刘仕友，宋维琪，闫安菊．基于稀疏重建分析的道集优化方法[J
．石油物探,２０２３６２２２９７㊀Ｇ３０４
L I US h i y o u ,S O N G W e i q i ,Y A N A n j u ．A g a t h e ro p t i m i z a t i o n m e t h o db a s e do nas p a r s er e c o n s t r u c t i o na n a l y s i s [J ]．G e o p h y
s i c a l P r o s p e c t i n g f
o rP e t r o l e u m ,２０２３,６２(２):２９７㊀Ｇ３０４收稿日期:２０２１Ｇ１０Ｇ１８.
第一作者简介：刘仕友(１９８２ )，男，博士在读，主要从事油气地球物理勘探研究工作.E m a i l :l i u s h i y
o u ＠１３９．c o m 基金项目：中海石油(中国)有限公司重大科技项目 南海西部油田上产２０００万方关键技术研究 (C N O O C ＧK J １３５Z D XM ３８Z J ０２Z J
)资助.T h i s r e s e a r c h i s f i n a n c i a l l y s u p p o r t e db y t h eM a j o rT e c h n o l o g y P r o j
e c t o fC N O O CC h i n aL i m i t e d (G r a n tN o ．C N O O C ＧK J １３５Z D X M ３８Z J ０２Z J )．基于稀疏重建分析的道集优化方法
刘仕友１,２
，宋维琪１，闫安菊２
(１．中国石油大学(华东)，山东青岛２６６５８０;２．中海石油(中国)有限公司海南分公司，海南海口５７０１００
)摘要：地震叠前道集处理的优劣一方面决定了叠后处理结果的好坏，另一方面影响地震A V O 解释结果的正确与否，因此叠前道集的优化处理具有重要的意义.受子波拉伸㊁拉伸调谐效应㊁薄层调谐效应等因素的影响，叠前道集记录包含了除地层反射信息以外的无用的干涉信息，单一子波字典不能对其进行很好的稀疏表示，而过完备子波字典能够对地震信号进行多特征稀疏表示.针对共反射点(C R P )叠前道集，研究了基于稀疏重建策略的道集优化方法.首先，建立了地震记录子波投影下的稀疏反射系数估计的约束优化目标函数和基于最小二乘的无约束优化目标函数，为了保障解的稳定性，引入了正则化策略和震荡平滑策略.
其次，在雷克子波字典库基础上，考虑主频㊁吸收衰减㊁时移及相位变化等因素，建立多特征表示的复
杂过完备字典库，地震记录通过过完备子波字典投影后，反射系数㊁子波的拉伸效应㊁调谐效应等能够较好地进行稀疏表示，进而提取更准确的反射系数.综合以上两方面的研究，形成了过完备字典库表示下的正则化正交匹配追踪算法.理论模型和实际资料的处理结果表明，处理后的地震叠前道集在噪声压制㊁拉伸校正及提高分辨率等方面都有一定程度的改善与优化.关键词：叠前道集；过完备字典库；稀疏表示；正交匹配追踪算法；道集优化处理中图分类号:P ６３１
文献标识码:A
文章编号:１０００Ｇ１４４１(２０２３)０２Ｇ０２９７Ｇ０８
D O I :１０．３９６９/j ．i s s n ．１０００Ｇ１４４１．２０２３．０２．０１０A g a t h e r o p t i m i z a t i o nm e t h o db a s e d o na s p a r s e r e c o n s t r u c t i o na n a l y
s i s L I US h i y o u １,
２,S O N G W e i q i １,Y A N A n j
u ２(１．C h i n aU n i v e r s i t y o f P e t r o l e u m (E a s tC h i n a ),Q i n g
d a o ２６６５８０,C h i n a ;２．C N O O C C h i n aL i m i t
e d H a i n a nB r a n c h ,H a i k o u ５７０１００,C h i n a )
A b s t r a c t :A s t h e q u a l i t y o f p r e Ｇs t a c k p r o c e s s i n g d e t e r m i n e s t h e q u a l i t y o f p o s t Ｇs t a c kr e s u l t sa n da f f e c t s t h ea c c u r a c y o f s e i s m i c A V Oi n t e r p r e t a t i o n ,i m p r o v e m e n t a n do p t i m i z a t i o no f t h e p r e Ｇs t a c k t r a c e s e t i s e s s e n t i a l ．O w i n g t
