混合正则化模型的交替迭代原理与图像恢复
李旭超;李玉叶
【摘 要】由有界变差函数的半范数(TV)描述的正则项,在图像恢复过程中,对于图像的纹理部分,容易造成细节丢失;对于图像的卡通部分,容易产生阶梯效应;为克服此缺点,提出一种混合卡通-纹理正则化模型(hybrid cartoon texture regularization model,HCTRM)和交替迭代算法.首先,对受系统和噪声模糊的图像,用Kullback-Leibler函数描述拟合项;对于图像的卡通部分用分数阶TV的半范数来描述,纹理部分用紧框架域厶范数来描述,建立HCTRM.其次,分析HCTRM解的存在性和唯一性.再次,引入辅助变量,将HCTRM转化为标准表达式,应用交替方向乘子算法(ADMM),将HCTRM分解为2个大的子问题.最后,将每个大的子问题,再分裂为2个小的容易处理的子问题,形成快速交替迭代算法.针对TV的半范数作为正则项,容易消除图像的纹理,且产生阶梯效应的缺点,提出一种HCTRM和交替迭代算法.仿真表明,能有效地恢复非平稳区域的纹理,克服在平稳区域产生的阶梯效应,取得较高的峰值信噪比和结构相似测度.%In the processing of image restoration,regularization term is described by TV (total variation) function semi-norm,for image texture part,which easily makes image detail information vanish,for image cartoon part,
which easily produces stair effects.In order to overcome the shortcomings,the proposed provides a hybrid cartoon texture regularization model (HCTRM) and alternating iterative algorithm.Firstly,for image blurred by system and noise,the fidelity term is described by Kullback-Leibler function,the cartoon part of image is described by fractional order TV semi-norm,texture part of image is described by L1 norm,HCTRM is established.Secondly,the existence and unique properties of solution of HCTRM are analyzed.Thirdly,HCTRM is converted into standard formula by introducing auxiliary variables,and the HCTRM is decomposed into two big sub-problems by alternating direction method of multipliers (ADMM).Finally,every big sub-problem is divided into two small and easily computational sub-problems,which form quick alternating iterative algorithm.For the shortcomings of TV semi-norm for regularization term,which easily eliminates image texture and produces stair effects,a new HCTRM and alternating iterative algorithm is proposed,simulation shows the proposed can effectively restore image texture information in non-stationary area and eliminate stair effects in stationary area,and achieve the higher peak signal to noise ratio and structural similarity index measure.
