3D reconstruction of metal defects based on improved total variation regularization algorithm
WANG Qi 1，2，ZHANG Jing-wei 1，2，LI Kun 1，
2
（1.School of Electronics and Information Engineering ，Tiangong University ，Tianjin 300387，China ；2.Tianjin Key Labo原
ratory of Optoelectronic Detection Technology and System ，Tiangong University ，Tianjin 300387，China ）
Abstract ：In order to solve the ill-posedness and morbidity of electromagnetic tomography 渊EMT冤image reconstruction袁
electromagnetic tomography is used for metal defect detection.According to the sparsity of defect distribution袁an electromagnetic tomography image reconstruction method based on an improved Total Variation 渊TV冤regularization algorithm is proposed.The relationship between the detection depth and the excitation frequency is discussed袁three -dimensional reconstructed images are used for the surface and internal defects of the metal
parts.The performance of the proposed algorithm was evaluated through simulations and experiments袁and compared with the reconstructed image and relative error渊RE冤of the Tikhonov regularization algorithm and the L1regularization algorithm.Both simulation and experimental results show that images reconstructed using the improved TV regularization algorithm have better image reconstruction effects and smaller REs袁the relative
error can be as low as about 0.1袁which can effectively improve the quality and accuracy of the defects images援
Key words ：electromagnetic tomography ；TV regularization ；metal defects ；3D reconstruction
收稿日期：
2019-12-05基金项目：国家自然科学基金资助项目（61872269，61601324，61903273）；天津市自然科学基金资助项目（18JCYBJC85300）；天津市企业科
级特派员资助项目
（18JCTPJC61600）通信作者：王琦（1985—），女，博士，副教授，主要研究方向为智能信息处理、
电学成像技术。E-mail ：*****************基于改进总变差正则化算法的金属缺陷三维重建方法
王琦1，2，张静薇1，2，李坤1，
2
（1.天津工业大学电子与信息工程学院，天津300387；2.天津工业大学天津市光电检测技术与系统重点实验室，天津300387）
摘要：为解决电磁层析成像（electromagnetic tomography ，EMT ）