o t h e i n f l u e n c e o fw a v e l e t s t r e t c Ｇh i n g ,s t r e t c h i n g t u n i n g e f f e c t ,t h i n l a y e r t u n i n g e f f e c t ,a n do t h e r f a c t o r s ,i t c o n t a i n s r e d u n d a n t i n t e r f e r e n c e i n f o r m a t i o ne x c e p
t f o r f o r m a t i o n r e f l e c t i o n ,w h i c h f u r t h e r c o m p l i c a t e s p r e Ｇs t a c k t r a c k s e t r e c o r d i n g ．As i n g l ew a v e l e t d i c t i o n a r y c a n n o t r e p r e s e n t t h e s e i s Ｇm i c s i g n a l e f f e c t i v e l y ,w h e r e a s a n o v e r c o m p l e t ew a v e l e t d i c t i o n a r y c a n p e r f o r m m u l t i f e a t u r e d s p a r s e r e p r e s e n t a t i o n s o f s e i s m i c s i g
Ｇn a l s ．F o r a c o mm o n r e f l e c t i o n p o i n t p r e Ｇs t a c kt r a c e s e t ,a p a t hs e t o p t i m i z a t i o n m e t h o db a s e do nas p a r s e r e c o n s t r u c t i o ns t r a t e g y w a s s t u d i e d ．I n i t i a l l y ,t h ec o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o no b j e c t i v ef u n c t i o na n du n c o n s t r
a i n e do p t i m i z a t i o no b j e c t i v ef u n c t i o nb a s e do n l e a s t s q u a r ew e r ee s t a b l i s h e df o rs p a r s er e f l e c t i o nc o e f f i c i e n te s t i m a t i o nu n d e r t h ew a v e l e t p r o j e c t i o no fs e i s m i cr e c o r d s ．S u b s e Ｇq u e n t l y ,r e g u l a r i z a t i o na n d o s c i l l a t i o n s m o o t h i n g s t r a t e g i e sw e r e i n t r o d u c e d t o e n s u r e t h e s t a b i l i t y o
f t h e s o l u t i o n ．B a s e d o n t h e b u i l t R i c k e rw a v e l e t d i c t i o n a r y a n dc o n s i d e r i n
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㊀㊀基于地震叠前道集的A V O分析非常重要，叠前地震资料的应用范围在逐步扩大，随着勘探目标复杂程度的提高，对叠前道集的精准处理的要求也在不断提高.关于叠前地震资料处理的研究成果有许多报
道.１９７２年,B U C HHO L T Z[１]在研究偏移量量化方法的基础上，讨论了拉伸程度校正方法.为了避免动校拉伸对最终叠加结果的负面影响，希望对失真的大偏移距数据进行切除,R U P E R T等[２]提出了块传送总和(B M S)方法来解决拉伸问题而不是简单地进行数据切除.S H A T I L O等[３]改进了R U P E R T 等[２]提出的B M S技术.H I C K S[４]结合R a d o n变换和空间傅里叶变换，开发了一种新的变换，该变换对NMO校正后的C M P道集去除拉伸效应.T R I C KＧE T T[５]讨论了H I C K S[４]方法的缺点，并提出了一种通过反演直接生成无拉伸叠加数据的替代方法. Z H A N G等[６]研究了子波匹配方法，进行反射同相轴建模，以达到校正的目的.S H I N等[７]提出了一种通过补偿偏移拉伸来提高振幅随偏移距㊁S波阻抗和密度变化分辨率的方法.张良等[８]提出了基于压缩感知理论的S h e a r l e t变换技术来重建地震数据.
H E R R MA N N等[９]提出了基于压缩感知和稀疏增强的成像方法来提高地震资料的分辨率.赵子越等[１０]利用压缩感知技术的离散正交S变换进行地震数据的重建.