【期刊名称】《科学技术与工程》
【年(卷),期】2017(017)007
【总页数】8页(P77-84)
【关键词】卡通-纹理;混合正则化模型;交替迭代;图像恢复
【作 者】李旭超;李玉叶
【作者单位】赤峰学院计算机与信息工程学院,赤峰024000;赤峰学院数学与统计学院,赤峰024000
【正文语种】中 文
【中图分类】TP391.41
在宇航、电子显微镜和医疗成像等工业应用领域，受成像系统和噪声的影响，获得的图像往往比较模糊，为获得有效解，近年来，图像恢复正则化模型及算法研究，引起国内外学者广泛关注[1, 2]。
在模型的建立上，为获得高质量的图像，利用特定的函数空间描述解的特性。例如有界变差函数(total variation，TV)空间[3]，二阶TV函数空间[4]、分数阶TV函数空间[5]、L1函数空间[6]等，分别侧重描述图像的奇异、卡通、纹理和稀疏等特性，在图像恢复正则化模型中得到广泛应用。然而，由于图像的特征比较复杂，在单一函数空间建立正则项，很难描述解的特性，学术界转而研究用两种函数空间描述解的特性，建立混合正则化模型。如用一阶TV表征图像的奇异特征、二阶TV表征图像的卡通特性，建立一阶TV、二阶TV混合正则化模型[7]；但变分获得的偏微分方程阶次较高，导致在平稳与非平稳区域过渡处，产生高频振荡现象。为克服此缺点，利用图像的奇异特性，文献[8]提出自适应权系数一阶TV、二阶TV混合正则化模型，在一定程度上克服高频振荡现象，但获得的图像过于光滑。为有效地体现图像的高频信息，利用傅里叶[9]、紧框架[10]变换，对图像进行稀疏表示，建立TV、L1混合正则化模型，取得较好的图像重构效果。但此模型不是根据图像的不同结构，如卡通和纹理部分，在不同的函数空间建立混合正则化模型。
在混合正则化模型的求解上，由于正则项的非光滑性，导致模型求解比较困难。经典的处理方法是对正则项进行差分逼近[11]，设计不动点迭代算法，但是，受CFL(Courant-Friedrichs-Lewy)条件的限制，导致算法收敛较慢。为加快算法的收敛，对正则项进行光滑化，
设计牛顿迭代算法；但所描述的问题往往是大规模的，导致由拟合项和正则项形成的海森矩阵规模较大，造成计算海森矩阵的逆比较耗时[12]。为解决此困境，最近几年，将拟合项和正则项进行分裂，设计快速迭代算法引人注目[13]；如分裂Bregman算法[14]，交替方向乘子迭代算法(alternating direction method of multipliers，ADMM)[15]，投影迫近点迭代算法[16]等，但这些算法使用时有条件的，往往无法直接对模型进行求解，需要对混合正则化模型进行灵活转化。
本文关注的是受泊松过程退化的图像，拟合项用KL函数来描述，对于正则项，为克服模型阶次较高，容易产生高频振荡现象，用分数阶有界变差函数描述图像的卡通部分，为保护图像的细节且抑制幅值较大的噪声，在紧框架域，用L1范数描述图像的纹理部分，三者加权组合形成混合正则化模型。在模型的特性分析上，利用变分、凸分析原理判定解的存在性、唯一性；在模型的求解上，由于混合正则化模型由三项组成，且是非光滑的，无法直接获得封闭解。尽管ADMM算法可以处理非光滑优化问题，但ADMM算法仅适用由两项组成的标准能量泛函。针对此问题，通过引入辅助变量和矩阵，将混合正则化模型转化为由“拟合项”和“正则项”两项组成的标准形式。利用交替方向乘子迭代原理，把模型分解为2个大的子问题，然后再将每个大的子问题分解为2个容易处理的子问题，4个子问题形成交替迭代算法；最后，将
本文算法与快速迭代软阈值算法[2]，交替投影迭代算法[12]进行对比，验证算法的有效性。
1.1 利用贝叶斯准则建立混合正则化模型
若理想图像为f，采集获得的图像g受系统及噪声的影响而降质，服从泊松分布，用条件概率描述g的统计分布，表达式为
式(1)中描述系统成像过程，工程中称为点扩散函数(point spread function，PSF)[11]。图像主要由卡通部分u和纹理部分v组成，即u+v=f，在u,v相互独立的条件下，式(1)的条件概率等价于p(g|u,v)。若已知卡通、纹理部分的先验概率分布p(u,v)，利用贝叶斯准则，获得u,v的最大后验概率分布，表达式为
由于u,v是相互独立的，由概率的独立性，则有
把式(1)、式(3)代入式(2)，两边取负的lg似然函数，忽略常数，将u,v的最大后验概率问题转化为最小化混合能量泛函正则化模型，表达式为
