第14讲 二维正态分布 中心极限定理
教学目的：了解二维正态分布，理解独立同分布的中心极限定理和棣莫佛—拉普拉斯定理。
教学重点：独立同分布的中心极限定理。
教学难点：应用独立同分布的中心极限定理解决实际问题。
教学学时：2学时
教学过程:
第四章  正态分布
§4.4 二维正态分布
定义 若二维连续随机变量的联合概率密度为
（ ）
则称服从二维正态分布，记作 。其中，都是分布的参数。
满足概率密度的两条基本性质：
（1）。
（2）。
下面我们来讨论二维正态分布的边缘分布问题。
随机变量的边缘概率密度为
其中
设，则有
由与的对称性可求得的边缘密度为
由此可见，二维正态分布的两个边缘分布都是正态分布，并且可以知道
下面我们可以看到参数为随机变量的相关系数。
               
                （定积分计算略）
注 由第三章的内容可知，若随机变量与相互独立，则相关系数；但是，当时，与却不一定相互独立。然而，在正态分布的情形下，当相关系数时，二维正态分布的联合概率密度可化为           
               
.
所以，若随机变量服从二维正态分布，则随机变量与相互独立的充要条件是。
例1 若随机变量与相互独立，都服从标准正态分布，求随机变量
函数的概率密度。
解 由于与都服从标准正态分布，概率密度分别为
，
又随机变量与相互独立，联合概率密度为
由此得随机变量的分布函数
当时，显然有；当时，有
                 
                     
所以的分布函数为
由此得的概率密度为
注  若随机变量与相互独立，都服从标准正态分布，则随机变量函数的分布称为自由度为2的分布。
§4.5 中心极限定理
中心极限定理是研究在适当的条件下独立随机变量的部分和的分布收敛于正态分布的问题。
定理1 （林德伯格（Lindeberg）—列维（Levy）中心极限定理）设相互独立的随机变量服从同一分布，且 ，，则对于任意实数，有
定理的证明略，仅对定理的含义作一些说明。
设，则有
             
                 
又设随机变量，则的分布函数
趋于标准正态分布函数。
结论 设相互独立的随机变量服从同一分布，已知均值为，方差为，但分布函数未知。当充分大时，随机变量的和将近似地服从正态分布。
    推论 设相互独立的随机变量服从同一分布，已知均值为，方差为，但分布函数未知。当充分大时,近似服从正态分布。
      由推论知，不论服从什么分布，只要它们相互独立且服从同一分布，则它们的平均数，当充分大时，总是近似地服从正态分布。
      例2 某单位内部有260部电话分机，每个分机有4%的时间要与外线通话，可以认为每个电话分机用不同的外线是相互独立的。问总机需备多少条外线才能95%满足每个分机在用外线时不用等候?
解 令，是260个相互独立的随机变量，且。表示同时使用外线的分机数，根据题意应确定最小的使成立。由上面的定理知
二项式分布的正则化
查得，故取。于是有
也就是说，至少需要16条外线才能95%满足每个分机在用外线时不用等候。
例3  用机器包装味精，每袋净重为随机变量，期望值为100克，标准差为10克，一箱内装200袋味精。求一箱味精净重大于20500克的概率。
解  设一箱味精净重为克，箱中第袋味精的净重为克，。则是相互独立的随机变量，且，。故
因而有
                   
      定理2 （德莫佛（De Movire）—拉普拉斯（Laplace）中心极限定理）设在独立试验序列中，事件发生的概率为，随机变量表示事件在次试验中发生的次数。则对任意实数，有
证 随机变量表示事件在第次试验中发生的次数，则这些随机变量相互独立，服从相同的“0-1”分布，且有，
则。由定理1知
注 在次独立试验中，事件发生的次数。定理2说明：当充分大时，服从二项分布的随机变量将近似地服从正态分布。一般来说，当较大时，二项分布的概率计算非常复杂，这时我们可以用正态分布来近似地计算二项分布。计算公式为

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