㊀第３８卷第１期物㊀探㊀与㊀化㊀探Ｖｏｌ．３８，Ｎｏ．１㊀㊀２０１４年２月ＧＥＯＰＨＹＳＩＣＡＬ＆ＧＥＯＣＨＥＭＩＣＡＬＥＸＰＬＯＲＡＴＩＯＮＦｅｂ．，２０１４㊀
ＤＯＩ：１０．１１７２０／ｊ．ｉｓｓｎ．１０００－８９１８．２０１４．１．１４
改进的曲波变换及全变差联合去噪技术
薛永安，王勇，李红彩，陆树勤
（中国石油化工股份有限公司江苏油田分公司物探技术研究院，江苏南京㊀２１００４６）
摘要：运用常规的基于曲波变换和全变差的联合去噪技术，可以有效地衰减随机噪声，较好地克服使用曲波变换带来的强能量团以及在同相轴边缘产生的不光滑现象，但是这种常规的联合去噪方法对有效信号有一定的损害㊂笔者采用一种多尺度多方向改进的Ｄｏｎｏｈｏ阈值去噪思想，较好地克服了常规的联合去噪方法的缺陷，保护了有效信号㊂该方法在应用曲波变换去噪时，对每一个尺度的每一个方向都选取一个合适的阈值因子，而不是常规的方法对整个曲波系数矩阵只选取一个固定比例的阈值因子㊂理论模型与实际资料的处理结果表明，该技术最大限度地保留了地震数据的有效信号，在地震资料处理中具有较好的应用前景㊂
关键词：曲波变换；全变差；随机噪声；多尺度
中图分类号：Ｐ６３１．４㊀㊀㊀文献标识码：Ａ㊀㊀㊀文章编号：１０００－８９１８（２０１４）０１－００８１－０６
㊀㊀在地震勘探中，常规的随机噪声衰减方法对有效信号的损害比较大㊂为了较好地去除随机噪声，Ｎｅｅｌａｍａｎｉ等人在２００８年引入了一种多尺度的变换方法  曲波变换来衰减随机噪声，取得了较好的效果［１］㊂但是曲波变换不可避免地会产生伪影现象，同时在同相轴边缘产生不光滑现象，为了克服曲波变换的这个缺点，２０１０年，清华大学的唐刚在其博士论文中详细介绍了基于曲波变换和全变差的联合去噪技术，在压制随机噪声的同时，较好地保护了有效信号，同时该方法较好地压制了单独使用曲波变换去噪时产生的伪影现象［２］㊂此前，２００８年卢成武㊁２００９年倪雪，都相继介绍过基于曲波变换和全变差的联合去噪技术［３－４］㊂曲波变换最先由Ｃａｎｄèｓ和Ｄｏｎｏｈｏ等人于１９９９年在Ｒｉｄｇｅｌｅｔ变换的基础上提出［５］，随后几年，Ｃａｎｄèｓ等人对第一代Ｃｕｒｖｅｌｅｔ变换作了比较大的改进［６］㊂２００４年，ＨｅｒｒｍａｎｎＦ等最先将Ｃｕｒｖｅｌｅｔ变换应用到地震数据处理领域，成功地将Ｃｕｒｖｅｌｅｔ变换应用到多次波的衰减中［７－８］㊂虽然运用的联合去噪技术较好地克服了单独使用曲波变换去噪带来的强能量团以及在同相轴边缘产生的不光滑现象，同时较好地保护了有效信号，但是这种联合去噪方法对有效信号有一定损害［９］，笔者对该方法进行了一定的改进，通过模型数据和实际数据的测试表明，该技术较好地衰减了随机噪声，同时最大限度地保留了地震数据的有效信号，是一种值得推广的随机噪声压制方法㊂
１㊀第二代曲波变换及全变差技术简介１．１㊀第二代曲波变换简介
连续曲波变换属于稀疏理论的范畴，可以采用基函数与信号的内积形式实现信号的稀疏表示，因此曲波变换可以表示为
ｃ（ｊ，ｌ，ｋ）＝ ｆ，φｊ，ｌ，ｋ⓪＝ʏＲ２ｆ（ｘ）φｊ，ｌ，ｋ（ｘ）ｄｘ，（１）式中：φｊ，ｌ，ｋ表示曲波函数，ｊ，ｌ，ｋ分别表示尺度㊁方向㊁位置参数㊂
因为数字曲波变换是在频域进行的，根据Ｐｌａｎｃｈｅｒｅｌ定理，可以将这种内积形式表示成频域的积分形式
ｃ（ｊ，ｌ，ｋ）＝１（２π）２ʏ＾ｆ（ω）φｊ，ｌ，ｋ（ω）ｄω＝
１
（２π）２ʏ＾ｆ（ω）Ｕｊ（Ｒθｌω）ｅｊ ｘ（ｊ，ｌ）ｋ，ω⓪ｄω，（２）经过变换后得到Ｃ｛ｊ｝｛ｌ｝（ｋ１，ｋ２）结构的系数，ｊ表示尺度，ｌ表示方向，（ｋ１，ｋ２）表示尺度层上的矩阵坐标［６］㊂
