边值问题的随机分析数值解
Ξ
唐 立1
，朱起定
2
(1.湖南大学数学与计量经济学院，中国长沙 410082;2.湖南师范大学数学与计算机科学学院，中国长沙 410081)
摘 要 运用随机分析数值方法求解一类广泛的椭圆边值问题，利用解的随机表示式将问题离散化，然后利用随机过程的强马尔科夫性等求得数值解.
关键词 边值问题；随机分析；强马尔科性;
布朗族
中图分类号 O241.8 文献标识码 A 文章编号 100022537(2007)022*******
Numerical Solutions by Stocha stic Analysis for Boundary Value Problems
T ANG Li 1
,ZHU Qi 2ding
2
(1.C ollege of Mathematics and Econometrics ,Hunan University ,Changsha 410082,China ;2.C ollege of Mathematics and C omputer Science ,Hunan N ormal University ,Changsha 410081,China
)Abstract Stochastic analysis numerical method is used extensively to a kind of elliptic boundary value problems.The way of discretion is to use stochastic representations.Then numerical s olutions are obtained by the properties such as the strong Markov property.
K ey w ords boundary value problems ;stochastic analysis ;strong Markov property ;Brown family
文献[1～2]运用随机分析理论对调和方程边值问题、泊松边值问题进行了探讨，取得了很好的结果.本文通过进一步的深入研究，将此方法运用于一类更广泛的椭圆边值问题.
考虑如下模型方程
1
2Δu -Ku =-g ，在D 中,u =φ, 在5D 上;
(1)
和
1
2
Δu +β・ u -Ku =-g ，在D 中,
u =f , 在5D 上;
(2)
其中D <R d 为有界开集，其边界5D 上每点规则,d ≥3,g ,K >0为常数,β∈R d
是任意一个非零的常数向量,φ,f 是边界5D 上的连续函数.
1 随机分析数值方法
设{W t ,F t ;0≤t <∞},(Ω,F ),{P x
}x ∈R d 是一个d 维布朗族,{F t }满足通常条件.令X t =W t +βt ，那
Ξ
收稿日期:2006212220
基金项目：国家自然科学基金资助项目(10371038)作者简介：唐 立(19672)，湖南长沙人，湖南大学副教授，博士.
2007年6月第30卷第2期
湖南师范大学自然科学学报Journal of Natural Science of Hunan N ormal University
V ol.30 N o.2
Jun.,2007
么，过程{X t ,F t ,0≤t <∞},(Ω,F ),{P x
}x ∈R d 是一个漂移为β的d 维漂移布朗族.
问题(1)、
(2)的惟一有界解可以分别表示为[324] u (x )=E x [φ(W τD )e -K
τD
-g K e
-K
τD
+g
K
],Πx ∈D ,(3) u (x )=E x
[f (X σD )e
-K
σD
-
g K
e -K
σD
+
g
K
],Πx ∈D ,(4)
其中τD =inf{t ≥0:W t ∈D c
},σD =inf{t ≥0:X t ∈D c
}.
构造辅助球B R ，使得B R ==D ，并且建立球面5B R 上的函数L ∧
j (z )和5D 上的基函数L j (y )以及边界
5D 上的有限元空间S h
(5D )，函数L ∧
j (z )和L j (y )也分别满足文献[1～2]中条件①、②和条件1)、2)、3).边
界5D 上的剖分结点仍记为y i ,i =1,2,…,N ，球面5B R 上的剖分结点记为z i ,i =1,2,…,N .
下面以问题(2)为例，阐述随机分析数值方法.
记f (y )在有限元空间S h (5D )上的插值函数为f I ,f I
(y )=∑N
j =1
f (y j
)L j
(y ).于是相应于问题(2)，问题
1
2Δu +β・ u -Ku =-g ，在D 中;u =f I
, 在5D 上
的解可以表示为
u h
(x )=
∑
N
j =1
L (y i
)E x
[L j
(X σ
D
)e -
K
σD
]
-
g K
E x (e
-K
σD
)+
g
K
.(5)
由(4),(5)式知，相对应的精确解u 和数值解u
h [5]
满足
|(u -u h
)(x )|=O (h ),Πx ∈D .(6)
类似于[2]中引理1的推导可以得到
引理1 E y
[L ∧j (X σB R
]=E y k [L ∧
j (X σB R
)]+O (h d
),Πy ∈V k ，其中V j ={5D 上所有含y j 的剖分单元},
j ,k =1,2,…,N .