稀疏重建压缩感知理论[１１Ｇ１３]是现代信号分析的一个新的重要研究领域，源于海量数据高效压缩传输，这些年来在地震勘探中取得了一定的应用效果，特别是在缺失地震道重建[１４Ｇ１５]㊁噪声压制等方面有独特的优势.随着稀疏理论研究的不断发展，国内外学者研究了多种形式的理论方法和实现算法，例如匹配追踪算法(M P)㊁正交匹配追踪算法(OM P)和针对处理高维复杂信号[１６Ｇ１８]的软硬阈值收缩迭代算法等.压缩感知理论在提高地震资料分辨率方面的应用也早有研究，张良等[１９]研究了利
用压缩感知理论与C o n t o u r l e t变换进行地震数据重建方法；宋维琪等[２０Ｇ２１]首先研究了叠后地震资料基于反射系数估计
的提高分辨率方法，之后又研究了基于分布式压缩感知理论的多道地震资料压缩感知提高分辨率的方法，同时基于压缩感知理论进行了去噪方法的研究.
叠前地震道集不仅包含叠后地震道信息，还包含A V O信息等.提高叠前地震资料分辨率的研究很多，如石战战等[２２]提出的基于联合稀疏表示的共偏移距道集随机噪声压制方法.道集优化处理包括谱平衡㊁子波拉伸校正㊁薄层调谐校正等，各种效应都是体现在子波上，实际地层的A V O反射系数是地层和偏移距的函数，而反射系数相对地震子波而言又是稀疏的，鉴于此，本文研究了基于稀疏重建策略的道集优化处理，具体包括子波拉伸效应㊁调谐效应及吸收衰减响应等各种效应.
１㊀基本方法
１．１㊀地震信号稳健稀疏重建方法
对于地震叠前道集，地震子波和反射系数随偏移距变化而变化，地震信号s可以表示为子波与反射系数的褶积:
s＝w∗r＝ðN－１i＝０(w i r i)(１)式中:w为地震子波;r为反射系数;∗为褶积符号.根据压缩感知重建理论，
反射系数估计问题可以表达为：根据叠前地震记录S来估计稀疏反射系数模型.在压缩感知框架下，反射系数估计问题可以表示为: m i n S－A r ２２㊀s t．㊀m i n r ０(２)式中:r＝[r１,r２, ,r N]T为反射系数向量;A为子波字典矩阵.
假设地震子波为雷克子波:
w＝[１－２(πf m t)２]e－(πf m t)２(３)其中,f m代表任意频率.(３)式中子波写为离散形式w＝[w０,w１, ,w N－１]T，由此可以构造如下的子波字典矩阵:
８９２石㊀油㊀物㊀探第６２卷
A＝
w０w N－１ w１
w１w０ w２
⋮⋮⋮
w N－１w N－２ w０
é
ë
ê
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
ú
(４)
㊀㊀公式(２)的第二项理论上取L１范数就将非凸优化问题变化为凸优化问题，并且稀疏化程度比L２范数要大.但是L１范数下的优化计算过程稳定程度比L２范数差.为了便于求解，将以上非凸优化问题变为凸优化问题，同时为了既保障算法的稳定性，又保证算法稀疏性，将(２)式第二项变换为加权L２范数优化问题.建立以下最小化目标函数:
J＝ S－A r ２２＋ρ u r ２２(５)式中:u为尺度参数;ρ表示加权系数.
为了达到计算稳定的目的，加入T i k n o h o w正则化因子D:
J＝ S－A r ２２＋ρ u D r ２２(６)㊀㊀上述优化问题有经典解，其表示式为:
^r＝(A T A＋ε２D T D)－１A T S(７)式中:^r为模型参数即反射系数的最小二乘解,ε为加权正则化参数.
