基于冲击能量的非线性刚度线性等效方法
何斌 刘建湖
(中国船舶科学研究中心，江苏 无锡 214082)
摘要：DDAM 是舰船设备抗冲击计算的主要手段，基于模态理论和冲击谱方法，简单易算，方便实用，被世界上各主要海军国家广泛使用，然而其主要缺陷是在计算过程中无法考虑系统的非线性特性。目前的舰船上大量使用隔振缓冲元件来降低辐射噪声和提高抗冲击能力，系统在冲击作用下，隔振缓冲元件会表现出刚度硬化或软化特性，这给DDAM 计算结果带来很大的误差。为了使DDAM 方法能够较准确地分析具有非线性刚度特性的舰船设备的冲击性能，使DDAM 方法能够在方案设计和初步设计阶段对带有非线性刚度的设备进行抗冲击计算，作者提出了一种非线性刚度等效线性刚度的近似计算方法，利用隔振器吸收能量相等的准则进行等效计算，计算结果同时域非线性增量计算结果进行了比较，得到了一些有益的结论。 关键词：DDAM ，设备系统，等效刚度，非线性近似 中图分类号：O347.1
1 引言
随着现代海军军事技术的发展，各种武器的命中精度和破坏威力日益提高，因此装艇设备的冲击强化和抗冲防护问题日渐突出。为提高舰船的生命力，目前的舰船上大量使用隔振缓冲元件来降低辐射噪声和提高
抗冲击能力。目前海军认可的设备抗冲击计算分析方法是动力学设计分析方法（Dynamic Design Analysis Method ），简称DDAM 方法，它基于设备系统的模态迭加法，通过求解运动方程的特征值，对关心的主模态响应进行合并，得出最终结果。该方法求解的运动方程必须是线性的，然而大多数设备系统在实际的冲击状态下都会呈现出一定程度的非线性特性，特别是带有隔振缓冲元件进行冲击防护的设备系统，这就使DDAM 方法的使用范围受到限制，如不加改进使用会带来较大的误差。因此西方国家的海军部门逐步开展在时域内对设备进行冲击考核计算的研究。也有人尝试采用非线性DDAM 方法进行分析，但该方法需要在时间域和频率域内反复变换，变换的计算量相当大，求解起来不太方便。为了扩大DDAM 适用范围，提高其计算非线性问题的精度，本文对一两自由度非线性系统进行了分析计算，并对不同方法得出的结果进行了比较，最后提出了一种非线性刚度线性化的近似方法，利用该方法进行DDAM 分析，得到了较为满意的结果。
2 计算方法理论简介
2.1 DDAM
线性代数 正则化
线性无阻尼结构在基础激励下的运动控制方程为：
[]{}[]{}[]{}b u
M u K u M    1-=+          (1) 上式中[]M 为结构的质量矩阵；[]K 为刚度矩阵；{}u 为结构的响应向量；b u
为基础加速度输入。将上述矩阵方程正则化可解耦成n 个单自由度方程：
bi i i i i u P x x
-=+2ϖ                    (2) 其中：{}{
}{}{}[]{}x u n φφφ 21=  {}i φ是n 自由度结构的第i 个特征值向量，定义：
{}[]{}{}[]{}
i T
i i T i i
M K φφφφϖ
=2： i 阶模态圆频率平方 {}[]{}{}[]{}
i T
i T i i
M M P φφφ1≡：  i 阶模态的参与因子 {}[]{}[]{}[]{}
i T
i T i i
M M M φφφ2
1≡
：i 阶模态的模态质量
每阶模态的最大位移为：
{}{}max 0max )(sin )(⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-=⎰t
i b i i i i d t u
P x ττϖτϖφ    (3) 求得每阶模态结果后就需要合并得到最后的响应，DDAM 要求迭加足够的模态解，累
计的模态质量至少超过总结构质量的80%，同时规定用NRL （美国海军实验室）方法合并，公式如下。这里的x a  是各模态的最大模态响应。模态力，应力等可用类似的方式组合。
{}{}{}{}
2
2a
b b a NRL x x x x -⎪⎭
⎫ ⎝⎛+
=∑              (4) 使用正则模态理论，作用在质量点上的力可以直接从基础的运动计算。
