§12-4  正则变换
一元函数()y f x =可以看成是一维空间R 中的坐标变换。例如最简单的（坐标）变换
y x b =+(平移)  和  y a x
=(伸缩) 或者
y ax b =+ (上述两个变换的接连变换, 即先伸缩后平移)
函数组
(,)
()(,)
x x u v T y y u v =⎧⎨
=⎩  2(,)u v G ∈⊂R                  (12-22)
可以看成是二维空间2R 中的变换（图12-10）。例如最简单的（坐标）变换
11121
121222
()x a u a v c T y a u a v c =++⎧⎨=++⎩【当120c c ==时为线性变换】    （12-23）
称定义在区域2
G ⊂R 内的变换（12-22）为正则变换，若其中的函数(,)x u v 和(,)y u v 在G 内都有连续（一阶）偏导数，且雅可比行列式不等于零，即
0x x
x y x y u v y y u v v u u
v
∂∂∂∂∂∂∂∂=-≠∂∂∂∂∂∂∂∂            （12-24） 变换正则性的条件（12-24）对于上述坐标变换1T 来说，相当于
1112
112212212122
0a a a a a a a a =-≠
而它保证变换1T 存在反变换1221:T -→R R （克拉默法则）。
例13  设极坐标变换cos (,)(0,0)sin x r r G r y r θ
θθθ=⎧∈<<+∞<<+∞⎨
=⎩
，则
sin ,cos x x r r θθθ∂∂=-=∂∂；cos ,sin y y r r
θθθ∂∂==∂∂ 在区域G 内是连续的，且雅可比行列式
sin cos 0(0)cos sin x x
r r r r y y r r
θθθθθθ
∂∂-∂∂==-≠<<+∞∂∂∂∂ 因此，极坐标变换在区域G 内是正则变换，但不是一对一变换（图12-11）。这与一元函数
图12-10
的情形是不同的！
例14  变换(0,0)x uv
u v v y u =⎧⎪
>>⎨=⎪⎩
在第一象限(0,0)u v >>内是正则变换，因为偏导
数
,x x v u u v ∂∂==∂∂；21
,y v y u u v u
∂∂=-=∂∂ 在第一象限内都是连续的，且雅可比行列式
2
20(0,0)1
x x
v
u
v u v u v v y y u u
u
u v
∂∂∂∂==≠>>∂∂-∂∂
这个变换还是一对一的，即有反变换
(0,0)u x y v ⎧=⎪
>>⎨⎪
=⎩ 这也就是说，Oxy 平面上的第一象限被这个反变换一对一地变换到Ouv 平面上的第一象限，反过来也是如此。半直线(0)x a y =>被变换成双曲线uv a =，而半直线(0)y b x =>被变换成射线v bu =（图12-12）。
1.正则变换的性质  设有正则变换（12-22）。
性质1  它在区域G 内是连续的 [即(,)x u v 与(,)y u v 在G 内都是连续函数]，而且它的雅可比行列式在G 内恒正或恒负（即不会改变正负号）。
前半部分结论包含在正则变换的定义中，后半部分结论可采用反证法和根据连续函数介值定理来证明。
读者已经知道，当定义在区间内的一元函数()y y x =的导数
d 0d y
x
≠时，它把定义区间
图12-12
图
⑴
（定义域）一对一地变换成区间（值域），而且反函数()x x y =的导数
d 1
d d d x y y
x
= 把一元函数的上述结论类比到多元函数上，就是下面的关于正则变换的性质2和性质3。 性质2  正则变换（12-22）把区域G 变成区域()D T G =（它在整个区域G 内不一定是一对一的，但它是局部一对一的）。
为了证明这个性质，可把函数组(12-22)写成等价形式的方程组
12
(,;,)(,)0
(,;,)(,)0F x y u v x x u v F x y u v y y u v =-=⎧⎨
=-=⎩                （12-25） 剩下来就是应用隐函数存在与可微性定理12-5，而证明的细节留给读者去完成。
性质3  若正则变换（12-22）将区域G 一对一地变换成区域D ，则反变换
12(,)()(,)(,)
u u x y T x y D v v x y -=⎧∈⊂⎨=⎩R            （12-26）
是区域D 内的正则变换，且雅可比行列式
1
u u x y x x v v
u v x
y
y y u v
∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂                  （12-27） 事实上，根据方程组（12-25）和定理12-5，函数(,)u u x y =与(,)v v x y =都是连续可微分的。将式（12-22）表示的（向量值）函数求微分，即
d d d d x x x u u v y y y v u v ∂∂⎡⎤
⎢⎥⎡⎤⎡⎤∂∂=⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦⎣⎦⎢
