关于模态分析的⼀些问题（⼀）
谐响应分析为什么可以使⽤模态叠加进⾏求解？
谐响应分析是个动⼒学问题，因此⼏乎每⼀本振动⼒学的书籍都会提到如何计算，⽽在⼤学⾥本科阶段⼀般的专业对此并没有较深⼊的教学，如果没有⾃学，⽽有限元软件教学的书籍通常也不会讲，所以就出现了上⾯的问题。下⾯将书上的内容摘于此处，并对其中部分加以解释。
单⾃由度受迫振动
⼀个单⾃由度受迫振动的基本模型、受⼒情况以及振动⽅程如图⽰（单⾃由度：仅竖直⽅向的平动⾃由度）
上述微分⽅程的通解分为两部分：有阻尼⾃由振动⽅程的通解+有阻尼受迫振动的特解。⼩阻尼⾃由振动，其⽅程的通解为：
正弦曲线的幅值受到随时间衰减的指数函数控制，因此随着时间逐步发展，其振幅逐渐减⼩，直⾄最终⾃由振动消失（没有明显的⾃由振动，毕竟指数函数⽆限接近⽔平轴，但是却⼜不是⽔平轴，所以理论上振幅还是存在），该函数的曲效如下图所⽰：
线性代数 正则化
⼩阻尼受迫振动，其⽅程的特解为：
⼩阻尼受简谐振动微分⽅程的特解还是⼀个谐函数，且该谐函数的频率与激振频率⼀致，振幅、相位取决于系统⾃⾝的固有属性和激励幅值。让⼈⽐较好奇的是，⼤多数分析说的是激励，⽽谐响应，细品，居然说的是响应。激励与响应具有同样的特性，都是谐函数。
实际上受到稳态激励的作⽤，其响应包括三部分组成：第⼀部分由初始条件产⽣的⾃由振动、第⼆部分
由简谐激励⼒产⽣的受迫振动，第三部分是伴随受迫振动产⽣的⾃由振动。由于系统中存在的阻尼，随时间变化，在⼀开始产⽣的⾃由振动以及伴⽣⾃由振动（伴随受迫振动产⽣的⾃由振动）逐渐消亡，仅留下稳态受迫振动部分。因为谐响应关注的是稳态响应，开始的两类并不考虑。
⽅程耦合
接触模态常听到“耦合”⼆字，那什么是耦合呢，前前后后也问过许多⼈，可真的是没有弄清楚，现在还是。但是现在到了合适的理解⽅法，哪怕只能意会，也可以。耦合，想到的是“藕断丝连”，即多个对象（⼴义的对象）相互联系作⽤的⼀种关系。观察下⾯这个例⼦就可以意会了：
这是⼀个⼆⾃由度系统，其振动微分⽅程如下所⽰：
将上述微分⽅程写成矩阵的形式，得到如下：
上⾯的矩阵，除了质量矩阵外，刚度与阻尼矩阵都不是对⾓矩阵。⽽在实际的多⾃由度系统中，质量、刚度、阻尼通常都不是对⾓矩阵。为什么要提到对⾓矩阵呢？由线性代数计算可知，⾮对⾓矩阵展开的⽅程组都是联⽴在⼀起的，必须联⽴才能求解；⽽对⾓矩阵展开以后都是⼀⾏对应⼀个⽅程，每个⽅程组可以单独求解，显然对⾓矩阵对于求解要⽅便得多。这种⾮对⾓的形式即称为耦合，耦合并不好，不利于计算。
⽅程解耦
解耦，简单粗暴的理解就是将⾮对⾓矩阵转化为对⾓矩阵。解耦是为了解⽅程更⽅便，⽽模态分析或者模态变换就是这么⼀种⽅法。上述⽅程是否耦合或者说其表现形式：矩阵是否为对⾓阵，其由描述⽅程的坐标系统决定的。模态分析就是⼀种坐标变换，将这种物理坐标所描述耦合关系，变换到模态坐标下，即⽤模态坐标表达，矩阵对⾓化了呢。实际过程还是有些复杂，这⾥简单粗暴的理解下。
下⾯⼀个例⼦很简洁的描述了这样的⼀个效果，⽤不同的坐标表⽰，矩阵的形式不同：
要使得矩阵对⾓，就需要刚度矩阵的左下与右上元素为零，显⽰不存在这样的条件，因此上述问题使关于刚度的耦合。改⽤坐标表达：
观察质量矩阵和刚度矩阵，已经是对⾓矩阵了，在对⾓矩阵的情况下，显然求解更容易的。在阻尼⾥⾯有⼀个Rayleigh模型，其并不具有实际物理意义，仅仅是为了计算⽅便，⽽这个⽅便即是阻尼矩阵对⾓化，你要是提出⼀个更容易对⾓化的阻尼表⽰⽅法也是可以的，完全可以盖过这位前辈，还没听说有更好的办法。
模态叠加
⽆阻尼受迫振动⽅程如下所⽰：
利⽤阵型变换上述⽅程：
上⾯这样变化做什么⽤的，有了前⾯⼀部分知识估计也能猜得出来，没错，就是为了获得对⾓矩阵，或者说矩阵对⾓化。上⾯的⽅程不管怎样去变化，都
离不开三个：质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵。那你说变换就变化，你说对⾓化就对⾓化呢？我不服。矩阵能不能对⾓化，以及如何对⾓化，这个是线性代数的内容，所以要研究三个矩阵是否满⾜这些条件。如果展开细讲，就涉及到了矩阵的正定判别，矩阵正交化、单位化，⽽巧就巧在三个矩阵

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