定理1 ∑N
k =1
E x
[L k (X σD )]E y
k
[L ∧
j (X σB R
)]=E x
[L ∧
j (X σB R
)]+O (h d
)
,Πx ∈D ,j =1,2,…,N .
(7)
证 由文献[1～2]中条件2)有 E x
[L ∧
j (X σB R
)]=
∑N
k =1
E x
[L
k
(X σD )L ∧
j (X σB R
)];
E x
[L k (X σD )L ∧j (X σB R
)]=E x {E x [L k (X σD )L ∧j (X σB R
)|F σD }=E x {L k (X σD )E x
[L ∧
j (X σB R )|F σD
]}.由条件1)和引理1得
E x {L k (X σD )E x [L ∧j (X σB R
)
|F σD ]}=E x [L k (X σD )]{E y k
[L ∧
j (X σB
R
)]+O (h d
)}.证毕.
由E x [L ∧
j (X σB R
)e
-K
σB
R
]是问题
1
2
Δu +β・ u -ku =0，在B R 中u =L ∧
j , 在5B R 上
的解，容易得到
引理2 Πy ∈V k ，有E y
[L ∧
j (X σB R
)e
-
K
σB
R
]=E y
k
[L ∧
j (X σB R
)e
-K
σB
R
]
+O (h d
),j ,k =1,2,…,N .
定理2 Πx ∈D ，下式成立
∑
N
k =1
E x
[L k (X σD )e -K
σD
]E y
k
[L ∧
j (X σB R
)e -K
σD
]=E x
[L ∧
j (X σB R
)e
-K
σD
]+O (h d
)
,J =1,2,…,N .(8)
21 湖南师范大学自然科学学报 第30卷
证 由条件2)有E x [L ∧
j (X σB R
)e
-K
σB
R
]=
∑N
k =1
E x
[L k (X σD )]L ∧
j (X σB R
)e
-K
σB
R
].
由引理2有
E x
[L k (X σD )L ∧
j (X σB R
)e
-K
σB
R
]=E x {E x [L k (X σD )e
-K
σD
L ∧
j (X σB R
)e
-
K (σ
B
R
-σD
)
|F σD
}= E x {L k (X σD )e -K
σD
E
X σ
D
[L ∧
j (X σB
R
-σ
D
)e -K
σB
R
]}=
E x
[L k (X σD )e -K
σD
]{E y
k
[L ∧
j (X σB R
)e
-K
σB
R
]+O (h d
)}.
证毕.由E x
e
-K σB
R
]是问题1
2Δu +β・ u -ku =0，在B R 中u (x )=1, 在5B R 上
的解，得到引理3 Πy ∈V k ，有E y (e -K
σB R
)=E y k (e -
K
σB
R
)+O (h ),k =1,2,…,N .
定理3 Πx ∈D ，有
E x [e
-K (σ
B
R
-σD
)
]=
∑
N
k =1
E x [L k (X σD )]E y
侧边值问题一定要用正则化吗k (e
-K σ
B
R
)+O (h ).(9)
证 由条件2)和引理3得
E x [e
-K (σ
B
R
-σD
)
]=
∑N
k =1
E x
[L k
(X σD )e
-K (σ
B
R
-σD
)
]=
∑N
k =1
E x
{L
k
(X σD )E x [e -
K (σ
B
R
-σD
)
|F σD
]}= ∑N
k =1
E x [L k (X σD )]E y k (e
-K σ
B R
)
+O (h ).
因为对于漂移布朗族{Xt ,Ft ;0≤t <∞},(Ω,F ),{P x }x ∈R d ，在测度P x
下，增量σB R
-σD 与F σD 独立，所以有
引理4 Πx ∈D ，有
E x (e
-K
σB
R
)=E x (e -
K
σD
)E x [e -
K (σ
B
R
-σD
)
].(10)
引理5
[6]
Πx ∈B R ，有
P x
(σB
R
∈d t ,X σB R
∈d z )=
-e
β・z -12
‖β‖2
t
∑∞m =0∑
∞
n =1
Γ(s )(m +s )q m ,n J m +s ‖x ‖R
q m ,n
‖x ‖s 2π1+s R 3+s
J ′m +s (q m ,n )
C s
m
(cos
θ)e -q
2m ,n
2R
2t
d t d z ,
(11)
其中{q m ,n ,n ≥1}是第一类Bessel 函数J m +s 的所有正零点,C s
m 为G egenbauer 多项式,s =
d -2
2
,θ=∠xoz .
