问题 A : 算法5-1：稀疏矩阵转置
时间限制：1 秒
内存限制：32 兆
特殊判题： 否
提交：101
解决： 47
题目描述
稀疏矩阵的存储不宜用二维数组存储每个元素，那样的话会浪费很多的存储空间。所以可以使用一个一维数组存储其中的非零元素。这个一维数组的元素类型是一个三元组，由非零元素在该稀疏矩阵中的位置（行号和列号对）以及该元组的值构成。
矩阵转置就是将矩阵行和列上的元素对换。
现在就请你对一个稀疏矩阵进行转置。以下是稀疏矩阵转置的算法描述：
正则化一个五行五列的随机矩阵
图：稀疏矩阵转置的算法描述
输入格式
输入的第一行是两个整数r和c（r*c <= 12500），分别表示一个包含很多0的稀疏矩阵的行数和列数。接下来有r行，每行有c个整数，表示这个稀疏矩阵的各个元素。
输出
输出c行，每行有r个整数，每个整数后跟一个空格。该结果为输入稀疏矩阵的转置矩阵。
样例输入
6 7
0 12 9 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
-3 0 0 0 0 14 0
0 0 24 0 0 0 0
0 18 0 0 0 0 0
15 0 0 -7 0 0 0
样例输出
0 0 -3 0 0 15
12 0 0 0 18 0
9 0 0 24 0 0
0 0 0 0 0 -7
0 0 0 0 0 0
0 0 14 0 0 0
0 0 0 0 0 0
问题 B : 算法5-2：稀疏矩阵快速转置
题目描述
稀疏矩阵的存储不宜用二维数组存储每个元素，那样的话会浪费很多的存储空间。所以可以使用一个一维数组存储其中的非零元素。这个一维数组的元素类型是一个三元组，由非零元
素在该稀疏矩阵中的位置（行号和列号对）以及该元组的值构成。
而矩阵转置就是将矩阵行和列上的元素对换。参考算法5.1中的具体做法，令mu和nu分别代表稀疏矩阵的行数和列数，不难发现其时间复杂度为O(mu×nu)。而当非零元的个数tu与mu×nu同数量级时，算法5.1的时间复杂度将上升至O(mu×nu2)。因此，需要采用快速的稀疏矩阵转置算法。
现在就请你实现一个快速的对稀疏矩阵进行转置的算法。以下是稀疏矩阵快速转置的算法描述：
输入格式
输入的第一行是两个整数r和c（r<200, c<200, r*c <= 12500），分别表示一个包含很多0的稀疏矩阵的行数和列数。接下来有r行，每行有c个整数，用空格隔开，表示这个稀疏矩阵的各个元素。
输出
输出为读入的稀疏矩阵的转置矩阵。输出共有c行，每行有r个整数，每个整数后输出一个空格。请注意行尾输出换行。
样例输入
6 7
0 12 9 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
-3 0 0 0 0 14 0
0 0 24 0 0 0 0
0 18 0 0 0 0 0
15 0 0 -7 0 0 0
样例输出
0 0 -3 0 0 15
12 0 0 0 18 0
9 0 0 24 0 0
0 0 0 0 0 -7
0 0 0 0 0 0
0 0 14 0 0 0
0 0 0 0 0 0
问题 C : 算法5-3：行逻辑链接的矩阵乘法
时间限制：1 秒
内存限制：32 兆
特殊判题： 否
提交：35
解决： 12
题目描述
对于一个稀疏矩阵，当需要频繁的随机存取任意一行的非零元时，则需要知道每一行的第一个非零元在三元组表中的位置。为此，可以将算法5.2中用来指示“行”信息的辅助数组cpot固定在稀疏矩阵的存储结构中。这种“带行链接信息”的三元组表即为行逻辑链接的顺序表。其类型描述如下：
针对存储于行逻辑链接顺序表的稀疏矩阵，其矩阵相乘的算法与经典算法有所不同。因此，对于两个稀疏矩阵相乘(Q=M×N)的过程可以大致描述如下：
请使用行逻辑链接的顺序表实现两个稀疏矩阵的乘法。
输入格式
输入的第一行是两个整数r1和c1（r1<200, c1<200, r1*c1 <= 12500），分别表示一个包含很多0的稀疏矩阵的行数和列数。接下来有r1行，每行有c1个整数，用空格隔开，表示第一个稀疏矩阵的各个元素。
