第六章  动力问题的有限元法
6.1 概述
前面几章所研究的问题都属于静力问题，其特点是施加到结构上的外载荷不会使结构产生加速度，且外载荷的大小和方向不随时间变化，因而结构所产生的位移和应力也不随时间变化。本章将要研究结构分析中另一类重要问题的有限元解法，即动力问题的有限元解法。动力学问题的特点是，载荷是随时间变化的，因而结构所产生的位移和应力是时间的函数，结构会产生速度和加速度。
由于结构本身的弹性和惯性，结构在动力载荷的作用下，往往呈现出振动的运动形态。结构振动是工程中一个很普遍很重要的问题。有些振动对我们有利，例如，振动打桩，振动选料，有些振动对我们有害，例如，机床的振动，仪器与仪表的振动，桥梁、水坝及高层建筑在地震作用下的振动等。因此，我们必须对振动体本身的振动特性以及它对外部激振力的响应有一个明确的认识，才能更好地利用它有利的一面，而避免它有害的一面，设计出更好的机械和结构。
振动问题主要解决两方面的问题。
1. 寻求结构的固有频率和主振型，从而了解结构的固有振动特性，以便更好地利用或减少振动。
2. 分析结构的动力响应特性，以计算结构振动时动应力和动位移的大小及其变化规律。
6.2  结构的振动方程
    结构的振动方程可用多种方法建立，这里我们使用达朗伯原理（动静法），仿照前几章建立静力有限元方程的方法，来建立动力问题的有限元方程。
在静力问题中用有限元法建立的平衡方程是
在振动问题中，对结构的各节点应用达郎伯原理所建立的振动方程仍然具有与上式相同的形式，只不过节点位移是动位移，节点载荷是动载荷，它们都是时间的函数。上面的方程成为
                      (6.1)
上式中为节点的动位移，它是时间的函数，是时刻的节点位移产生的弹性恢复力，它与该时刻的节点外力构成动态平衡。
在动态情况下，结构承受的载荷（集中载荷 ，分布载荷 ）可随时间而变化，是时间的函数。按有限元方法将此种载荷移置到节点上，得到的节点载荷向量也是时间的函数。
此外，结构在运动中，各点除位移以外，还有速度及加速度。按照达郎佰原理，有加速度的质量应附加有惯性力载荷。如材料的密度为，则结构单位体积的惯性力为正则化可以理解为一种什么法。这对结构来说，相当于又受有另一种体积力，大小与点的加速度成比例，而方向与加速度方向相反。另外，在结构运动过程中，还会受到周围介质和来自内部的阻力。精确地描述这种阻力的变化规律是很困难的，一般采用阻力与速度成比例的近似线性假定，如阻力系数为μ，则单位体积的阻力为。这对结构来说相当于另一种体积力，大小与点的速度成比例，方向与速度方向相反。
按有限元方法，用单元节点位移进行插值表示单元内部位移。
                        　        　(6.2)
此处形函数仍只是位置的插值函数，与时间无关，则单元内的速度和加速度分别为
                            　      (6.3)
以及
                                  　(6.4)
其中、为单元节点的速度及加速度向量。将单元惯性力与阻力作为体积力，按式(3.28)移置到单元各节点，就得到相应的单元等效节点载荷向量，记为和，则有
将式（6.3）、（6.4）代入上式，有
式中        　                　(6.5)
称为单元质量矩阵。由于推导式（6.5）时采用了与推导单元刚度矩阵时相一致的形函数，故式（6.5）所表示的质量矩阵也称为一致质量矩阵。而
            (6.6)
称为单元阻尼矩阵，由式（6.5）和（6.6）可见单元质量矩阵和单元阻尼矩阵是对称的。
将移置到节点上的动载荷、惯性力、阻力作为载荷，按单元叠加，得到有限元节点位移方程：
或
        　(6.7)
其中
                          (6.8)
称为结构质量矩阵或总质量矩阵，而
            (6.9)
称结构阻尼矩阵。可见结构质量矩阵和结构阻尼矩阵分别为单元质量矩阵和单元阻尼矩阵的叠加，其叠加方法与结构刚度矩阵的形成完全一样，借助于单元定位向量，用单元集成法完成叠加过程。由于和是对称的，因而叠加合成的和也是对称的。
    式（6 .7）是节点位移的二阶微分方程，称为结构的动力方程式。对于不同的结构，可以选用不同的单元，有不同的形函数矩阵，但动力方程（6.7）的建立过程都是一样的。
当结构不受外载荷时，，如果再忽略阻尼，则动力方程（6.7）式成为
          　(6.10)
这是系统的自由振动方程。
    弹性结构的振动实际上是连续体的振动，位移是连续的，具有无限多个自由度。经有限元离散化处理后，单元内的位移按假定的位移形式来变化，可用节点位移插值表示。这样，连续系统的运动就离散化为有限个自由度系统的运动了。如果全部节点有N个自由度，则式（6.10）就是N阶的自由振动微分方程了。
6.3  一致质量矩阵与集中质量矩阵
    按照式（6.5），当单元的位移插值形函数矩阵确定后，就可用此式算出它的一致质量矩阵。例如，对平面三节点三角形单元，按照2.3节的叙述，形函数矩阵可用面积坐标表示为
其中I为二阶单位阵。将上式代入式(6.5)可得平面三节点三角形单元的一致质量矩阵
利用积分公式(2.56)，可由上式求得
                    (6.11)
用式(6.5)可以计算出其它类型单元的质量矩阵。例如平面桁架单元的质量矩阵为
                          (6.12)
而平面刚架单元的质量矩阵为
              (6.13)
式(6.11)、(6.12)及(6.13)中的Ｍ为单元质量。
  由单元一致质量矩阵叠加形成的结构质量矩阵，一般都是稀疏、带状的，但都有相当的半带宽，如果将单元质量矩阵近似作为对角型矩阵，单元叠加后的结构质量矩阵也是对角阵。
这种对角型的质量矩阵称为集中质量矩阵，而对角型的集中质量矩阵对结构的动力分析是非常有利的。可以将单元的质量以某种方式分配在单元的节点上而得到单元集中质量矩阵。例如当质量均匀分布时，将质量平均分配给各节点。按照这种方法平面三节点三角形单元的集中质量矩阵为

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