１．２㊀全变差技术简介
全变差最小化技术最先由Ｒｕｄｉｎ等人于１９９２年提出（通常称ＲＯＦ模型），经过全变差的定义及化简，得数据ｆ的全变差
收稿日期：２０１２－１２－２５
物㊀探㊀与㊀化㊀探３７卷㊀
ＴＶ（ｆ）＝
ʏΩ｜∇ｆ｜ｄｘ，
（３）
其中：Ω为图像ｆ的支撑区间，ｘɪΩ为图像的坐标向量㊂基于全变差的去噪方法可归结为最小化问题
Ｅ（ｆ）＝
ʏΩ
｜ｆ－ｆ
０
正则化是结构风险最小化策略的实现｜２ｄｘ＋λＴＶ（ｆ），（４）
其中：第一项为逼近项，使去噪后的图像依然能够较好地逼近原始图像；第二项是全变差正则化项；λ是拉格朗日常数，在逼近项和正则化项之间起着重要的平衡作用㊂
上述目标函数Ｅ（ｆ）是ｆ的凸函数，其存在极值的充分必要条件是∇Ｅ（ｆ）＝０，由此可以得到其对应的Ｅｕｌｅｒ⁃Ｌａｒｇｒａｎｇｅ方程为
－∇∇ｆ｜∇ｆ｜æèçöø
÷＋λ（ｆ－ｆ０）＝０㊂（５）
该方程为非线性方程，假设方程满足Ｎｅｕｍａｎｎ边界条件，通过梯度下降法对数据进行反复迭代得到一个稳定解，从而得到去噪后的数据，其迭代公式
ｆｎ＋１＝ｆｎ－ｔｎ［ｇＴＶ（ｆｎ）］㊂（６）其中：令初始值ｆ１＝ｆ０，ｔｎȡ０表示迭代步长，ｇＴＶ（ｆ）
＝－∇∇ｆ｜∇ｆ｜æèçöø÷表示全变差函数在ｆ处的次梯度［１０］
㊂
２㊀改进的联合去噪策略
常规的联合去噪技术通常在曲波变换后对每一个尺度都选取一个相同比例的阈值，该选取方法不能够充分利用曲波变换的优点，会造成某些区域有
效信号损害相对较大，而某些区域，去噪效果不理想的情况，传统的联合去噪流程见图１㊂通常地震数据经过曲波变换后，被划分成多个尺度层，最内层，也就是第一层称为Ｃｏａｒｓｅ尺度层，是由低频系数组成的；最外层，称为Ｆｉｎｅ尺度层，是由高频系数组成；中间的尺度层称为Ｄｅｔａｉｌ尺度层，是由中高频系数组成的㊂在不同的尺度层，有效信号和随机噪声的系数分布是不一样的，在Ｃｏａｒｓｅ尺度层它们之间的系数没有较明显分界，同时随机噪声在这个尺度层占的比重不大，因此，在这个尺度层可以多保留一些系数，同时在Ｄｅｔａｉｌ尺度层和Ｆｉｎｅ尺度层选择合适的阈值㊂通过该方法的的处理，能够更好地保留有效信号，达到高保真处理的目的，改进的联合去噪流程见图２㊂对于多尺度阈值的选取，主要是在Ｄｏ⁃ｎｏｈｏ阈值处理的基础上进行一定的改进，尽管Ｄｏ⁃ｎｏｈｏ阈值法一开始主要是用于小波阈值的求取，但是对Ｃｕｒｖｅｌｅｔ变换的阈值求取也有一定的借鉴意义，Ｄｏｎｏｈｏ提出的阈值求取方法如
Ｔｔｈｒｅｓｈｏｌｄ＝σ２ｌｏｇＮ
（７）
所示㊂其中：σ＝Ｍｅｄｉａｎ（Ｃｉ，ｊ）／０．６７４５，Ｎ为地震数据的长度㊂
在Ｄｏｎｏｈｏ阈值处理的基础上，在Ｃｕｅｖｅｌｅｔ变换的每一个尺度和方向上选取一个合适的阈值（即对Ｄｏｎｏｈｏ阈值进行一定的调整，针对不同的尺度特点，为更好地去噪，０．６７４５可以改为更大或更小），能够在消除随机噪声的同时
，较好地保留有效信号
㊂
图１㊀传统的联合去噪流程
图２㊀改进的联合去噪流程
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２８㊃
㊀６期薛永安等：改进的曲波变换及全变差联合去噪技术３㊀模型及实际数据测试
选取两个模型数据和一块江苏油田工区的实际数据进行测试㊂
首先选取一个双曲模型进行测试（胡天乐提供），该模型为５１２道，２０４８个采样点，１ｍｓ采样㊂图３ａ为原始不含噪声数据，图３ｂ是加入随机噪声以后的数据得到的信噪比为０．２８的含噪剖面，这里
