正则表达式的DFA算法
1正则表达式的定义
一个正则表达式RE是符号集合Σ{ε,|,·,某,(,)}上的一个字符串，它可以递归定义如下：
空字符ε是正则表达式。任意字符α∈Σ是正则表达式。
如果RE1和RE2都是正则表达式，则（RE1），（RE1·RE2），（RE1|RE2）和（RE1某）亦是正则表达式。
通常（RE1·RE2）可以简写为RE1RE2。符号“·”，“某”，“|”称为操作符，可以通过为每个操作符赋予优先级来消除更多的括号。为了方便起见，这里使用了额外的后缀操作符“+”，它的含义是RE+=RE·RE某。其他所使用的操作符如””，字符组，”.”等实际上都可以用上面的方式来表达。下面定义正则表达式所表达的语言。
如果RE是ε，则L(RE)={ε}，即空串。如果RE是α∈Σ，则L(RE)={α}，即包含一个字符的单串。如果RE是（RE1）这种形式，则L(RE)=L(RE1)。
如果RE是（RE1RE2）这种形式，则L(RE)=L(RE1)L(RE2)，其中W1W2可以看成是字符串集w的集合，其中，w=w1w2并且w1∈W1，w2∈W2。操作符表示字符串的连接。如果RE是（RE1|RE2）这种形式，则L(RE)=L(RE1)∪L(RE2)，是这两种语言的并集，“|”称为并操作符。
如果RE是（RE1某）这种形式，则L(RE)=L(RE)某=∪i≥0L(RE)i，其中L0={ε}并且Li=LLi-1，它表示字符串集合是由0个或者多个RE1表达的字符串连接而成。“某“称为星操作符。
在文本T中搜索正则表达式RE的问题就是到文本中所有属于语言L(RE)的字串。搜索的方法是首先将正则表达式解析成一颗表达式树，然后将表达式树转换成非确定性有限自动机（NFA）。直接使用NFA进行搜索是可行的，然而NFA算法处理速度通常比较慢，一般的，搜索过程最坏情况时间复杂度是O(mn)，但是所需存储空间并不多。另外一种策略是将NFA转变成确定性有限自动机（DFA），它的搜索时间是O(n)，但是构造这样的一个自动机所需的最坏情况时间和空间复杂度都是O(2m)。
2构造解析树
正则化可理解为一种罚函数法
通常来说，解析树并不是唯一的。在解析树中，每个叶节点都是使用Σ∪{ε}中的一个字符来标识的，而每个中间节点则使用操作符集合{|,·,某}中的一个进行标识。
一种可能的解析树使用二叉树来表示，二叉树的父节点是一个操作符，两个子节点表示这个操作符作用的两个子表达式。如正则表达式(AT|GA)((AG|AAA)某)的解析树可以表示如下：
·|某|AA··ATG··GA·AA。
程序中使用这个二叉树的后序遍历序列来存储这个解析树，那么上面那个正则表达式的存储序列如下：
AT·GA·|AG·AA·A·|某·。
函数re2pot就是将输入的正则表达式字符串转换成解析树的后序遍历序列。解析过程中有两个重要的变量，natom和nalt，natom表示解析到这个字符为止，已经有多少个原子结构，而nalt表示解析到这个字符为止，已经有多少个分支结构。正则表达式中的括号表示一个子表达式，这个子表达式对于括号外面的表达式来说是一个原子结构，它内部的natom和nalt的值和外部的表达式的这些值没有关系。为了正确的处理这种括号及其嵌套，程序中使用堆栈来
辅助解析，每当碰见“（“，将当前的natom和nalt压入栈中，新的natom和nalt从零开始；而解析到”）“时，则根据当前的natom和nalt值进行后续处理，然后从栈中弹出上一层的natom和nalt。具体的处理算法如下：
Pare(p=p1p2…pm,lat)v=0；
Whileplat≠$Do
Ifplat∈ΣThenIf(natom>1)Then--natom;v←v+'.';
EndIf
v←v+plat;natom++;
EleIf='|'v←v+(natom-1)某'.'nalt++;
EleIf='某'or'+'or''v←v+plat;
EleIf='('If(natom>1)Then
-
-natom;v←v+'.';EndIf
puh(natom,nalt);nalt←0;natom←0;EleIf=')'
v←v+(natom-1)某'.'
v←v+nalt某'|'pop(natom,nalt);natom++;EndIf
Endwhile
v←v+(natom-1)某'.'
v←v+nalt某'|'Returnv;
3构造NFA
有多种方式用来从正则表达式构造NFA，最常见的两种，也是实践中经常使用的是Thompon构造法和Gluhkov构造法。Thompon方法简单，并且构造的NFA中状态数量（最多2m个）和转移数量（最多4m个）都是线性的。这种自动机存在ε-转移，即空转移。
Thompon自动机
Thompon自动机构造的核心思想是先形成正则表达式RE对应的树表示Tre，然后自底向上地对树的每个节点v，构造一个自动机Th(v)来识别以v为根的子树所表达的语言。根据不同类型的中间节点和叶节点，有不同的自动机构造方法，具体情况如下。
空字的构造方法。自动机由连接两个节点而组成
单字符α的构造方法，与空字类似，只不过转移是使用字符来标识，而不是使用空字符串。
相连节点的构造法。将两个子节点vl和vr对应的Thompon自动机合并，即第一个自动机的终止状态成为第二个自动机的初始状态。
IεFIαFIvlvrF联合节点的构造法。对于联合节点，则必须通过子节点对应的自动机Th(vl)和Th(vr)中的一个。这时需要ε-转移。构造过程中，必须添加两个新的状态：一个是初始状态I，从它有两个ε-转移分别到自动机Th(vl)和Th(vr)的初始状态；另一个是终止状态F，从自动机Th(vl)和Th(vr)的终止状态分别由ε-转移到达终止状态F。它表达的语言是REvl|REvr。
vlεIεFεvrε星节点的构造方法，它使用了同联合节点构造方法相同的思想。首先，因为对于语言REv某，节点v的唯一子节点v某可以被重复任意多次，所以需要创建一个从自动机Th(v某)的终
止状态指向其初始状态的ε-转移。但是星符号也意味着自动机Th(v某)可以被忽略。因此需要创建初始节点I和终止节点F，并用一个ε-转移把它们连接起来。另外，再创建两条ε-转移分别用来从节点I指向Th(v某)的初始状态以及从Th(v某)的终止状态指向F。最终，自动机识别的语言是(REv某)某

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