图像重建中的不适定性和病态性，将电磁层析成像用于金属缺陷检测，根据缺陷分布的稀疏性，提出了一种基于改进的总变差正则化算法（total variation ，TV ）的电磁层析成像图像重建方法，讨论了检测深度与激励频率的关系，利用三维重建算法对金属零件的表面和内部缺陷进行检测。通过仿真和实验评估了所提出算法的性能，并与Tikhonov 正则化算法和L1正则化
算法的重建图像和相对误差（relative error ，RE ）进行了比较。仿真和实验结果表明：使用改进的TV 正则化算法重建的图像具有更好的图像重建效果和更小的相对误差，相对误差低至0.1左右，可以提高缺陷图像的重建质量和精度。
关键词：电磁层析成像；TV 正则化；金属缺陷；三维重建中图分类号：TH701
文献标志码：A
文章编号：员远苑员原园圆源载（圆园21）园1原园园81原08
无损检测技术
（non-destructive testing technology ，NDT ）是指在不破坏和不影响被测对象各方面性能的前提下，利用声，光、电、磁等物理信号，对检测样品的表面凹坑、划痕及内部结构等缺陷进行检测，从而获得检测样品的相关测量数据，判断检测对象是否
合格[1]。
金属材料产品广泛运用于国民经济的各个行业，
随着我国经济的快速发展，
对金属材料的需求日益增加。然而在金属零件加工和生产过程中，
不可避免地出现各种不同类型的缺陷，
在使用过程中存在极大的第40卷第1期圆园21年2月
Vol.40No.1February 2021
DOI ：10.3969/j.issn.1671-024x.2021.01.014
天津工业大学学报允韵哉砸晕粤蕴韵云栽陨粤晕GONG 哉晕陨灾耘砸杂陨栽再
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第40卷天津工业大学学报
安全隐患。常用的金属零件无损检测方法有超声波检测、射线检测、磁粉检测和涡流检测[2-6]。超声波检测具有穿透能力强和灵敏度高的优点，但该方法需要涂抹耦合剂，不适用于在线检测。射线检测使用的射线为X 射线，具有很强的穿透性，且不受材料形状和结构的影响，因此可以得到高精度的测量结果。但是由于X 射线会对人体造成伤害，具有很大的安全隐患。磁粉检测可以表现出特定的缺陷特征，但该方法操作复杂且仅适合于铁磁性材料，只能检测表面和近表面的缺陷。涡流检测是一种电磁技术，具有非接触、检测速度快、灵敏度高等优点。涡流检测的传感器由一个或两个线圈组成，仅能获取检测线圈附近的检测信息，可获取到的检测信息有限，且涡流检测技术常用于检测表面缺陷。由于需要检测金属零件表面和内部的缺陷，以上方法均不能满足检测要求。因此，迫切需要提出一种新的实时在线无损检测技术。
电磁层析成像（electromagnetic tomography,EMT）是一种基于电磁感应原理的技术，具有传感器灵活、成像实时、可视化等优点，适用于金属零件缺陷检测。使用由多个线圈构成的传感器测量被测对象的信息，利用图像重建算法处理这些信息，进而重现出被测对象内部电导率或磁导率分布。EMT图像重建是典型的逆问题，具有严重的不适定性和病态性[7]，为解决这一问题，传统的成像算法中常采用基于2范数的正则化算法，获得的解在一定程度上会对重建图像产生平滑效果。针对所研究的金属缺陷具有稀疏性分布的特点[8]，本文采用一种改进的总变差正则化（Total Variation,TV）算法，它既能保留图像的边界信息，又能通过稀疏表示舍弃含有噪声的数据。此外，现有的EMT技术主要针对表面缺陷的二维图像重建，而对内部和表面缺陷的三维图像重建研究较少，内部缺陷检测是工业领域的要求和挑战之一。因此，本文对金属零件缺陷的三维图像重建进行了研究。
本文利用EMT方法实现了金属零件表面和内部缺陷的三维成像，使用TV正则化算法对缺陷图像进行三维重建，通过仿真和实验评估了所提出算法的性能，并与Tikhonov正则化算法和L1正则化算法进行了比较。
1基于EMT的缺陷检测系统
1.1实验系统构建
本文实验中所使用的基于金属缺陷检测的EMT 系统由信号源模块、传感器、数据采集系统、多路选通模
块和上位机5部分组成[9-11]，其结构图如图1所示。EMT测量系统工作过程如下：信号源产生特定幅值频率的正弦信号作为激励信号，通过多路选通模块将激励信号施加在传感器线圈上，被测物场中的测量线圈产生感应电压，高速采集模块将采集到的感应电压信号传送到上位机，上位机利用图像重建算法对被测物场内信息进行图像重建。根据图1结构图搭建的用于金属缺陷检测的EMT系统如图2所示，其各个功能模块与图1是一一对应的。