构造概率算法如下:
算法1 (1)由(11)式和(8)式，求得E x
[L k (X σD )e
-
K
σD
]的近似值,k =1,2,…,N ;
(2)由(7)式，求出E x [L k (X σD )]的近似值,k =1,2,…,N ；然后由(9)式，求得E x [e -K (σ
B
R
-σD
)
]的近似值,
从而由(10)式求得E x (e
-K
σD
)的近似值;
(3)将上面的结果代入(5)式，得到问题(2)的数值解.
注1 通过[2]中类似的推导，由(6)～(11)式知，在一定的条件下，由算法1得到的问题(2)的数值解
u h
(x )有收敛性估计
|u (x )-u h
(x )|=O (h ),Πx ∈D .(12)
注2 将上述推导中的X 换成W ,σ换成τ,(11)式换成下式
3
1第2期 唐 立等：边值问题的随机分析数值解
P x
(τB
R
∈d t ,W τB R
∈d z )=H (x ,t ,z )d t d z ,
这里
H (x ,t ,z )=-
∑∞
m =0∑
∞
n =1
Γ(l )(m +l )q m ,n J m +l
‖x ‖
R
q m ,n ‖x ‖l
(2π)1+l R 3+l J m +l (q m ,n )
C l
m
(cos
θ)e -
q
2m ,n
2R
2t
,
其中{(q m ,n ,n ≥1)}为第一类Bessel 函数J m +l 的所有正零点,C l
m 为G egenbauer 多项式,l =d -2
2
,θ=
∠xoz ，同理可得问题(1)满足(12)的数值解.
2 数值算例
令问题(2)中的d =3,β=0,K =0,g =0，此时X t =W t +βt =W t ，取其解为 u =
1
(ω1-ω0
1
)2
+(ω2-ω02)2+(ω3-ω03)
2
,
其中Πx =(ω1,ω2,ω3)∈D ,x 0=(ω01,ω02,ω0
3)是奇点.
令f =u |
5D
，取D 为圆柱ω21+ω22<4,-3<ω3<3.作辅助球B R ,B R ={x ∈R 3
∶‖x ‖<5}.记
P xz j =E x
[L ∧
j (W τB R
)],P y i z j =E y
i
[L ∧
j (W τB R
)],i ,j =1,2,…,N ，其中z j ,j =1,2,…,N 为球面5B R 上的剖分
结点,y i (i =1,2,…,N )为边界5D 上的剖分结点.求解方程组
P y 1z 1a 1+P y 2z 1a 2+…+P y N z 1a N =P xz 1,
P y 1z 2a 1+P y 2z 2a 2+…+P y N z 2a N =P xz 2,
………………………………
P y 1z N a 1+P y 2z N a 2+…+P y N z N a N =P xz N .
得a j 的值,j =1,2,…,N ，而a j 即是E x
[L j (W τD )]的近似值,j =1,2,…,N .
将上述结果代入(5)式，得到问题(2)的数值解，记为u h
(x ).若在D 内取点为x 1,x 2,…,x N ，记误差为
‖e ‖0=
1
N
∑
N
i =1
u h (x i )-u (x i )
u (x i )
2
12
,‖e ‖∞=max
1≤i ≤N
u h
(x i )-u (x i )
u (x i )
.
当N =10时，有‖e ‖0=2.61×10-4
,‖e ‖∞=1.23×10-3
.
算例结果表明，这种随机分析数值方法简便高效.参考文献:
[1] 唐 立，邹捷中.布朗运动在概率算法中的应用[J ].系统科学与数学,2003,23(1):38242.
[2] 唐 立，邹捷中，朱起定.一般区域上Dirichlet 2P oiss on 问题数值解的概率方法[J ].湖南师范大学自然科学学报,2002,25
(3):20223.
[3] BERNT K.S tochastic Differential Equations[M].New Y ork :S pringer 2Verlag ,1998.
[4] K ARATZ AS I ,SHRE VE S E.Brownian m otion and stochastic calculus[M].New Y ork :S pringer 2Verlag ,1988.[5] 朱起定，林 .有限元超收敛理论[M].长沙：湖南科技出版社,1989.
[6] 邵先喜，尹传存.漂移Brown 运动的首中时与首中位置的联合分布[J ].工程数学学报,1997,14(4):1232126.
41 湖南师范大学自然科学学报 第30卷
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