基于矩阵分解的协同过滤算法python
一、简介
协同过滤算法是推荐系统中最常用的算法之一。基于用户行为数据，通过计算用户之间的相似度，预测用户对某个物品的评分或者是否会对其感兴趣。其中，矩阵分解是协同过滤算法中的一种重要方法。
本文将介绍基于矩阵分解的协同过滤算法，并使用Python实现。
二、矩阵分解
1. 原理
在协同过滤算法中，我们需要构建一个用户-物品评分矩阵，然后通过计算相似度来预测用户对某个物品的评分或者是否会对其感兴趣。但是，在实际应用中，这个矩阵往往非常稀疏，存在大量缺失值。
为了解决这个问题，我们可以使用矩阵分解的方法。具体来说，我们将原始评分矩阵拆分成两
个低维矩阵：一个是用户-隐含因子矩阵，另一个是隐含因子-物品矩阵。这样，在预测时只需要计算两个低维矩阵的乘积即可得到预测评分值。
2. 数学模型
正则化一个五行五列的随机矩阵设原始评分矩阵为$R_{m*n}$，其中$m$表示用户数，$n$表示物品数。我们将其分解成两个低维矩阵：
$$
R_{m*n} \approx U_{m*k}V_{k*n}
$$
其中，$U_{m*k}$表示用户-隐含因子矩阵，$V_{k*n}$表示隐含因子-物品矩阵，$k$表示隐含因子的个数。
我们需要通过优化损失函数来求解出这两个矩阵。常用的损失函数有均方误差（Mean Squared Error）和交叉熵（Cross Entropy）等。
3. 优化算法
常见的优化算法有梯度下降法、随机梯度下降法和Adam等。其中，随机梯度下降法在实际应用中表现最好。
三、基于矩阵分解的协同过滤算法实现
1. 数据准备
我们使用MovieLens数据集进行实验。该数据集包含多个版本，本文使用的是ml-latest-small版本。该版本包含100,000条评分记录，共有610位用户和9,724部电影。
首先，我们需要下载数据集并导入Python中：
```python
import pandas as pd
# 加载数据集
ratings = pd.read_csv('ratings.csv')
```
2. 数据预处理
由于原始评分矩阵非常稀疏，我们需要将其转换为稠密矩阵。同时，我们需要将用户ID和电影ID映射成连续的整数值。
```python
from scipy.sparse import coo_matrix
# 将用户ID和电影ID映射成连续的整数值
unique_users = ratings['userId'].unique()
unique_movies = ratings['movieId'].unique()
user_to_index = {old: new for new, old in enumerate(unique_users)}
movie_to_index = {old: new for new, old in enumerate(unique_movies)}
# 构建稠密评分矩阵
row = ratings['userId'].apply(lambda x: user_to_index[x]).values
col = ratings['movieId'].apply(lambda x: movie_to_index[x]).values
data = ratings['rating'].values
ratings_matrix = coo_matrix((data, (row, col))).toarray()
```
3. 模型训练
我们使用随机梯度下降法来优化损失函数，并设置一些超参数：
```python
import numpy as np
class MatrixFactorization:
    def __init__(self, n_user, n_item, n_factors=20, lr=0.01, reg=0.1):
        self.n_user = n_user
        self.n_item = n_item
        self.n_factors = n_factors
        self.lr = lr # 学习率
        _lambda = reg # 正则化系数
       
        # 初始化用户-隐含因子矩阵和隐含因子-物品矩阵
        self.user_factors = al(size=(n_user, n_factors))
        self.item_factors = al(size=(n_item, n_factors))
       
    def predict(self, user_ids, item_ids):
        # 预测用户对物品的评分
        return np.sum(self.user_factors[user_ids] * self.item_factors[item_ids], axis=1)
   
    def fit(self, ratings_matrix, epochs=10):
        # 将稠密矩阵转换为稀疏矩阵
        row, col = o()
        indices = np.arange(len(row))
       
        for epoch in range(epochs):
            # 打乱数据集
            np.random.shuffle(indices)
           
            for start in range(0, len(indices), 1000):
                end = min(start + 1000, len(indices))

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