钢结构(中英文),38(7),36-41(2023)
DOI :10.13206/j.gjgS 23030802ISSN 2096-6865
CN 10-1609/TF
T 形截面翼缘和腹板宽厚比的相关关系
童臻华㊀童根树
(浙江大学建筑工程学院，杭州㊀310058)
摘㊀要：研究了轴心受压T 形截面考虑翼缘和腹板相互约束的截面局部屈曲，给出了局部屈曲临界应力的公式㊂将确定板件分类等级的方法应用到截面分类上，以腹板和翼缘宽厚比相关关系的形式给出了4类截面S1,S2,S3和S4的分类标准㊂
观察曲线形状发现，曲线可分成传统分类区和扩展分类区㊂在传统分类区，翼缘和腹板进行独立分类；在扩展分类区，腹板的宽厚比限值可以放宽，但是翼缘的宽厚比限值必须更严，以考虑翼缘对腹板的约束作用带来的对翼缘本身的削弱㊂为此对4类截面提出了宽厚比限值的计算公式，以供规范编修时参考㊂关键词：截面分类;T 形截面；翼缘；腹板；临界应力
第一作者：童臻华，男,1990年出生，工程师㊂
Email:459739578@qq 收稿日期:2023-03-08
0㊀引㊀言
热轧T 形截面来自热轧H 型钢剖分，剖分后的腹板的宽厚比常不能满足宽厚比限值要求，比如T100ˑ100ˑ5.5ˑ8的腹板净宽厚比(包括了圆弧过渡段)为16.73，超出了Q235最大不应超过15的要求，对Q355更是远超过15235/355=12.20的要求㊂之所以出现这样的现象，是因为H 型钢腹板按照四边支承板件确定宽厚比限值，而剖分后必须按照三边支承㊁一边自由板件来确定宽厚比限值，两者宽厚比限值的比值按照两者局部屈曲的屈曲系数的比值开根号来估计，即4/0.43=3.05倍，即三边支承㊁一边自由板件的宽厚比限值仅为四边支承板件宽厚比限值的1/3，而剖分仅使腹部宽厚比减小到1/2，两者不成比例㊂
剖分T 型钢最先来自欧洲，但是EC 3-1-1‘欧
洲钢结构设计规范“[1]没有对T 形截面腹板提出专门的较为宽松的要求，它的截面分类也被欧洲抗震设计规范全盘采纳㊂ANSI /AISC 341-16‘美国钢结
构抗震规范“[2]对T 形截面腹板和翼缘的宽厚比限值完全一样㊂为剖分T 型钢应用而放宽其腹板宽厚比要求的只有我国GB 50017 2017‘钢结构设计
标准“[3]，其依据是陈绍蕃教授的论文[4]㊂本文基于截面屈曲的方法对宽厚比限值进行新的研究㊂1㊀理
论推导
图1所示的T 形截面压杆，其翼缘和腹板的屈曲平衡微分方程为:
D f Δ2w f +N xf ∂2w f ∂x 2
=0(1a)D w Δ2
w w +N xw
∂2w w ∂x 2=0
(1b)
式中:Δ为拉普拉斯算子;D f ,D w 分别为翼缘和腹板的板件抗弯刚度;w f ㊁w w 分别为翼缘和腹板的屈曲变形;N xf ,N xw 分别为翼缘和腹板单位宽度上的压力㊂相关参数计算式为:
D f =Et 3f
12(1-ν2)(2a)D w =
Et 3w
12(1-ν2)
(2b)N xf =σt f
(2c)
N xw =σt w
(2d)
T 形截面翼缘和腹板宽厚比的相关关系
式中:E
为弹性模量;ν为泊松比;σ为截面上的压应力;t f ,t w 分别为翼缘和腹板的厚度㊂
a T 形截面;
b 局部屈曲;
c 板件交线处弯矩平衡㊂
图1㊀T 形截面
Fig.1㊀T-section
假设发生屈曲的位移函数为:
w f =Y f (y )sin πx a
(3a)w w =Y w (y )sin
πx a
(3b)
式中:a 为屈曲半波长;Y f ㊁Y w 分别为翼缘和腹板屈曲变形中y 方向的位移函数㊂将式(3)代入式(1a),(1b)得到:
Y (4)f
-2π2a
2
Yᵡf +π2a 2π2a 2-N xf D f
()Y f =0(4a)Y
(4)
w
-2
π2a
2
Yᵡw +π2a 2π2a 2
-
N xw D w (
)Y w =0
(4b)
㊀㊀它们的特征方程分别为:
r 4f
-2
π2a
2
r 2f +π2a 2π2a 2
-N xf D f
()=0(5a)r 4w
-2
π2a
2
r 2w
+π2a
2
π2a
2
-
N xw D w (
)
=0
(5b)
㊀㊀式(5a,5b)总有两个实根㊁两个虚根，其特征值为:
r f1,2=ʃπa (π
a +N xf D f
)=ʃαf
(6a)r f3,4=ʃi πa
(N xf D f
-
π
a )=ʃβf i (6b)r w1,2=ʃπa (π