本实验中所有的算法都是使用MATLAB软件在Intel（R）Core（TM）i7的PC机上实现的，CPU主频为3.4GHz，内存为4GB；高速采集模块的型号为DG1022U；信号源模块的型号为EX3005。
平面传感器阵列由9个线圈组成，线圈呈3伊3矩阵排列，如图3所示。与传统6线圈组成的“O”型传感器相比，不仅克服了敏感场中心灵敏度分布不均匀的问题，并且线圈个数增多，可以获得更多的测量数据，成像效果更好。9个线圈固定在一个非导磁塑料正方形盘上，边长60mm，厚度10mm。各线圈由线径为0.3mm铜线绕制而成，匝数为100匝，高10mm，内径12mm，外径17mm，线圈之间的间距为3mm，对传感器进行标号，分别为1~9号线圈。
矩阵式分布传感器采用单线圈激励模式，其测量模式如下：在检测过程中，传感器其中一个线圈被选择作为激励线圈，注入交流激励信号，其他8个线圈作为接收线圈，接收感应电压信号，之后更换激励线图1用于金属缺陷检测的EMT系统结构图
Fig.1Structure of EMT system for metal defect detection
信号源模块
激励信号
感应信号
传感器阵列
测量数据
控制信号
数据
采集
模块
重
建
图
像
上位机
图2实验EMT测量系统
Fig.2Experimental EMT measurement system
上位机
传感器
高速采集模块
信号源
多路选通模块
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第1期圈，这个过程一直持续到所有9个线圈都被激励完毕，因此可获得9伊8=72个独立电压测量值。传感器在测量时，可获得传感器测量范围内的电导率分布情
况。由于缺陷的主要成分为空气，
与金属的电导率差别较大，因此可以通过电导率分布判断该区域内缺陷分布情况。
在测量时，首先把无缺陷待测金属放在图2中的传感器下方，传感器提离高度为3mm ，测量得到空场数据，使用相同的方法测量有缺陷待测金属得到物场数据。使用物场数据减去空场数据得到数据差值，利用数据差值和图像重建算法得到缺陷分布图像。1.2EMT 的物理模型
EMT 的数学问题包括正问题和逆问题[12-13]。EMT 正问题的实质是求解一个时谐涡流场问题，描述为：
V ij =
乙C
乙
滓（x ，y ）F [（x ，y ），滋（x ，y ），滓（x ，
y ）]d x d y （1）式中：
V ij 是第i 个线圈作为激励线圈时被检测线圈j 的感应电压；
C 为物体空间的横截面积；F 为感应场分布函数；滓为电导率；滋为磁导率。
EMT 系统的物理模型可由Maxwell 方程组得到
伊H
軖=滓E 軑+j棕着E 軑伊E 軑=-j棕着B 軑伊B 軑=0伊D 軖
=0扇墒
设设设设设设设设设缮设设设设设设设设设（2）
式中：为矢量微分算子（泊松算子）；H 軖为磁场强度矢
量；E 軑为电场强度矢量；B 軑为磁感应强度矢量；D 軖为电位移矢量；棕为角频率；着为介电常数。
在媒质为各向同性的条件下，其对应的特性方程为：
D 軖=着
E 軑B 軑=滋H 軖J 軋=滓E
軑扇墒正则化可以理解为一种什么法
设设设设设设设缮设设设设设设设（3）
式中：滋为磁导率；
J 軋为电流密度矢量。定义矢量磁位满足
B 軑=伊A 軑（4）根据偏微分方程，由方程（2）、（3）、（4）可构建EMT 正问题模型
伊1滋
伊A 軑+j棕A 軑=J s 沂赘（5）
边界条件为
n 軋伊H 軖0=n 軋伊H 軖1沂鄣赘
（6）式中：赘为重建图像区域；鄣赘为边界区域；J s 为激励电流密度；H 軖0和H 軖1分别表示涡流区和边界；n 軋为单位法向量。
正问题的结果将用于计算感应线圈中的感应电压，以及逆问题所需的Jacobian 矩阵。根据灵敏度矩阵公式，如果激励线圈中的总电流为I 0，则感应电压对电导率变化的灵敏度为
鄣V mn 鄣滓k =-棕2赘k
乙
A 軑m
·A 軑n ·d 淄I 0
（7）
式中：V mn 为测量电压；滓k 为元素k 的电导率；赘k 为元
素k 的重建图像区域；A 軑m 和A 軑n 分别为当激励线圈
（m ）使用I 0激励和感应线圈（n ）感应到单位电流时的正问题求解，它们之间的运算符“·”表示点积。
在EMT 的三维重建图像中必须考虑趋肤效应的影响[14]。在线圈中通入交流电流时，线圈周围会产生磁
场，存在于线圈周围的导体近表面会产生涡流。
涡流能够到达的检测深度与激励信号的频率有关。根据趋肤效应理论，随着激励频率的降低，检测深度逐渐变大。