式(4)中，u*、v*表示卡通、纹理部分的最优解为大于等于零的常数，Af∈L(Ω)，inf表示下确界。为使式(4)具有明确的物理意义，规定:
为准确表征图像的卡通部分u，采用分数阶有界变差函数来描述[17]，表达式为
式(6)中，Ω⊂R2表示有界闭集，D为微分算子，Dαu∈Vα，1，Vα，1表示阶数为α的有界变差函数空间，1<α<2。
为准确表征图像的纹理部分v，采用紧框架变换，对图像的纹理特征进行稀疏表示，用L1范数进行描述，表达式为
式(7)中，W为紧框架算子，满足WTW=I，I为单位矩阵，上标T表示转置。将式(6)、式(7)代入式(4)，则混合能量泛函正则化模型的表达式为
式(8)中，第一项为用KL函数描述的拟合项，保证成像过程与实际采样过程相符，第2项表示图像的卡通部分，第3项表征图像的纹理部分。
1.2 混合正则化模型解的特性分析
为使迭代算法收敛到能量泛函的最优解，那么，式(8)的解必须存在且唯一。
定理 假设u,v∈L(Ω)，Ω为有界区域，A是紧线性算子，W为紧框架算子，则能量泛函
的解存在且唯一。
证明：解的存在性。式(9)中的拟合项和正则项都是真(proper)、下半连续函数，且满足强制性条件，由变分原理可知[18]，式(9)的解存在。
解的唯一性。令E0(s)=s-glgs，s>0，E0(s)关于s的二阶导数大于零，则拟合项是严格的凸函数。分数阶有界变差函数、L1范数都属于巴拿赫空间，则混合正则项也是凸函数。由凸分析原理可知[19]，式(9)是凸函数，故解是唯一的。
2.1 经典交替方向迭代乘子算法
从式(9)可知，目标函数由光滑的拟合项和非光滑的正则项3项组成，采用经典的优化算法，无法直接进行求解。然而，最近几年，发展起来一种分裂ADMM算法引人注目，为非光滑目标函数的求解注入新的活力[20]。若标量能量泛函正则化模型的表达式为
式(10)中，E1:Rn→R，E2:Rp→R，G∈Rp×n。通过引入辅助变量z=Gf，将无约束条件的最优化问题式(10)转化为有条件约束的最优化问题，然后利用变量分裂原理，将目标函数分裂为由“拟合项与二次惩罚函数”和“正则项与二次惩罚函数”主导的子问题，利用辅助变量将2个
子问题耦合在一起，形成交替迭代算法，表达式为
若式(10)的最优解f*存在，且2个子问题的迭代残差有界，根据Eckstein-Bertsekas定理[20]，那么交替迭代子问题产生的任何聚点{f k}都是能量泛函的解，若式(10)的解唯一，则‖f*-f k‖→0。
2.2 混合正则化模型转化为标准形式
将式(8)用范数的形式来表示，表达式为
引入辅助变量Af=θ，将无约束条件下的最优化问题转化为有约束条件下的最优化问题，表达式为
式(16)中引入辅助变量z=Dy(隐含z=[v,θ]T)，由式(11)～式(13)，式(16)分裂为2个大的子问题，表达式为
2.3 转化模型的交替迭代算法
2.3.1 对于子问题式(17)
其等价表达式为
利用半二次极小化的思想，将式(20)分解为关于u和f两个子问题，表达式分别为
(1) 给定f，关于u的子问题
式(21)中的第一项是非光滑的，直接求解比较困难，但若将其转化为对偶模型[21]，利用不动点迭代原理，则可获得该子问题的有效解，表达式为
式(22)中，pk+1为对偶变量，表达式为
(2) 给定u，关于f的子问题，表达式为
式(24)是关于f的二次型，其最小值可以利用法方程(normal equation)来获得，表达式为
2.3.2 对于子问题式(18)
其等价表达式为正则化是解决过拟合问题吗
同理，利用半二次极小化的思想，将式(26)分解为关于v和θ两个子问题，表达式如下。
(1) 给定θ，关于v的子问题，表达式为
式(27)是标准的L1～L2型正则化模型，表达式为
式(28)中，Soft[·]表示软阈值算子，表达式为
式(29)中，sgn(·)表示符号函数。
(2) 给定v，关于θ子问题，表达式为
式(30)取得最小值的条件是，关于θ的一阶导数为零，表达式为
式(31)是关于θ的一元二次方程，经整理，舍去负根，则有
式(32)中
2.3.3 对于辅助变量式(19)
则有
2.4 混合正则化模型交替迭代算法
(1)设置k=0，最大迭代次数EN。
(2)计算式(23)，获得pk+1，计算式(22)，获得uk+1；计算式(25)，获得f k+1。

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