之后的一行有两个整数r2和c2（c1=r2<200, c2<200, r2*c2 <= 12500），分别表示一个包含很多0的稀疏矩阵的行数和列数。接下来有r2行，每行有c2个整数，用空格隔开，表示第二个稀疏矩阵的各个元素。
输出
输出两个矩阵的乘积。输出共有r1行，每行有c2个整数，每个整数后输出一个空格。请注意行尾输出换行。
样例输入
4 5
0 0 0 69 78
0 0 5 0 0
0 0 0 0 0
0 91 2 0 82
5 6
0 18 0 0 0 0
0 0 67 0 0 0
0 0 0 0 0 41
0 0 47 62 0 0
0 0 0 0 0 35
样例输出
0 0 3243 4278 0 2730
0 0 0 0 0 205
0 0 0 0 0 0
0 0 6097 0 0 2952
提示[+]
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提示[-]
提示：
对于稀疏矩阵M和N，其相乘的基本操作是：对于M中每个元素M.data[p](p=1,2,...,M.tu)，到N中所有满足条件M.data[p].j=N.data[q].i的元素N.data[q]，从而求得M.data[p]与M.data[q]的乘积。需要注意的是，这个乘积只是Q[i][j]中的一部分，需要将其累加从而得到最终的结果。
另外需要注意的是，两个稀疏矩阵相乘的乘积并不一定是稀疏矩阵。
总结：
采用行逻辑链接的顺序表通过使用非零元的行信息，使稀疏矩阵的存储和使用效能进一步提高。尤其是对于稀疏矩阵相乘, 这种算法省去了非常多无谓的计算。
问题 D : 算法5-4：采用十字链表存储的稀疏矩阵
时间限制：1 秒
内存限制：32 兆
特殊判题： 否
提交：18
解决： 17
题目描述
当矩阵的非零元个数和位置在操作过程中变化较大时，就不宜采用顺序存储的结构来表示三元组的线性表了。因此，在这种情况下，采用链式存储结构表示三元组更为恰当。十字链表就是能够实现这样功能的一种数据结构。
在十字链表中，每个非零元可以用一个包含5个域的结点表示。其中i、j和e这3个域分别表示该非零元所在的行、列和非零元的值，向右域right用来链接同一行中下一个非零元，而向下域down用来链接同一列中下一个非零元。同一行的非零元通过right域链接成一个线性链表，同一列的非零元通过down域链接成一个线性链表。每个非零元既是某个行链表中的一个结点，又是某个列链表中的一个结点，整个矩阵通过这样的结构形成了一个十字交叉的链表。
稀疏矩阵的十字链表类型可以描述如下：
下面是建立稀疏矩阵十字链表的算法描述：
给出一个稀疏矩阵，请将其存储到一个十字链表中，并将存储完毕的矩阵输出。
输入格式
输入的第一行是两个整数r和c（r<200, c<200, r*c <= 12500），分别表示一个包含很多0的稀疏矩阵的行数和列数。接下来有r行，每行有c个整数，用空格隔开，表示稀疏矩阵的各个元素。
输出
输出读入的矩阵。输出共有r行，每行有c个整数，每个整数后输出一个空格。请注意行尾输出换行。
样例输入
5 6
0 18 0 0 0 0
0 0 67 0 0 0
0 0 0 0 0 41
0 0 47 62 0 0
0 0 0 0 0 35
样例输出
0 18 0 0 0 0
0 0 67 0 0 0
0 0 0 0 0 41
0 0 47 62 0 0
0 0 0 0 0 35
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提示[-]
提示：
对于m行n列且有t个非零元的稀疏矩阵，算法5.4的执行时间为O(t×s)，其中s=max(m,n)。这是由于每建立一个非零元结点时，都需要通过遍历查询它所在的行表和列表中的插入位置。这是因为我们采用的算法实际上对于非零元的输入先后次序并没有要求，而如果能够保证非零元是按照以行序为主序的顺序输入的话，则可以将十字链表的建立过程修改为O(t)复杂度的。
总结：
采用十字链表存储的稀疏矩阵适用于矩阵中的非零元个数和位置经常发生变化或变化较大的情况，链式结构使得数据的插入、修改和删除变得十分容易。

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