⎥⎢⎥∂∂⎣⎦
（12-28） 再将式（12-26）表示的（向量值）函数求微分，即
d d d d u
u u x x y v v v y x y ∂∂⎡⎤
⎢⎥∂∂⎡⎤⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥∂∂⎢
⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥∂∂⎣⎦                  （12-29） 因此，式（12-28）和式（12-29）作为互逆的两个线性变换，有
1001u
u x x x y u v y y v v u
v x
y ∂∂⎡⎤
∂∂⎡⎤⎢⎥⎢⎥∂∂⎡⎤∂∂⎢⎥=⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦
从而又有（方阵乘积的行列式等于方阵行列式的乘积）
可见，反变换的行列式
0u u x y
v v x
y
∂∂∂∂≠∂∂∂∂（即反变换也是正则变换） 且式（12-27）成立。
2.雅可比行列式的几何意义  首先看一元函数的情形。若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续且在(,)a b 内有导数()0f x '≠，根据微分中值定理，
()()
()()f b f a f c a c b b a
-
'=<<-
若()0f x '>，从而()0f c '>，则()f x （作为变换）把（由小到大的）正向区间[,]a b 变换成正向区间[(),()]f a f b ；而若()0f x '<，从而()0f c '<，则()f x 把正向区间[,]a b 变换成反向区间[(),()]f a f b (()())f a f b >。这就是导数()f x '不等于0时，它的正负号的几何意义。另一方面，
()()
()()f b f a f c a b b a
-'=<-
所以，绝对值()f c '表示函数()f x 在把区间[,]a b 变换成它的像（即函数的值域）时，区
间长度伸长或缩短的比率（伸缩率）。
对于正则变换
2(,)
()(,)(,)
x x u v T u v G y y u v =⎧∈⊂⎨
=⎩R
来说，相当于一元函数情形的导数是它的雅可比矩阵
x x u v y y u
v ∂∂⎡⎤
⎢⎥∂∂⎢⎥∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦
(,)(,)x y u v ⎛⎫∂ ⎪∂⎝
⎭记成及其行列式
x
x
u v y y u
v
∂∂∂∂∂∂∂∂(,)(,)x y u v ⎛
⎫∂ ⎪∂⎝⎭记成 它的行列式大于0时，变换T 把Ouv 平面上的正向区域ΔG （边界曲线的正方向与坐标系坐标轴的转向一致）变换成Oxy 平面上的正向区域；而当它的行列式小于0时，它把Ouv 平
面上的正向区域ΔG 变换成Oxy
平面上的反向区域【见节后注释6】。例14中变换的反变换为
(0,0)u x y v ⎧=
⎪>>⎨⎪
=⎩
因为它的雅可比行列式
所以它把图12-12中那个“正向正方形”ABCD 变换成“正向曲边四边形”A B C D ''''。
图12-13表示的是O r θ平面上的半带形区域π0,02r θ⎛⎫
<<> ⎪⎝
⎭
到Oxy 平面上第一象限内的变换，即极坐标变换
cos sin x r y r θθ
=⎧⎨
正则化坐标
=⎩π0,02r θ⎛⎫
<<> ⎪⎝⎭
它把半直线
00π0,02
r θθθ⎛⎫
=<<> ⎪⎝⎭变换成第一象限内的射线；把线段
00π0,02r r r θ⎛
⎫=><< ⎪⎝
⎭变换成第一象限内的圆弧（半径为0r ）
。因为它的雅可比行列式 sin cos (,)0(0)cos sin (,)r x y r r r r θθ
θθθ-∂==-<>∂ 所以它把图12-13⑴中的小正方形ABCD （正向区域）变换成反向区域的曲边四边形
A B C D ''''。
在下一章的§13-3中将指出：若正则变换（12-22）把有界区域G 一对一地变换成有界区域D ，则有
00(,)
u v x
x D u
v y y G u v
∂∂∂∂=±
∂∂∂∂的面积的面积
（12-30）
其中右端行列式为正值时取“+”，为负值时取“-”(总之，右端为正值)；点00(,)u v 为G 上某一点。可见，雅可比行列式的绝对值在几何上表示面积伸缩率，它相当于一元函数情形时的等式
()()
()()f b f a f c a c b b a
-'=<<-
3.含有导数或偏导数式子的变换  对于含有导数或偏导数的表示式，有时引入新变量（自变量或函数），可把它表示成用新变量表示的形式。例如，要求解一个微分方程，当不
⑴
π4
π2
⑵
图12-13

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