{}[]{}()()⎰∑--=t
i b i i i
i d t u
P M F 0
sin ττωτωφ      (5) 另外，当系统出现密集模态时(Close-Spaced Modes )，应该考虑到阻尼对此的影响，文献
1
根据结构的阻尼比，对DDAM 确定的加速度输入作了修正。对焊接结构或机械设备，一般认为取2%的阻尼比是合适的。 2.2 时域增量
频域方法的优点在于节省计算资源，缺点在于不能考虑阻尼、非线性效应，也不能考虑模态响应间的相位差。时域模拟则采用实测的时间历程曲线或标准的基础输入时程曲线作为载荷，适用于非线性系统，能考虑的因素比较多，与实际情况比较接近。采用增量形式的非线性结构动力学方程可以描述如下：
)(~
~~u F R u K u C u M t
t t t t t t t t -=++∆+∆+∆+      (6)
上式中的质量矩阵和阻尼矩阵为常数矩阵，不随时间变化；t K 是t 时刻结构的切线刚度
阵，随着不同的变形量和加载过程变化。t+Δ
t u 是t+∆t 时刻的速度列阵，u 是从时刻t 到t+∆t 时刻范围内位移增量列阵。R 为外加力列阵，当冲击为单一冲击载荷激励时可采用哥氏加速度的方式加载，多点激励时可采用大质量方式加载；t F(t u)为结构内部应力引起的等效节点力列阵。
直接求解非线性微分方程的方法一般主要分为显式的中心差分法和隐式的Newmark-β法、Newton-Raphson 法等。显式时间积分的优点是方法的简单和避免方程的求解，缺点是其条件稳定性，如果时间步长超过临界值，其计算结果会增长至无穷。隐式积分对于大部分线性和非线性系统是无条件稳定的，但需要在每个时间步求解非线性代数方程，而且存在收敛问题，文献2对此作了详细的探讨。
3 DDAM 近似方法
3.1 概述
目前整艇设备选用的隔振器在小变形状态下一般能保持较好的线性刚度，在受到大载荷冲击，变形量较大时，通常表现出明显的硬化或软化特性，图1中的OAE 是具有刚度硬化特性隔振器的变形－抗力曲线。因此，当使用DDAM 方法计算考核具有非线性刚度特性设备系统（例如带非线性隔振器的浮筏系统）时会遇到一些困难，特别是当系统在受到强冲击，隔振器刚度出现明显的硬化或软化时，如果仅用硬化前的刚度作为DDAM 的计算参数，计算结果会同真实状态出现较大的偏差。因此必须在此基础上调整隔振器的刚度，使得结果接近真实状态。
一种方法是利用隔振器抗力或变形相似关系，逐步调整刚度参数，即首先将隔振器振动刚度代入方程计算，可以得出初步解，然后根据隔振器的最大抗力或最大变形，从刚度曲线上寻对应点，修正刚度参数，再次代入方程计算，经过若干次迭代，最终逼近较为真实的结果。另外我们考虑，设备系统在受到冲击作用后，隔振器吸收绝大部分的能量，因此我们设想利用隔振器刚度和变形围成的面积即能量相等，将迭代过程简化，得到较为准确的近似的结果。
3.2 刚度硬化模型
例1是一个两自由度非线性系统，结构模型见图2，其中电机与设备之间的刚度K 2可以认为是近似的保持线性，下层的隔振器为具有硬化特性的非线性弹簧，K 1的刚度特性曲线见图1，在临界变形U 1前，刚度为K U ，之后
上升为K L 。其中原始参数为：M 1＝200kg ，M 2＝100kg ，K 2＝4×105N/m ，K U ＝9×105N/m ，K L ＝8×106N/m ，U 1＝0.01m 。 K I 表示是利用抗力相等得出的近似刚度，它
需要经过多次迭代计算。K P1表示利用两个三角形
面积相等S OBU2＝S OCU3得出的近似刚度，它与利用S OBU2＝S OAU1＋S U1U4EA 得出的近似刚度K P2还是有所区别，理论上K P2更为合理。
根据模态质量和频率，对照设计冲击谱，可以得到不同的设计冲击位移、速度和加速度值。
右图3是典型设计冲击谱，不同质量的设备在不同安装位置和不同冲击方向上的设计冲击谱都不图1 非线性硬化特性抗力－变形曲线 图2 两自由度非线性系统模型
10
101010104
10V E L O C I T Y  (m /s )
FREQUNCY(Hz)
