基于稀疏重建的信号DOA估计
任肖丽;王骥;万
【摘 要】从稀疏信号重建角度提出了一种改进的波达方向（DOA）估计方法。由于最小冗余线阵（MRLA）能以较少的阵元数获得较大的阵列孔径，将MRLA与ℓ1-SVD方法相结合估计信号的DOA。仿真结果表明，经多次实验验证，所提方法是有效的，相比ℓ1-SVD方法可以估计出更多信源的DOA，并且可以用较少的阵元数估计更多的信源DOA，具有信源过载能力。%This paper proposes a modified Direction of Arrival(DOA)estimation method based on Minimum Redundancy Linear Array(MRLA)from the sparse signal reconstruction perspective. According to the structure feature of MRLA that obtaining larger antenna aperture through a smaller number of array sensors, MRLA is combined with ℓ1-SVD method to estimate signal DOAs. Simulations demonstrate that the proposed method is effective, and compared with ℓ1-SVD meth-od it can estimate more DOAs of signal source, and it is capable of estimating more DOAs with fewer antenna elements.
【期刊名称】《计算机工程与应用》
【年(卷),期】2015(000)001
【总页数】6页(P195-199,217)
【关键词】波达方向(DOA);稀疏信号重建;最小冗余线阵(MRLA);ℓ1-SVD
【作 者】任肖丽;王骥;万
【作者单位】广东海洋大学 信息学院，广东 湛江 524088;广东海洋大学 信息学院，广东 湛江 524088;电子科技大学 电子工程学院，成都 611731
【正文语种】中 文
【中图分类】TN911.7
1 引言
源定位是信号处理领域的主要目的之一，利用传感器阵列可以将其转换成DOA估计。在已有的DOA估计方法中，信号子空间概念由于其超分辨性能已经成为一种主导技术，如MUSIC[1]
。近几年，压缩感知（Compressed Sensing，CS）理论及其应用[2-4]成为了研究热点。CS提出了许多方法来解决稀疏重建问题，其中有两种主要算法方法：基追踪[5]（Basis Pursuit，BP）算法依赖于一个优化问题，可以通过线性规划求解，具有稳定性并能准确重建信号，但是需要大量的计算；贪婪算法[6-7]具有低复杂度和较快的速度，但是缺乏稳定性和一致性保证。通过利用稀疏性，出现了许多方法[8-19]，可以提供比MUSIC更好的分辨性能。本文基于ℓ1-SVD方法[10]，将DOA估计问题转化成稀疏信号重建问题并且利用CS方法求解。ℓ1-SVD方法具有极好的超分辨性能和信号相关的稳健性。
线性阵列是多阵元天线的一种重要形式，在通信和射电天文学中起着重要的作用。1968年，Moffet在文献[10]中提出了最小冗余线（MRLA），能以较少数的阵元获得较大阵列孔径，是一种有效的阵列排布方法，阵列孔径和DOA分辨率、可估计的信号源数成正比，即阵列孔径越大估计性能更好。许多学者已经对MRLA进行进一步的研究[11]，充分利用了MRLA的这一结构特征。均匀线阵（ULA）是冗余的，是因为不同阵元对可以得到相同的共轭循环相关函数值。同样，不同阵列传感器分布可以获得相同的共轭循环相关函数值，冗余度随阵元数的增大而增大。因此，基于MRLA的结构特点，本文将MRLA与ℓ1-SVD方法相结合来估计信号的DOAs。
2 问题描述
考虑到N个具有相同中心频率的窄带信号源从不同方向θi(i=1，2，…，N)入射到M 阵元均匀直线阵上，阵元间隔x～1(t)，λ为载波波长，M×1阵列接收信号 y(t)表示为：
其中，y(t)=[y0(t)，y1(t)，…，yM-1(t)]T，s(t)为 N×1信号向量，M × N 阵列流型矩阵 A=[a(θ1),a(θ2),…,a(θN)]，a(θi)=为方向 θi(i=1,2,…，N)的导向向量，加性高斯白噪声 n(t)=[n0(t)，n1(t)，…，nM-1(t)]T∈M×1，不失一般性，假设其具有单位方差，且与s(t)不相关，(·)T 表示转置运算。
可以把欠定方程（1）中s(t)恢复问题转化CS应用的稀疏信号重建问题。s(t)可以通过ℓ1最小化恢复得到：
式（1）的矩阵形式可以表示为：
其中，M×T 矩阵 Y=[y(1)，y(2)，…，y(T)]和 M×T 矩阵N=[n(t)，…，n(T)]，T 表示快拍个数，信号向量 S=[s(1)，s(2)，…，s(T)]∈N×T 。
