大地推动了反问题的发展。从正则化方法提出到现在，已有众多学者在这方面做了大量的工作，提出很多种正则化方法，如Tikhonov正则化方法、截断奇异值分解正则化方法、离散正则化方法、迭代正则化方法及滤波方法等，这些方法目的都是减弱问题的病态性，把其转化为适定性问题解决。在工程实际中，不适定性反问题是广泛存在的，这就使得对它进行快速而精确的求解成为一重要问题，对不适定性反问题的研究主要集中在以下方面：
(1) 反问题解的存在性和唯一性问题在工程应用中，反问题的解的存在性一般并不深入考虑，一种结果的存在必有导致这种结果的原因，在工程中解的唯一性是一个重要的研究课题。反问题考察的是正问题的逆过程，当对反问题进行求解时，很自然的会涉及到正问题的研究。当与反问题相对应的正问题不存在唯一解时，反问题也不存在唯一解，即反问题是针对适定正问题的，然而，正问题有唯一解，相对应的反问题的解也有可能不唯一。当已知信息量少于未知量的数目时，肯定无法获得唯一的反演解，当己知信息量多于未知量的数目时，可得到唯一的解或者得不到解，这是反问题的不适定性，是反问题的一大难点；
正则化网络(2) 反问题的求解方法和算法的稳定性探讨由于反问题不适定性的特点，其求解方法也必然存在不同于
正问题的解决方法。与正问题方法相对应，反演计算方法有解析法，半解析法和数值解法等。其中基于优化思想的反演算法研究比较多，但目前还没有形成统一的求解方法。反问题对误差十分敏感，即不管原始数据变动多么小，都可能造成解的任意大的变化，这就造成了反问题解的不稳定性，所以对原有算法进行修正或者探索新的反演算法，增强算法对误差的抗干扰能力，就显得尤为重要。
目前，对反问题的研究仍然是各学科的热点，特别是对不适定性反问题的解决，在这方面的研究主要集中在如何提高近似解的精度及解的稳定性，如何选择正则化参数以尽量使得问题便于求解，如何选择计算方法快速求解反问题。
1.3 本文的主要研究内容
本文在前人研究的基础上，主要针对反问题的求解方法做研究，提出了一种遗传算法和Tikhonov正则化方法相结合的方法，以便于工程应用。文中考虑两种方法的优点，结合工程反问题的复杂性特点，将二者进行算法上的融合，以便扩大方法的应用范围。应用一个数值算例证明方法的有效性，并考察一个工程实际问题，以显示方法的工程应用价值。基于上述构思，主要做了以下工作：
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