本文采用线性逆问题解决三维重建问题，假设正问题具有线性形式
驻V =S 驻滓
（8）式中：驻V 沂R m 伊l 为感应电压的变化；S 沂R m 伊n 伊l 为灵敏
度矩阵；
驻滓沂R n 伊l 为元素中电导率的变化；m 为测量电压数；l 为对应于不同检测深度的图像层数；n 为每个层的像素数。
2EMT 的图像重建
EMT 的图像重建是利用检测得到的感应电压值，通过图像重建算法重现出被测对象内部电导率和磁导率的分布图像。由于独立测量的边界电压数据的数目远小于电导率分布的数目，且容易受到外界环境噪声的干扰；式（8）中的灵敏度矩阵通常不是方阵，也不是满秩矩阵，导致EMT 图像重建具有严重的不适定性
图3矩阵式分布传感器实物图
Fig.3Physical
photos of matrix distribution sensor
王琦，等：基于改进总变差正则化算法的金属缺陷三维重建方法
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第40卷
天津工业大学学报和病态性，在求解过程中常采用正则化方法。2.1Tikhonov 正则化算法
目前在电学成像领域使用最广泛的正则化方法是Tikhonov 正则化算法。在Tikhonov 正则化算法中，我们将不适定逆问题转化为适定极小化问题[15-16]，并将最小化目标函数定义如下
G Tik =argmin 椰SG -B 椰2
2+琢椰LG 椰2
2嗓瑟
（9）
式中：椰g 椰2代表2范数，
第一项为数据项，第二项为正则化项；L 代表正则化矩阵；琢代表正则化参数。
求解式（9）的导数，并令导数等于0的方式求取
极值点，假设L 为单位矩阵I ，则可以得到式（10）：
G =（S T S +琢I ）-1S T
B
（10）定义
S R =（S T S +琢I ）-1S
T
（11）所以式（11）可以变形得到式
（12）G =S R B
（12）通过选择合适的正则化参数，Tikhonov 正则化算法可以获得稳定的解和精确的图像重建结果。然而Tikhonov 正则化算法通过在原函数的基础上增加2范数作为惩罚项，这种方法通常会使重建图像过渡平滑。对于具有稀疏性和不连续性分布特点的金属缺
陷，图像重构的边缘信息丧失严重，造成图像边界模糊，图像重建的精确度不高。2.2改进的总变差正则化算法
TV 正则化使用不连续函数解决逆问题。将总变差函数引入到EMT 图像重建中[17-18]
TV （G ）=
S
乙|
G |d S （13）
式中：
区域S 为重建图像区域。选取重建图像的灰度值G 为变量，为解决变差函数可能出现的不可微的情况，采用更稳定的泛函来逼近TV （G ）在空间中的情况，即
TV 茁（G
）=S
乙|
G |2+茁姨d S （14）
将总变差函数与正则化算法相结合，与Tikhonov
正则化算法的目标函数（9）类比，将其中的第2项正
则化项换成琢TV 茁（G ），这样就得到了TV 正则化目标函数
云（G ）=12
椰SG -B 椰2
2+琢TV 茁（G
）=12椰SG -B 椰22
+琢
S
乙
|G |2+茁姨d S （15）
式中：
琢代表正则化参数；茁代表光滑参数。在实际的计算中，为方便求解通常把目标函数转
化成离散的形式，则式（15）转化为
云
（G ）=12椰SG -B 椰2
2+琢i
移|G |2+茁姨d S （16）
式中：L 为对应的灰度方阵特性的稀疏矩阵；椰L i G 椰为对应不同区域的灰度方差。
为求解式（16），本文采用Newton-Raphson 算法求
解目标函数极小化，求得目标函数的梯度值为
云忆（G ）=S T
（SG -B ）+琢L 茁（G ）G （17）式中
L 茁（G
）=L T
diag 椰L i G 椰2
2+茁姨蓸蔀蓸蔀
-1
L （18）
目标函数的Hessian 矩阵为H （G ）=S T S +琢L 茁（G
）（19）则基于TV 正则化的Newton-Raphson 迭代算法如下
G k +1=G k -H -1
k F k
（20）
算法流程图如图4所示。算法在达到最大迭代次数或第k 次迭代的相对容差e k 满足e k =椰G k +1-G k 椰2臆着时停止，其中着为预定义的相对容差。
3仿真结果
在本节中，为证明TV 正则化算法的优越性，构建不同缺陷仿真模型，并与现有的Tikhonov 正则化算法和L1正则化算法的重构结果进行了比较。3.1仿真模型的建立
为了验证TV 正则化算法的有效性，本文在
COMSOL Multiphysics 环境中对EMT 系统进行仿真实