a +N xw
D w
)
=ʃαw
(6c)r w3,4=ʃi
πa
(N xw D w
-π
a
)=ʃβw i (6d)
通解为:
Y f =C 1cosh(αf y )+C 2sinh(αf y )+C 3cos(βf y )+
C 4sin(βf y )(7a)
Y w =D 1cosh(αw y )+D 2sinh(αw y )+D 3cos(βw y )+
D 4sin(βw y )
(7b)
㊀㊀由板件交线处腹板和翼缘的挠度都等于0，得到:
C 3=-C 1
(8a)
正则化的英文
D 3=-D 1(8b)
㊀㊀设翼缘的单侧宽度为b ，腹板高度为h ㊂则对翼缘和腹板分别记:
p f =αf b q f =βf b ϕf =a /b üþý
ï
ï
ï
ï(9a)
p w =αw h q w =βw h ϕw =a /h üþ
ý
ï
ï
ï
ï(9b)
A f =p 2
f
-νπ2ϕ2f B f =q 2f +νπ2ϕ2f ü
þ
ýï
ïïïïï(9c)
A w =p 2w
-νπ2ϕ2w B w =q 2w +νπ2ϕ2w ü
þ
ýï
ïïïïï(9d)
p 2f -(2-ν)π2ϕ2f =q 2f +νπ2
ϕ2f =B
f
(9e)q 2f +(2-ν)π2ϕ2f =p 2
f -νπ2ϕ2f =A f (9f)ìî
í
ïïïïïïα2f +β2f =2πa N xf D f
(9g)α2w +β2w =2πa
N xw D w (9h)
㊀㊀由自由边弯矩等于零，有:
Yᵡf
-νπ2a 2
Y f
y =b
=0(10)
㊀㊀将式(7a)和式(8a)代入式(10)得到:
C 1=-A f sinh p f ㊃C 2-B f sin q f ㊃C 4
A f cosh p f +
B f cos q f
(11)㊀㊀由自由边剪力为0，有:
Y‴f -(2-ν)(π2/a 2)Yᶄf
=0(12)㊀㊀将式(7a)和式(8a)代入式(12)得到:
C 1=-C 2B f p f cosh p f -C 4A f q f cos q f
B f p f sinh p f -A f q f sin q f
(13)㊀㊀由式(11)和式(13)消去C 1得到:F 1C 2-F 2C 4=0
(14)
其中
F 1=A f B f p f +A 2f q f sinh p f sin q f +B 2f p f cosh p f cos q f
童臻华，等/钢结构(中英文),38(7),36-41,2023
F 2=A f B f q f +A 2f q f cos q f cosh p f -B 2f p f sin q f sinh p f ㊀㊀对腹板的自由边边界条件，参照式(11)和式(14)可以直接写出:
D 1=-A w sinh p w ㊃D 2-D 4B w sin q w A w cosh p w +B w cos q w
(15a)W 1D 2-W 2D 4=0
(15b)
其中
W 1=A w B w p w +B 2w
p w cosh p w cos q w +A 2w
q w sinh p w sin q w W 2=A w B w q w +A 2
w
q w cos q w cosh p w -B 2w p w sin q w sinh p w
㊀㊀同简支时Y f (0)=0,Yᵡf (0)
=0，得到:C 1=0
(16a)
C 2A f sinh p f -C 4B f sin q f =0
(16b)
㊀㊀将式(16)与式(14)联立求解，因系数行列式等于零，得到一边简支㊁一边自由板件的屈曲方程为:
S f =0(17a)
S f =A 2f q f cos q f sinh p f -B 2f p f cosh p f sin q f
(17b)㊀㊀由固支时Y f (0)=0,Y ᶄf (0)
=0，得到C 1=0
(18a)αf C 2+βf C 4=0
(18b)
㊀㊀将式(18)与式(14)联立求解得到一边固支㊁一边自由板件的屈曲方程:
F f =0
(19a)
F f =2A f B f p f q f +(A 2f +B 2f )q f p f cosh p f cos q f
+(A 2f q 2f -B 2f p 2
f )sinh p f sin q f
(19b)
㊀㊀回到T 形截面，当较短的T 形截面柱轴心受压发生局部屈曲时，可以观察到局部失稳有如下特点(图