的信噪比用信号振幅的平方和与噪声振幅的平方和的比值来表示㊂图３ｃ是传统的联合去噪方法去噪后的结果，信噪比为２㊂图４ａ和图４ｂ为Ｄｏｎｏｈｏ阈值法及改进的Ｄｏｎｏｈｏ阈值去噪后的结果，信噪比分别达到３．８５和４．２，图４ｃ和４ｄ分别为这两种方法去噪后的结果与不含噪数据的误差剖面，从图中可以看到，改进Ｄｏｎｏｈｏ阈值法要优于前两种方法，同时保护了有效信号
㊂
ａ 原始不含噪数据；ｂ 加入随机噪声后的数据；ｃ 传统的联合去噪方法去噪后
图３㊀原始模型数据（一
）
ａ Ｄｏｎｏｈｏ阈值去噪后结果；ｂ 改进Ｄｏｎｏｈｏ阈值去噪后结果；ｃ Ｄｏｎｏｈｏ阈值去噪后的误差剖面；ｄ 改进Ｄｏｎｏｈｏ阈值去噪后的误差剖面
图４㊀Ｄｏｎｏｈｏ阈值去噪及改进后的Ｄｏｎｏｈｏ阈值去噪
㊀㊀第二个模型数据为６４道，５０１个采样点，时间采样间隔为１ｍｓ，不含噪声的数据见图５ａ，加入随机噪声，得到信噪比为０．３的含噪数据（图５ｂ）㊂经过传统的联合去噪方法压制后，地震资
料的信噪比
得到了较大的提高，信噪比为１．８２，随机噪声得到了有效的压制，同时曲波变换的伪影现象也得到了有效克服（图６ａ）㊂
但是，从图６ｂ中的误差数据可以看到，运用常
规的联合去噪方法对有效信号有一定损害，特别是对近偏移距数据和弯曲同相轴损害较大㊂运用笔者提出的改进方法，去噪结果见图７ａ，误差结果见图
７ｂ，信噪比达到１．９５㊂从图中可以看到，运用改进的方法，有效信号得到了很好的保真，特别是近偏移距附近的同相轴得到了很好的保留，因此改进的方法是一种有效的高保真的处理方法㊂
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３８㊃
物㊀探㊀与㊀化㊀探３７卷
㊀
ａ 原始不含噪声数据；ｂ 加入噪声后的数据
图５㊀原始模型数据（二）
及原始含噪数据
ａ 常规联合去噪方法去噪后的数据；ｂ 误差数据
图６㊀
模型数据处理结果
ａ 本文方法去噪后的数据；ｂ 误差数据
图７㊀模型数据处理结果
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４８㊃
㊀６期薛永安等：改进的曲波变换及全变差联合去噪技术㊀㊀研究中，选取江苏油田某工区的偏移数据作为
测试对象（图８ａ），本数据有２００道，４５１个采样点，采样间隔为１ｍｓ，运用笔者提出的改进的联合去噪方法和常规的联合去噪方法进行对比，图８ｂ和图
８ｃ分别为常规的联合去噪方法去噪后的结果及误差剖面㊂从图中可以看到本地区资料断层发育，由于随机噪声的存在，影响了资料的品质㊂经过联合去噪以后，原始剖面中的随机噪声得到了很好的压制，剖面的信噪比得到了明显的提高，同时剖面的断点得到了很好的保留㊂但是在构造复杂区，有效信号受到一定的损害，在误差剖面中可以明显看到有效信号的存在，同时在深部弱信号区域，对有效信号的保真比较差㊂
图９显示的是用笔者提出的方法处理的结果，从去噪剖面和误差剖面中可以看到，随机噪声不但得到了很好的压制，在构造复杂区的有效信号也得到了很好的保留，深部弱信号也得到了很好的保留
㊂
ａ 实际原始数据；ｂ 常规方法去噪后的结果；ｃ 误差剖面
图８㊀
实际数据常规处理结果
ａ 本文方法去噪后的结果；ｂ 误差数据
图９㊀实际数据改进的方法处理结果
４㊀结论
改进的联合去噪技术，经过模型数据和实际数据的测试表明，该方法可以有效的压制地震数据中
的随机噪声，对于复杂构造区的资料，在去噪的同时，更好地保留了有效信号，使反射波同相轴更加清晰㊁连续性更好，同时较好地保留了断点㊁断面的信息，是一种值得推广的随机噪声压制技术㊂
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