第17卷第11期2017年11月
黑龙江工业学院学报
JOURNAL OF HEILONGJIANG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Vol. 17 N o.ll
Nov. 2017
文章编号:2096-3874(2017)11 -0038 -04
数字图像处理课程教学中成像逆问题的
正则化处理方法初探
肖宿
(淮北师范大学计算机科学与技术学院，安徽淮北235000)
摘要：成像逆问题是数字图像处理课程的重要内容，该问题的研究近年来获得了快速发展，但现有教材中 成像逆问题的内容多局限于基本理论、基本方法，涉及其最新研究进展的不多，内容讲授存在一定的“照本宣 科”现象。针对此，试介绍成像逆问题基本内容、建模表示及研究进展，然后对成像逆问题当前常见的
正则化处 理方法进行相步探讨，最后通过实验展示某些方法的处理效果，以有助于数字图像处理课程教学活动的开展，帮助学生深入理解成像逆问题等内容。
关键词：数字图像处理；成像逆问题；教学研究；正则化方法
中图分类号:G642:TP301 文献标识码:A
引言
数字图像处理是许多高校计算机及相关专业 开设的一门基础课程，它主要讲述数字图像处理 相关的理论、方法、技术和应用，内容涵盖了图像 变换、图像滤波、图像压缩、图像分割、图像表示与 建模、图像复原、图像识别等，要求学生能够掌握 数字图像处理的基本方法并通过编程实现。作为 一门新兴的学科，其课程开设的历史并不长，国内 高校从上个世纪80年代才陆续开设数字图像处理 课程。但早在上个世纪20年代国内外学者就已开 展了相关研究[1]，上个世纪60年代数字图像处理 形成一门学科。随着数字图像处理技术的发展和 应用的深人，成像逆问题作为其中重要的基础性 问题越来越受到重视。成像逆问题主要包括图像 去模糊、图像去噪和图像修复等内容[2]。近几十 年来，成像逆问题研究的发展极其迅速，许多新理 论、新算法、新技术层出不穷[34]，而高校数字图像 处理课程教材中涉及的内容总体相对滞后、不全 面，无法准确反映成像逆问题的研究现状。又因 成像逆问题需要一定的数学背景知识，其内容较 复杂、较难理解，在讲授数字图像处理课时，成像逆问题相关内容已被忽略或出现
“浅尝辄止”不做 深人剖析的情况。针对目前成像逆问题的授课现 状及存在的问题，本文将全面介绍成像逆问题及
其研究状况，初步探讨该问题流行的处理方法，在 实验部分还将对某些方法的处理效果进行展示。
一、成像逆问题
受光线、天气、摄影技术和成像设备性能等因 素的综合影响，质量退化是图像中一个比较普遍 的现象。图像质量退化形式主要有图像模糊、图像含噪和图像像素丢失等，退化过程可统一表
示为：
y = Hx + n(1)式中,y e iT表示已知退化图像向量形式;//e iT 表示矩阵形式的线性算子，常见如模糊算子、单位 矩阵等e7T是未知清晰图像的向量形式, (7)
表示加性噪声。对于有重大价值的图像而言，比如1964年美国探索火星计划耗资千万美元得到的 22幅图像，如果产生质量退化无疑会造成巨大损 失。即使是普通的图像，发生质量退化仍是人们 不愿意看到的。因此，国内外研究者很早就开始 探索能够“逆转”图像质量退化的技术和方法，以
作者简介：肖宿，博士，副教授，淮北师范大学。
基金项目：安徽省自然科学基金项目（1608085QF150)• 38 •
第11期数字图像处理课程教学中成像逆问题的正则化处理方法初探2017 年
复原出清晰的图像，即所谓的“成像逆问题”。尤 其在当今的数字图像时代，成像逆问题的研究和
探索更具有应用价值和现实意义。处理成像逆问
题的难点在于它具有很强的不适定性，多年来的
研究表明：正则化技术是解决不适定问题最有效
的工具之一。
Tikhonov正则化[6]是早期流行的一种正则化 技术，在其框架下成像逆问题被表示为：
x = arg min|||j - & || ^ + A ||i* || ^1(2)式中，||y-f e K+A ||k K被称作目标函数;
11$是数据保真项；||心11$是正则项; 丨丨•丨丨2是L2范数；常数A >0用于平衡数据保真和 惩罚力度;i e是矩阵形式的线性算子，常见如梯度算子[7]。Tikhonov正则化的优点是其目标函 数可微且易得到目标函数优化的闭合解，但该正
则化技术应用于成像逆问题时，复原的图像在视
觉上过度平滑致使细节特征不够清晰。为克服 Tikhonov正则化的缺点,Rudin等人[8]提出了全变 差(TV,total variation)正则化技术。TV正则化应 用于成像逆问题时，可保证复原图像的边缘足够
清晰、细节特征更明显。在TV正则化框架下成像 逆问题被表示为：
x = arg m injy ||j - fij： || ^ + A ||fo ||t}(3)
式中,G eiT™是梯度算子；||•||b范数，定义 为I&I i。近年来，新兴的稀疏表
示技术（sparse representation)[9]被广泛应用于成 像逆问题。稀疏表示利用了数字图像的变换稀疏 性，即图像x在某些变换域内（如小波变换域）可 分解表示为= &，其中,£>e iTw表示变换矩阵，是X的稀疏表示向量（即其中非零元素比例 很小）。在稀疏表示框架下成像逆问题通常被表 示为：
x = arg min{i- ||j - || ^ + A|U || t} (4)
式中b范数在此起到了稀疏诱导（inducing)的作用。
式(3)和(4)是目前最流行的成像逆问题表示 模型，其求解方法是近年来图像处理领域研究的 热点之一。
二、成像逆问题(3)和(4)的解法
成像逆问题问题(3)和(4)的传统求解方法主 要有内点法(interior point)[w]、梯度投影方法(gradient projection)[u]、LASS0方法 [12]等。为追求更
快、更精确处理成像逆问题，近年来一些新方法被
提出，其中最著名的、最具代表性的是快速迭代收
缩阈值法（FISTA)[13]和交替方向乘子法(a d m m)[2]。
FISTA由A.Beck等人提出，作为Nesterov优
化梯度方法[141的变体，它以如下方法分别处理成 像逆问题(3)和(4):
FISTA - TV 方法
1•输人：Lipschitz常数[，' =尤。，^ =1
2.while not converged do
3.&= argjnin|g“)+y丨|-+▽/(&))丨|
5-»i+i=xk + ^j z L Y xk-%-i)
6.k=k+1
F I S T A方法
1 •输人：Lipschitz 常数[，％=z。，^ =l
2. while not converged do
3.zk=arg m n|g(z) +y ||z - -y-▽/(«〇) ii;} 4，,=1 + ^
5，+1=& + ( 4h-i)
6.k = k +1
7. endwhile
其中，常数k表示迭代次数;g(x)=A ||G* |h,/ (v k) =0. 5 X\\y-Hvk ||2-,g(z) =||2 ||r,f(w k)= 0.5x |卜-S% ||〖；V/是/的梯度。
ADMM最早由 R.Glowinski 等人[15]提出，M. Af〇n s〇等人将其用于处理式(3)和（4)中的成像逆 问题，其处理方法分别如下：
.39 .