相同，图的横坐标是频率，纵坐标是设计冲击速度，两个斜坐标分别是设计冲击位移和冲击加速度。
针对某一设备系统，先出适合本设备系统重量和冲击分析方向的冲击谱，然后根据系统模态频率从图中确定在三折线上的点（图中为两条虚线的交点），根据纵坐标和斜坐标可以得到相应的设计冲击位移、速度和加速度值。在本例中，设备系统的一阶模态频率为f 1=7.39Hz ，系统二阶模态频率f 2=14.54Hz ，根据计算需要，我们选取的是加速度值，分别为A 1和A 2。在本例中，根据设计冲击谱我们分别假定A 1＝112m/s 2和A 2＝230m/s 2。
同时，我们利用无阻尼和有阻尼的两个模型进行了时域计算，载荷是参考美国军标转换过来的，在冲击速度上与DDAM 一致。考虑到目前一般隔振系统采用橡胶隔振器较多，因此有阻尼模型的阻尼比取η＝0.06，并将结果同频域DDAM 进行了比较，见表1。
表1  非线性硬化刚度近似DDAM 和时域结果
从上表中的数据分析比较，我们可以归纳出一些趋势和结论： （1） 利用振动刚度的计算结果和调整刚度后的结果差别较大，特别是对直接与非线性弹
簧相连的质点M 1，对M 2的影响则较小； （2） 针对本例上层刚度不变、下层刚度硬化的模型，随着刚度硬化，下层隔振器抗力和
质点加速度均是增大，逐渐倾向稳定； （3） 利用抗力相等的刚度等效模型经过4次迭代后的结果与利用隔振器刚度和变形围成
的面积相等S OBU2＝S OCU3，即能量相等的模型1次迭代后的结果基本相当； （4） 利用S OBU2＝S OAU1＋S U1U4EA 得到的等效刚度模型要比利用S OBU2＝S OCU3得到等效刚度
的模型计算结果更接近时域方法所得到的结果，即刚度等效更为合理； （5） 无阻尼模型的时域计算结果要比取等效刚度的DDAM 结果还要大，但有阻尼模型的
时域计算结果与利用S OBU2＝S OAU1＋S U1U4EA 得到等效刚度模型的DDAM 结果基本一致，因此可以认为只要对非线性刚度合理的等效，即利用
S OBU2＝S OAU1＋S U1U4EA ，DDAM 可以得到较为接近真实状态的结果； （6） NRL 方法合并得到的计算结果是不
考虑相位差，均是对模态结果的绝对值进行合并，因此利用振动刚度模型
的结果中质块M 2的加速度反而比M 1大。
3.3 软化模型
同上，我们设计一个刚度软化的算例，
图4 非线性软化特性抗力－变
Displacem
来探讨不同的DDAM刚度等效方法之间以及时域结果之间的异同，除K L＝3×105N/m外，其余参数同例1。与硬化模型不同，软化模型中K I是利用位移相等确定的。
振动刚度的计算结果是同上面一致的，下表2利用不同方法模拟等效刚度参数的结果。同上面一样我们利用无阻尼和有阻尼的两个模型进行了时域计算，阻尼比取η＝0.06，结果同频域DDAM进行了比较。
利用振动刚度的计算结果和调整刚度后的结果差别较大，但与硬化刚度模型不同，对直接与非线性弹簧相连的质点M1的影响要比对M2小；
（1）针对本例上层刚度不变、下层刚度软化的模型，随着刚度下降，下层隔振器抗力和质点加速度均是变小，逐渐倾向稳定；
（2）利用变形相等的刚度等效模型经过2次迭代后的结果与利用隔振器刚度和变形围成的面积相等S OBU2＝S OCU3即能量相等的模型1次迭代后的结果基本相当；
（3）对于本例软化模型，利用S OBU2＝S OAU1＋S U1U4EA得到的等效刚度模型和利用S OBU2＝S OCU3得到等效刚度的模型计算结果基本相当；
（4）无阻尼模型的时域计算结果要比取等效刚度的DDAM结果还要大，但有阻尼模型时域计算下层质点M1的结果却比DDAM等效刚度模型的小20%；相比较而言，等效
DDAM的结果和有阻尼模型时域结果更为接近。
3.4 单自由度刚度硬化、软化模型
我们选取一单自由度模型，来进行非线性刚度的DDAM计算。单自由度的模型在前面所述的两自由度模型的基础上将M2和K2去掉，初始参数同两自由度的M1和K1。计算结果见表3和表4。

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