2.1 ℓ1-SVD方法
对于窄带信号源而言，当不相关信号和相干信号同时存在时，多测量数据为：
其中，A(θ)=[a(θ1)，a(θ2)，…，a(θN)]未知，在稀疏假设下，N是小的，文献[10]把DOA估计问题转化成一个稀疏信号重建问题，构建字典，K max(N，M)，假设{θ1，θ2，…，θN} 令si(t)=，Y=AS+N ，Y=[y(1)，y(2)，…，y(T)]。
正则化是结构风险最小化策略的实现对矩阵Y奇异值分解（SVD）Y=UΛVH，令YSV=UΛDK=YVDK，其中DK=[IK0]′，IK为K×K单位矩阵，0是 K×(T-K)零矩阵，令 SSV=SVDK，NSV=NVDK，为了满足YSV=ASSV+NSV，逐列考虑此方程有：
定义，Nθ×1向量 对应空间谱的稀疏性，最小化式（6）可以得到空间谱：
其中，Frobenius范数定义为
ℓ1-SVD方法可概括成如下三步：做奇异值分解Y=UΛVH；取YV的前N列，记为YSV，M×N；求解下面的优化问题：
其中，SSV∈K×N为 SV的前 N列，K×1维 SC定义为SSV的2范数，是估计的稀疏谱，β是给定的调整参数。
ℓ1-SVD方法的主要优点是具有很好的超分辨性能和信号相关稳健性，缺点主要是需要已知信号源个数且复杂度随其成比例增加，当阵元数为M，各信源相距不太近时，ℓ1-SVD方法能分辨出的信源个数最多是M-1。
2.2 最小冗余线阵（MRLA）
对于ULA，x(t)的相关矩阵为：
其中，E(·)、(·)H 和 (·)* 分别表示期望、转置和共轭算子。r(m)，m=0，1，…，M-1是随机过程 x(t)的相关函数。由式（1）和（8）可得：
其中，RS=E[s(t)sH(t)]，当信号源相互独立或不相关时，显然 R是Toeplitz矩阵，根据Toeplitz矩阵结构特点，只要已知R第一行，就可以准确重构整个矩阵。
式（8）表明，对于具有 M 阵元的ULA，在 M2个相关函数中只有M个独立的相关函数。因此，ULA输出相关矩阵是一个冗余的Toeplitz矩阵，减少线性阵列冗余的常用方法是采用非均匀线阵。事实上，不同的阵元分布可以获得与ULA相同的相关函数，冗余度随着阵元数增加而增加。设计MRLA的原则是将非均匀线阵的M阵元与ULA的P阵元等价，其中M＜P。表1为
一些最小冗余线阵配置，其中{di}表示相对于参考阵元而言第i个阵元的位置[12]。
表1 一些最小冗余线阵配置M 234567891 0 P2471 0 14 18 24 30 37{di}{0，1}{0，1，3}{0，1，4，6}；{0，2，5，6}{0，1，4，7，9}{0，1，6，9，11，13}{0，1，4，10，12，15，17}{0，1，4，10，16，18，21，23}{0，1，4，10，16，22，24，27，29}{0，1，3，6，13，20，27，31，35，36}
3 本文方法
假设具有M阵元的无源线性阵列，相对于参考阵元的阵元位置d1＜d2＜…＜dM，每个阵元位置di都是固定距离d的整数倍。假设一个M阵元的非均匀线阵，N个独立的窄带信号源，其中信号源个数N是已知的，在此，取M=4为例，设相对于参考阵元的阵元位置为d1,d2,d3,d4，且有如下取值{d1,d2,d3,d4}={0,2d,5d,6d}，d=λ/2，λ为信号载波波长，阵列接收向量X(t)=[x0(t)x2(t)x5(t)x6(t)]T可通过下式得到：
其中，t=1，2，…，T，阵列接收向量的相关矩阵为：
对矩阵R奇异值分解，保留其信号子空间US，构建字典，其中 Nθ是角度采样数，Nθ×1维向
量的稀疏性对应空间谱的稀疏性，通过最小化式（12）估计DOA：
由于独立信号的相关矩阵具有Toeplitz结构，且矩阵 R中含有 r(0)，r(1)，r(2)，r(3)，r(4)，r(5)，r(6)，构造7×7的扩展矩阵：
又有 r(-m)=r*(m)，(m=0，1，…，6)，则通过 R 可以得到具有7阵元ULA的相关矩阵：
同理，对进行奇异值分解保留信号子空间S，通过下面的优化问题利用ℓ1-SVD方法估计信号的DOAs：
其中，DOA估计问题被看作是子空间快稀疏重建，构建超完备字典 =[a(θ1)，a(θ2)，…，a(θK)]，7×K ，K 为角度采样数，K＞＞N ，[θ1，θ2，…，θK]为所有可能的信号采样角度。是矩阵∈K×N的第i行，即为优化问题的解。Frobenius范数定义为，β是正则化参数。在此选取足够高的  β使的概率很小，其中。向量的稀疏性对应于稀疏谱的稀疏性。由式（15）可以得到S～的稀疏谱。本文所提方法也需要已知信源个数N。
4 仿真实验
假设超完备字典 的方向是从1°到180°间隔为0.5°的均匀采样，信号协方差矩阵可通过这些采样由下式得到：
其中，T为快拍数。
假设所有信号源都具有相同的能量，输入信噪比 SNR 为是噪声的能量。通过500次Monte Carlo仿真得到DOA估计的均方根误差RMSE：

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