基于模型函数与L-曲线的正则化参数选取方法
胡彬;徐会林;王泽文;喻建华
【摘 要】Based on the model function method,the modified L-curve principle is presented and a simple corre-sponding iteration method for choosing regularization parameters is given. Furthermore,the simple iteration method for choosing regularization parameters is proved to be local convergence under some conditions. The method is local-ly efficient by numerical experiments.%基于模型函数方法与修正的L-曲线准则，给出了选取正则化参数的1种迭代算法。在一定条件下，证明了所提出的选取正则化参数的算法是局部收敛的，通过数值算例验证了该方法的局部有效性。
【期刊名称】《江西师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2014(000)006
【总页数】5页(P569-573)
【关键词】L-曲线准则;正则化方法;正则化参数;模型函数
【作 者】胡彬;徐会林;王泽文;喻建华
【作者单位】东华理工大学理学院，江西 南昌 330013;河南理工大学数学与信息科学学院，河南 焦作 454000;东华理工大学理学院，江西 南昌 330013;东华理工大学理学院，江西 南昌 330013
【正文语种】中 文
【中图分类】O241.8;O241.6
0 引言
反问题研究已是计算数学及应用数学领域研究的热点问题之一.反问题一般是不适定的［1］，其不适定性在数值计算上表现为解不连续依赖测量数据.即使在实际测量过程中测量误差非常小，也会引起解的巨大波动.目前求解不适定问题最具有普遍性、完备性的是Tikhonov正则化方法，但该方法的有效性取决于选取到合适的正则化参数.目前比较有代表性的正则化参数选取策略有:Morozov偏差原理、广义交叉检验、L-曲线(L-curve)等准则.当误差水平已知或可估计时，Morozov偏差原理是最常采用的正则化参数选取策略之一，但是当不
适定算子方程右端项的误差水平δ未知时，Morozov偏差原理就失效了.为了克服Morozov偏差原理需要已知误差水平的局限性，P.C.Hansen等提出基于L-曲线的正则化参数选取方法［2-3］，可以在误差水平未知的情形下到近似最佳的正则化参数.
在利用Morozov偏差原理确定正则化参数时需要借助牛顿迭代，而牛顿迭代的计算量比较大，为了克服这一缺点，文献［4-7］中提出了1种新的确定正则化参数的方法—模型函数法.它是将Tikhonov泛函定义为关于α的函数，再用1个简单的具有显示表达式的模型函数来近似F(α)，通过简单迭代确定正则化参数.
本文在上述2种方法的基础上研究了基于模型函数的修正L-曲线准则，证明了所得序列点是局部收敛的，给出了相应的迭代算法.通过算例验证了该准则的有效性，同时也指出了目前还存在的不足和今后进一步研究的方向.
1 模型函数法
线性反问题一般可归结为解第1类不适定算子方程:
其中K是Hilbert空间X到Y上的有界线性算子.由于观测数据存在误差，所以一般把方程(1)改写
为
其中δ为误差水平，‖yδ-y‖≤δ.Tikhonov正则化方法是将求不适定方程(2)的解转为求Tikhonov泛函
的最优解，其中α＞0是正则化参数.对于固定的正则化参数α，记最优函数为
引理1［4］设K:X→Y是有界线性算子，X，Y均为Hilbert空间.∀α ＞0，(3)式的唯一解x(α)是无穷次可微的，且g=dnx(α)dαn∈X可由
递推求解得到.
定理1［4-5］最优函数F(α)在(0，+∞)内是无限次可微的，且∀α ＞0，F(α)满足
模型函数的方法就是在αk附近构造F(α)的局部近似函数Fk(α)，使其满足微分方程(4)，即
若假设‖Kx(α)‖2≈ Tk‖x(α)‖2，代入(5)式并注意到 F'(α)= ‖x(α)‖2，解得
即得到双曲模型函数:
由于 Kx(α)≈ yδ，故可设 ‖Kx(α)‖2≈‖yδ‖2-Tk，代入(5)式得
解微分方程(6)，得Fk(α)=Tk+Ckα，其中Ck、Tk是待定参数且由方程组
确定，即
于是，得到更为简洁的双曲模型函数:
文献［8］研究了非精确数据下的线性模型函数选取正则化参数.虽然线性模型函数具有计算简单、收敛性较好等优点，但是却不能将它与L-曲线准则相结合而得到选取正则化参数的算法.文献［9］将双曲模型函数m1(α)应用于L-曲线选取准则获得选取正则化参数的新算法.本文是前述研究的继续和深入，基于双曲模型函数m2(α)研究修正的L-曲线选取准则，从而获得选取正则化参数选取的新方法.
2 修正的L-曲线准则
L-曲线准则是残差‖Kx(α)-yδ‖2与正则化解‖x(α)‖2在一组正则化参数下所构成的图像，也就是由(‖Kx(α)-yδ‖2，‖x(α)‖2)所构成的平面曲线.最优的正则化参数α出现在曲线的拐点处. 通常转
化为对应的(2log‖Kx(α)-yδ‖，2log‖x(α)‖)曲线，因为曲线形状如字母L(见图1)，故称为L-曲线准则.从图像上很容易到曲线的拐点，即最优正则化参数α在对应曲线的“角点”出现.记u(α)=2log‖Kx(α)-yδ‖，v(α)=2log‖x(α)‖，则L曲线上各点的曲率公式［10-11］为
曲率最大的点对应正则化参数即为所需正则化参数.
图1 L-曲线示意图
由文献［12］知，若L-曲线在点α=α*处取到最大曲率，且在该点处曲线的斜率为 -1/μ，则下列泛函:
在α=α*处取得极小值.因此，选取正则化参数的L-曲线准则等价为求泛函(8)的极小值点.修正的L-曲线准则就是通过求(8)的极小值来获得合适的正则化参数.由于是α的非线性隐式函数，不便于计算.本文利用模型函数的方法将(8)式显化，从而简化计算，提高计算效率.
3 基于模型函数的修正L-曲线算法
正则化可以理解为一种什么法对于任意给定的α＞0，最优函数F(α)为
且F'(α)= ‖x(α)‖2，则(8)式可改写成F(α)的形式，即
模型函数m(α)是F(α)的局部近似，则(9)式的局部近似为
本文主要研究了双曲模型函数m2(α)，代入(10)式得 ω(α)=(T+2C/α)(-C/α2)μ.
对 ω(α)求导，得
令 ω'(α)=0，解得 α=-C(1+2μ)(μT).
对于正则化参数 αk，求得对应的正则化解x(αk)，再根据方程组(7)可确定参数 Ck，Tk，则
由(11)式及Ck＜0，Tk＞0知αk+1＞0且它是唯一的.该算法比文献［9］中的更为简单，因为文献［9］给出的是关于α的2次方程，选取其中较大的作为正则化参数αk+1.

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