图4TV 正则化算法的流程图
Fig.4Flow chart of TV regularization algorithm
设置初始值
最大迭代次数预定义的相对容差开始
结束
利用梯度值公式（17）和
Hessian 矩阵公式
（18）对公式（20）进行迭代
计算本次迭代的相对容差
k <k m ax ？
e k <；着？否
是
否
是
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第1期验。根据第1节设计的EMT 系统，构建矩阵式分布传感器仿真模型如图5所示，采用单线圈激励方式，对
表面和内部缺陷进行了仿真对比实验。本文中使用的待测对象是方形铝板，大小为60mm 伊60mm 伊10mm 。
设置背景（铝）的电导率为3.7747伊107S/m ，空气的电导率为1S/m 。根据各线圈磁场强度的不均匀性和测量系统的噪声等级，在仿真中加入依1%的高斯噪声，用来模拟真实环境中的噪声。EMT 系统的典型噪声等
级对应的信噪比约为40dB ，噪声的方差是0。
3.2基于TV 正则化算法的二维仿真结果
为了验证算法的有效性，使用Tikhonov 正则化、L1正则化和TV 正则化这3种算法对6种缺陷模型
的表面进行二维图像重建，本实验采用10kHz 的交流激励频率，重建结果如图6所示。
图6中第1列为仿真模型，构建了6种不同尺
寸、位置和缺陷个数的缺陷模型，编号为模型1~6，模型1~3的缺陷直径分别为5mm 、4mm 和3mm ，模型
4~6的缺陷直径均为3mm ，所有缺陷深度均为1mm 。第2、3、4列分别对应的是Tikhonov 正则化、L1正则化和TV 正则化算法的重建结果。
在重建图像中，红部分是具有缺陷的低电导率区域，蓝部分是没有缺陷的高电导率区域，绿部
分是由噪声和算法引入的伪影。从图6可以看出，3种算法均能对缺陷的位置和数量实现重建。其中Tikhonov 正则化算法的成像效果最差，
伪影最严重；当缺陷的尺寸逐渐减小时，相较于另外2种算法，
TV 正则化算法在缺陷尺寸变化过程中的重建图像效果最好。
为了定量评价算法的性能，通过电导率分布和重构图像得到相对误差（relative error ，RE ）来衡量成像精度，定义如下
RE =
椰滓*-滓椰2
2
椰滓椰2
2
（21）
式中：滓*为重构电导率分布；滓为真实电导率分布。
表1为6种缺陷模重建图像的RE 值。
从表1可以看出，单个缺陷重建图像的质量要优于多个缺陷重建图像的质量。采用TV 正则化算法重建的图像具有最小的RE 值，与另外2种算法相比图像重建效果更好。每种缺陷模式采用3种算法图像重建的时间如表2所示。
表1
6种缺陷模型重建图像的RE 值
Tab.1RE values of reconstructed images of six defect models
缺陷模型Tikhonov 正则化
L1正则化TV 正则化模型10.2170.4300.246模型20.3560.3750.227模型30.3690.2610.203模型40.3280.2070.186模型50.4580.3640.258模型6
0.411
0.268
0.192
王琦，等：基于改进总变差正则化算法的金属缺陷三维重建方法
60mm
60mm
3mm
3mm
准17mm
准17mm
准3mm
准3mm
厚度为1mm 的缺陷
厚度为10mm 的缺陷
图5矩阵式分布传感器仿真模型
Fig.5Simulation model of matrix distributed sensor
（a ）表面缺陷（b ）内部缺陷
表2
6种缺陷模型的图像重建时间
Tab.2Reconstructed image time of six defect models
缺陷模型Tikhonov 正则化
L1正则化TV 正则化模型10.280  1.4840.048模型2
0.293  1.4670.086模型30.297  1.5480.023模型4
0.327  1.8920.081模型50.352  1.9350.132模型6
0.332
1.769
0.098
s
图66种缺陷模型的重建结果
Fig.6Reconstruction results of six defect models
模型1
模型2
模型3
模型4
模型5
模型6
仿真模型
Tikhonov 正则化L1正则化TV 正则化
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