生物热物性全参数辨识方法（TITP）的稳定求解措施——正则化途径
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北京生物医学j挫l9fF第15卷第4期
生物热物性全参数辨识方法(TITP)的稳
定求解措施——正则化途径
刘静堡主生王存诚孛晋
诗华夫学热能(1?
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A内容提要针对隹物体内空间1}均匀热物性的全参数辨识方法(T盯P法)，叫确地指出r求解
该娄反削题的数值方法上的特殊性；将Tlkhonov正则化方法引入谖问题的求解，给出r{戋方法
存实际处!过程中的具体步骤，初步考察lr其算法特性，从而使T物性测试方法的坪讫基础
进步得到完善
关键词生物传热热参数T兀1P法止则化法
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引言
生物热物性参数在临床热医学工程的研究和应用中具有分重要的作用，它们是揭示生
物材料的热质传输能力和载热能力以及进一步开展生物传热研究的前提ll1.事实上，在各类
生物组织的传热模型中，都包含了热导率，热扩散率，血液灌注率和代谢率等最基本的物理
参数.然而，由干生物组织中同时兼有血液流动换热和固体导热，内部还存在有代谢热
源，且这些参数并非均匀分布，而是随着空乃至温度变化的，所以同时测出这些参数尤其
是它们的空间变化极为困难.
关于生物热物性测试方法的研究进展大致为Chato设计的等温加热法[zl是一大突破,
它首次得以测定活体组织的热导率，血液灌注率和热扩散率.不过其法必须经离体和活体两
步，因而不能很好地反映在体性质;Chen等设计的等热流脉冲方法【30及其推j 形式如Arkin
等人所发展的TPD热脉冲衰减技术是生物热物性测试方法的另一个重要进步，它们可同
时在体测取活体组织的热导率和血液灌注率数据.此外，虽然也发展过一些其它形式的测试
方法，但基本上都是围绕上述几方面展开的变形和改进.不难看出，这些方法除了只能测试
极简化情况下的有限几个常热物性外，并不能测出代谢率的大小，而且各方法几乎都是基于
Pennes方程设计的.一旦方程形式发生改变，则均不再适用，而我们知道Pe~uaes方程本身就
存在有争议，因而基于=该模型建立的上述方法的局限性是显而易见的.总之，寻求切实可
行且能同时测取活体组织中多种非均匀热参数的方法始终是当前生物传热学研究的重要内
容.
针对这种形势，我们从原理上没计了一种新的有一定普遍适用性的全参数辨识方
法(
法).为吲时测取活体组织内部每一点处随空间或/和温度变化的多种非均匀热参数到了
一
条可行途径
1TrP法的设计思想及其存在问题
限f：篇幅，本文仅以物性随空问变化的情形为例，以考察下面将要阐述的数值措施.至
阿家自然科学肯印基金赞助顶日
2lO北京生物医学I程1996年第15卷第4期
f物性随温度变化的情形，应能依同样步骤实现.
我们知道，当前生物传热领域内应用最为广泛的方程是Pennes方程门
户c=V'(KV+G(一71)+Q+Qrl1)
其中P,C,K分别为组织的密度，比热及热导率,C为血液比热，为血液灌注率,Q
为组织代谢率，为空间加热热源，为动脉血温度,T为组织温度.
TITP法的日标就在于要同时确定出正,Q和pC等参数的数值及其分布规律.
考虑一维传热【原则上，维甚至三维问题也可依此方法处理)并采用空间热探针侧出l
物组织多个部位的温度响应曲线，依此记录，通过晟小：乘拟台法可以求得任一点=处
…嗥芸丁鲁一∽，州，利用
式(1)，可列出不I司时刻下对应的若干热平衡方程，即
T.时刻:
ca,
(鲁)=(等)(鲁)l+(鲁)+cc++
=T时刻:
c
(鲁)=r丛sx/1jr\S~/1....+(鲁)+((t+
,=时刻:
r(鲁)I:.二()()I+K()I+cC,(~-rl,++.
(,)正则化可以理解为一种什么法
在一定加热条件下，外界供人热量L可预先近似确定，因此式(2)中O_r，可视为已知量，从而由线性代数的有关定律知，任一点处的对应参数(pC),(0.,K.,，及
Q可唯一确定，原则上对于这五个待求未知量，只需五个方程就可加以求解，但考虑到噪
声输人不可避免，所以实际处理时一般取五个以上时刻对应的超定方程，然而这类方程常常
是病态的，只有采取特殊的数值方法才能获得合理结果.
总体上,TITP原理不受生物传热方程的形式所限，因而是一种有普遍适用性的方法.
其在实际物性测定上的应用问题已经进一步的切片实验详细研究并获得了更深入认识，探
明了该方法的适范围.但当前_rI'rP法存在的主要问题之一是如何改进算法以提高精度并
增加计算的稳定性，本文试图给出一种新的有一定通用性的稳定求解方法，以便为将T兀'P
法推向实用进一步打下基础
TITP法的稳定求解措施——,-F~I化方法
由前阐述可知,nTP法测试生物体空间非均匀热参数的问题实际上均可归结为一个线
性代数方程组的求解，显然，这是典型的由已知(测量)信息的分布和变化规律反演方程有
关系数的数学反问题数学理论已指出，这类问题常常是不适定的，因而采用常规的在求解
北京生物医学l氍1年筇15巷第4甥2
普通线性代数方程组时行之有效的数值算法如Gauss消元法等并不能给出合理
结果.由于闷题
的不适定性，这类线性代数方程组一定足病态的，有时还可能呈奇异性.所以其数值求解存
在特殊性.我们在文献[5l巾采用了较之Gauss法更能减少计算误差的Householder 法.在一
定程度上可以获得合理结果，但该算法存在局限性，即若待求方程组呈严重病态时，其并不
能给出合理结果.为此，为了给T1TP法提供一个更为完备的理论基础，要进一步探索提高
计算结果可靠性的具有普遍适用性的数值方法.经分析，我们发现，当前在反问题数学领域
中应用蛀为成功也最通用的jE则化措施可以实现上述目标.如下介绍这一方法的实施
路线并作初步数伉研究.
不失一般性，将方程(2)记作
AZ=U(3)
其中A=l1为具有冗索q.的矩阵,z={Zi】是以王为分量的未知向量，即待求物性.= {j足以为分量的已知向量.
正则化方法的基本思想是设法将求正则解的问题化为求所谓"稳定泛函"在某一"特定函
数集合k的极值问题，从而得到所需要的正则解.这一处理方法的台理性是经过严格数
学证明的，本文在此不拟涉及，仅介绍方法的应用.
根据构造正则算的方法，可选择稳定泛函为
n(2)=l_Z—zllc4】4
其中为某一选择的向量，从而方程(3)的正则解z应当使光滑泛函
_Z】=lIAZ一l4-ltz—Z…,>0(5)
达到极小(其中为则化参数)，即泛函数在z处的一阶变分为零，由此可导出式t3l对应

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