整形算子是将输入数据映射到可接受空间的算子，其定义为:
L＝(I＋ε２D T D)－１(８)式中:L为整形算子;I为单位矩阵.(８)式可简化为:
ε２D T D＝L－１－I(９)㊀㊀将(９)式代入(７)式，得到经典解的表达式:
^r＝(A T A＋L－１－I)－１A T S(１０)㊀㊀简化后得到:
r＝[I＋L(A T A－I)]－１L A T S(１１)㊀㊀利用估计的反射系数和无拉伸效应子波进行褶积得到地震记录，写为矩阵形式为:
S＝A r(１２)㊀㊀正交匹配追踪算法常用于公式(１１)的求解.正交匹配追踪算法是基于投影内积最大理论，该算法涉及一系列矩阵运算，特别是矩阵求逆计算.另外，正交匹配追踪算法是根据计算残差和字典进行内积，检索得到内积最大时的字典，实现迭代残差最小，这极易出现数据震荡，重建结果不稳定.为了避免该类问题，针对以上讨论的正则化及整形正则化问题，使用高斯平滑算子或带通滤波器等基础算子作为整形算子，实现正则化机制，这里采用带通滤波算子近似整形进行计算.
１．２㊀实际子波分析及过完备字典建立
稀疏表示是信号重建的基础，字典(投影基)是决
定重建精度和准确度的关键因素之一.叠前道集包
括声阻抗反射和弹性阻抗反射㊁偏移距拉伸因素㊁薄
层调谐以及各种噪声因素等.地震信号采用解析字
典(如小波字典㊁傅里叶变换字典等)进行分解，其结
果只表示单一特征，单一特征分解的解析字典远不能
稀疏表示具有多个特征的地震信号.基于过完备字
典的信号稀疏分解是一种新的信号表示理论，其采用
过完备的冗余函数系统代替传统的正交基函数，为信
号自适应稀疏扩展提供了极大的灵活性.稀疏分解
可以实现数据压缩的高效性，更重要的是可以利用字
典的冗余特性捕捉信号内在的本质特征.使用过完
备的冗余函数字典作为基函数，字典的选择尽可能符
合被逼近信号的结构.实际地震记录是反射系数㊁子
波中心时间㊁峰值频率㊁相位和噪声综合叠加的结果.
一般来说，即使源子波是零相位的，受衰减(１/Q)不连续㊁偏移不准确的影响，地层反射波同相轴的相位
具有不确定性，因此，必须构建一套复杂的子波来构
造字典库.为了更接近地震信号的稀疏表示，我们在
先验雷克子波基础上设计地震过完备字典.字典学
习与字典库建立已经有许多算法，字典学习和压缩感
知联合重建算法也有很多，但是这种联合算法实际计
算效率较低.考虑到实际应用，本文采用井旁道地震
记录和测井资料合成地震记录进行匹配的方法，通过
训练学习建立子波字典库.
将(３)式的雷克子波改进为(１３)式，同时考虑吸收衰减作用((１４)式)，这样复杂子波可改写为(１５)式.
㊀w０(t)＝{１－２[πf m(t－b)]２}e－[απf m(t－b)]２(１３) g(t)＝e x p[－απt f p/q＋２－１πt f p/
q l o g(f p/f０)](１４)
正则化是最小化策略的实现w(t)＝w０(t)∗g(t)(１５)式中:b,α分别为时移和衰减系数;f p,q,f０分别为计算点频率㊁吸收系数㊁主频.
(１５)式中，复杂子波由两项组成，第一项为改进的雷克子波，第二项为相位与衰减变化,b,f m,α这些参数由井旁道地震记录和声波测井资料合成地震记录匹配对比与训练学习获得，其矩阵形式如下:
９９２
第２期刘仕友等．基于稀疏重建分析的道集优化方法
A c ＝ w ０,
１ w N －１,
１
w １,１ w １,２
w ０,２  w ２,２⋮⋮
⋮ w N －１,M
w N －２,
M
w ０,M éëêêê
êêêùûú
úúú
úú(１６
)式中:A c 为通过复杂子波构建的过完备字典;[ w ０,i ,
w １,i , , w N －１,i ]T (
i ＝１,２, ,M )为变主频子波向量，这时构建的过完备字典是一个带状矩阵.
