矩阵分析实现试卷均衡分配的随机回避原则
试卷与评委间的映射涉及到一个随机回避原则,即某校的评委不能评阅本单位的试卷,且试卷的分配又要求随机性,以保证分配的公平性。通过设计一个简单算法实现该功能,提出随机回避矩阵的概念,对试卷的均衡分配作初步的讨论。
标签：回避原则;随机序列;随机回避矩阵
随机回避是评判体系中一个重要的原则,通常作为一个刚性约束条件。在这个刚性约束条件的基础上,建立相关的指标体系对已满足随机性原则、回避原则的映射进行筛选,从而实现试卷的均衡分配。随机回避原则的实现是一个不容忽视的问题。现已知在大学生数学建模竞赛A题的评卷工作中,M个评委(M个评委来自不同的学校)要完成N份试卷的评分,竞赛试卷来自K个学校,第j个学校有竞赛试卷份,为节省人力,每份试卷只须由其中P( P＜ M <K NP )个评委进行打分就行。随机回避原则包含两部分:
(1)每份试卷由P位不同的评委评阅的选定方案是随机的,记为条件a。
(2)由回避原则,每个评委只能评阅非本单位的试卷,记为条件b。
1 随机回避矩阵的提出
试卷与评委间的一一对应关系可以利用一个二维的数组来表示。随机回避矩阵是一个满足随机性原则和回避原则的0-1矩阵B,在此问题中行序号代表评委号,列序号代表试卷号。B(i,j)=1表示第i个评委评阅第j份试卷。计算机科学发展到今天,在生活中的应用越来越广泛。计算机强大的计算能力在处理随机问题和统计问题上具有不可替代的优越。同样随机回避矩阵的生成容易通过编程来实现,下面以某份试卷j的评委选定为例,阐述算法的基本思路:
(1)产生一个1—M的随机整数序列randperm(M);
(2)从第一步生成的由M个数组成的随机整数序列中依次选择P个与该试卷不冲突的评委号,可生成一个与这P个评委号对应含M个元素的0-1行向量(在P个评委号对应的位置赋值1,其余位置赋值0);
(3)按以上步骤可以生成1份试卷满足条件a和b的评委选定方案。
在上述算法中,回避原则表现在:P个评委号是与该试卷所在单位必须是不冲突的。而随机性表现在:第二步先设定一种选择机制,选择机制并不唯一,也可以是由M个数组成的随机整数序列
中从尾到头依次选择P个与该试卷不冲突的评委号,前提是这种选择机制不影响评委号生成的随机性,可以证明第二步提出的选择机制能够满足随机性原则。
2 随机回避矩阵的生成
上面讨论了某份试卷j的评委选定,由于共有N份试卷,需要生成N个这样的行向量形成矩阵。现做如下处理:按任意设定的学校顺序给该学校的试卷和评委相应编号定位,产生一个矩阵 B  N×M  ;若学校有一个评委参与试卷评分,设前 i-1 个学校总共有试卷 sum1(i) 份,第i个学校的试卷数量为 l(i) 份,前 i+1 个学校(包括第 i+1 个学校)试卷总量为 sum2(i) 份。此评委的不可及范围为第 sum1(i)+1 到第 sum2(i)+1 号间的 l(i) 试卷。该不可及范围正是反映评委号与试卷所在单位号不冲突的条件。像这样的随机回避矩阵可以生成任意个(可以是相同的),通过建立试卷均衡分配条件的指标,从中筛选出符合条件的矩阵,制定出合理的试卷均衡分配方案。
值此,随机回避矩阵已建立。通常试卷的均衡分配要求包含两个方面:
(1)量的均衡:各评委工作量即评阅的试卷数量应均衡(即基本一致);
(2)均衡分散:任意两份试卷评阅中,出现相同评委越少越好;同一个学校试卷不要集中在一个评
委手中,即同一单位的试卷在评委中的分布应尽量均衡。建立试卷均衡分配条件的指标体系后,即可从大量的随机回避矩阵中筛选出满足要求的方案。
3 结语正则化一个5 5随机矩阵
许多离散问题的分析需用到0-1矩阵。0-1矩阵形式简单,表现力强,可拓展性好,便于处理,应用广泛。随机回避矩阵的提出利用了0-1矩阵表现力强等优点,随机回避矩阵作为试卷均衡分配的基础工作,其简单的风格便于深层次的讨论,不失为一种优秀的处理手段。
MATLAB自身的函数库中就包含随机序列生成的randperm( )函数,基于MATLAB这一平台处理随机序列和矩阵方面的优势受到广大科学计算用户的青睐。用MATLAB语言编程生成随机回避矩阵使得工作效率得到显著提高。随机回避原则是试卷均衡分配的一个基本原则,随机回避矩阵则较好地解决了随机回避问题。
参考文献
[1] 宪明,刘国彩,田力.系统中0-1矩阵及其主要性质[J].泰山学院学报,2005,(5).
[2] 王沫然.MATLAB与科学计算(第二版)(M).北京:电子工业出版社,2003.
[3] 陈东彦,李冬梅,王树忠等.数学建模教程[M].北京:科学出版社,2007.

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