第11期黑龙江工业学院学报2017 年ADMM-TV方法
HlA：A,/jb,w Q,d Q
2.x k =v k +d k
3-% +i=arg min|||y-H x ||l+/jl ||G x-x k ||l
4.v k =Gxk +l-d k
5.v k +l=arg mn|A ||w ||t+^~ ||v-v k ||
6- d k +l= d k + Gxk+l-v l+l
S. k= k + \
9. until stopping criterion is satisfied_____________
ADMM-Li 方法
输人:
2.z k =w k +d k
3- -Z/i+i=arg mn|\\y-B z\\l+/jl \\z-z k || ^
4-=z k +l-d k
5.w k +i=arg min|A ||w ||t+^~ ||w-w||2]
6- ^i+ 1=d]c+Z k + l~Wk+l
S. k=k+1
9.until stopping criterion is satisfied_____________其中，步骤6所示最小化问题的解为著名的软阈值
函数（soft- thresholding)[16]。
三、仿真实验
实验通过图像去模糊和图像修复两个典型的 问题，展示FISTA和ADMM两个方法处理成像逆 问题(3)和(4)的效果。清晰图像如图1(a)所示，为标准灰度测试图Camerman(分辨率256 X 256)。对图1(a)进行均匀模糊并加人高斯噪声, 生成如图1(b)所示模糊退化图像。令图1随机丢 失40%像素并加人高斯噪声，生成如图1(c)所示 损坏图像。质量退化图像的复原结果如图2和图
3所示，图中ISNR表示改进信噪比，其定义为10xZ n( ||x-y ||〖/||x-&+1||丨）。从实验结果 看,FISTA和ADMM成功解决了图像去模糊和图 像修复这两个成像逆问题，两者的复原结果相近,
复原图像能够满足视觉上对清晰的要求。
• 40 •
(b) (c)
图1清晰图像和质量退化图像
(a)清晰图像;（b)模糊图像；（c)损坏图像
(a) (b)
(c) (d)
图2模糊图像复原结果
(a) FISTA - TV 获得的结果（ISNR = 8. 58dB);
(b) FISTA-L 获得的结果（ISNR=7.73dB); (c) ADMM-TV 获得的结果（ISNR=7.97dB); (d) ADMM 获得的结果（ISNR=7.70dB)
(a) (b)
图3损坏图像复原结果
(a) FISTA - TV 获得的结果（ISNR = 18. 90db);
(b) ADMM-TV 获得的结果（
ISNR =18.60dB)
正则化可以理解为一种什么法第11期数字图像处理课程教学中成像逆问题的正则化处理方法初探2017 年
结论
本文研究了数字图像处理课程中一类重要问
题—
—成像逆问题，对该类问题当前最流行的解
法进行了初步探讨，通过实验展示了FISTA和 ADMM两种方法的复原效果。针对目前数字图像
处理课程在成像逆问题方面的内容不够全面、不
够新颖，本文研究的内容可作为日常教学的一个
参考和补充，通过本文对相关内容的介绍和讨论
可加深学生对成像逆问题的理解，激发其进行更
深人探讨的兴趣。
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Regularization of Solving Imaging Inverse Problems in the Digital Image Processing
Xiao Su
(School of Computer Science and Technology,Huaibei Normal University,Huaibei,Anhui235000, China)
Abstract ： Imaging inverse problems, have been developed rapidly in recent years, are one of most important parts of digital im
age processing. However, in the existing textbooks the contents of imaging inverse problems are restricted in basic theory and meth
ods ,rather than recent advances. And some contents of imaging inverse problems are repeated as what the text-books say. Aiming
at this, this paper first introduces the basis, the modeling and the advances of imaging inverse problems, then it preliminarily discusses the popular methods of solving imaging inverse problems, and finally the restored results of some methods are experimentally demonstrated. It is hoped that this paper is helpful to carrying out the teaching activity of imaging inverse problems and helps students deeply understand this course.
Key words ： digital image processing ；imaging inverse problems ；teaching research ；regularizati
on approach
Class No. ：G642：TP301 Document Mark：A
(责任编辑：宋瑞斌）
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