１．３㊀算法实现步骤
１)对叠前C R P 道集的每一道地震记录，分段时频扫描，得到每一段的主频.根据(１３)式㊁(１４)
式和(１５)式，通过改变b ,f m ,α这３个参数，采用正交匹配追踪算法(OM P )建立过完备字典矩阵.２)利用改进的正则化正交匹配追踪算法(A OM P )
进行投影最佳系数的优化计算.３)将地震数据和过完备字典进行内积计算，得到第一次迭代时(最大投影内积)的残差ε.
㊀㊀４
)选取适当的正则化参数d ，这里取残差的一个比例值c ，即d ＝c ε.根据公式(８)，计算整形正则化算子.
５)根据公式(１１)
，利用最小二乘方法进行寻优计算.
６
)重复步骤１)至步骤５)，直至满足给定的残差值终止条件，则停止计算，输出最佳估计反射系数.
７)利用公式(１２
)计算得到改善的地震记录.２㊀理论模型验证
为了验证本文方法的正确性以及合理性，利用理论模型数据进行讨论分析.图１为设计的不同字典矩阵，其中图１a 为常规的雷克子波矩阵，图１b 为研究构建的子波过完备字典矩阵.设计含有一个水平层与一个倾斜层的两层反射系数模型(图２a )，基于该模型分别设计了无拉伸子波合成记录模型和有㊀㊀㊀㊀
图１㊀字典矩阵
a 简单子波矩阵;b
过完备字典矩阵
图２㊀无拉伸子波合成记录重建结果
a 反射系数模型;
b 无拉伸子波合成地震记录;
c 重建结果
０
０３石㊀油㊀物㊀探第６２卷
拉伸子波合成记录，进行地震道集数据重建(图２和图３).图２b 和图２c 分别为无拉伸子波合成地震记录和重建结果，由图２c 可以看出，重建后地震资料分辨率得到明显提高.图３b 和图３c 分别为拉
伸子波合成地震记录和重建结果.对比图２c 和图３c 可以看出,
重建结果基本相同，说明了这两种方式都能很好地去除拉伸效应.图４a 为A V O 反射系数模型，反射系数随着偏移距的增大逐渐减小，同时考虑拉伸子波，其对应的合成地震记录如图４b 所示，这时合成记
录比较复杂，在右侧偏移距较大的地方对应的合成记录同相轴发散.分析该情况下的重建结果(图４c )可以看出，在提高分辨率的同时较好地保持了反射振幅随偏移距增大而逐渐变小的变化规律
.
图３㊀拉伸子波合成记录重建结果
a 反射系数模型;
b 拉伸子波合成地震记录;c
重建结果
图４㊀A V O 反射系数与子波拉伸合成记录及重建结果
aA V O 反射系数模型;bA V O 反射系数拉伸子波合成地震记录;c 重建结果
３㊀实际资料应用
叠前道集资料是A V O 解释的基础数据，而这些
资料往往受拉伸效应的影响，薄层还常伴有调谐效应及散效应等，这些效应是子波的作用结果，与反
射系数无关.这些子波携带的各种效应，只有通过复杂子波稀疏分解才能更好地表示出来.鉴于此，本文研究了基于稀疏重建框架下的地震记录在实际复杂子波投影下的反射系数估计方法，并利用估计的反射系
数来重建地震道集数据，从而提高地震数据的分辨率.为了验证本文方法的应用效果，对C R P 道集进行处理分析.
图５a 为某C R P 道集记录.图５b 和图５c 分别
为完备字典选取小稀疏度(对应算法中的迭代次数少)和大稀疏度(对应算法中的迭代次数多)反射系数的估计结果，对比可以看出，对于完备字典无论稀疏度取小还是取大，反射系数的估计结果都不理想，不但分散且数值大小过于单一.图５d 为复杂过完备字典估计的反射系数结果，可以看出，反射系数的连续
１
０３第２期
刘仕友等．基于稀疏重建分析的道集优化方法

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