1b):1)腹板与翼缘的交界处保持90ʎ，腹板与翼缘在交界处转过相同的角度;2)腹板与翼缘发生局部屈曲时，有相同的半波数㊂
交线上转角连续条件:Yᶄf =Yᶄw
(20)㊀㊀交线处弯矩平衡:
2M yf +M yw =0
(21)
㊀㊀把式(7a)和式(7b)代入式(20)㊁式(21)这两个边界条件，得到:
p f C 2+q f C 4-b
h
(p w D 2+q w D 4)=0
(22a)
2D f (α2f
+β2f
)C 1+D w (α2w
+β2w
)D 1=0(22b)
㊀㊀式(22b)可以简化为:D 1=-2τ2
C 1
(23)
其中㊀
τ=t f /t w
式中:τ为厚度比㊂
把式(11)和式(15a)代入式(23)得到:㊀C 2A f sinh p f -C 4B f sin q f +㊀X (D 2A w sinh p w -D 4B w sin q w )=0
(24)
其中㊀
X =
A f cosh p f +
B f cos q f
2τ2(A w cosh p w +B w cos q w )
式(14),(15b),(22a),(24)四个方程有4个待定系数C 2,C 4,D 2,D 4，令系数行列式为0，得到:
F 1-F 20
p f
q f
-bp w /h -bq w /h A f sinh p f
-
B f sin q f
A w sinh p w ㊃X -
B w sin q w ㊃X
W 1-W 2=0
(25)
㊀㊀利用行列式计算的拉普拉斯定理[5]，将式(24)按照2ˑ2子行列式展开会极其简单，则展开得到:(F 2A f sinh p f -F 1B f sin q f )(p w W 2+q w W 1)+Xh
b
(W 2A w ㊃sinh p w -W 1B w sin q w )(F 1q f +F 2p f )=0
(26)进一步化简得到:
W 2p w +W 1q w =F w (27a)F 1q f +F 2p f =F f
(27b)F 2A f sinh p f -F 1B f sin q f =S f
(27c)
W 2A w sinh p w -W 1B w sin q w =S w
(27d)
式中:F f 由式(19b)给出,F w 是将式(19b)下标改为w 得到,S f 由式(17b)给出,S w 是将式(17b)下标改为w㊂将F f ㊁F w 代入式(26)得到:
1ht 2
w ㊃F w S w
+12bt 2
f ㊃F f S f
=0
(28)
㊀㊀利用式(28)展开计算之前要统一未知量，则临界力可表示为:
N xf =K f π2D f b
2
(29a)N xw =
K w π2D w
h 2(29b)
式中:K f ,K w 分别为翼缘和腹板的屈曲系数㊂式(9)
相应算式可以改写为:
p f =πϕf
1+ϕf K f
(30a)q f =πϕf
ϕf
K f -1
(30b)p w =πϕw
1+ϕw K w
(31a)q w =
πϕw
ϕw
K w -1
(31b)
㊀㊀利用翼缘和腹板临界应力相等得到翼缘和腹板
T 形截面翼缘和腹板宽厚比的相关关系
屈曲系数之间的关系为:
K f =
t w b t f h
()
2
K w
(32)
㊀㊀将以上各式代入式(28)，对于每一给定t w /t f ,h /b 和ϕw ,ϕf =hϕw /b ，便可求出各相应的K w ，从而求得临界应力㊂改变ϕw (即改变屈曲波长)得到屈曲系数随长度的变化曲线，曲线上的最小值K w,min 即是所需要的屈曲系数㊂T 形截面压杆以腹板高厚
比表示的局部屈曲临界应力为:
σcr =
K w π2E
12(1-ν2)t 2w
h 2
(33)
㊀㊀图2给出了屈曲系数K w,min 的曲线㊂
图2㊀T 形截面局部屈曲系数Fig.2㊀Local buckling factors for T-sections
2㊀公式拟合及其与解析解的比较
为了拟合公式，采用近似算法，假设T 形截面绕腹板和翼缘交线扭转，但是截面形状不变，则:
w f =w w =C y b sin
πx
a
(34)
式(34)满足翼缘和腹板扭转角相同的要求㊂将其代入板件屈曲总势能方程[6]得到:㊀
2C 2b 2
π4bD f 12a b 2
a 2+6(1-ν)π2éëêêùû
úú-N xf π2b 3
12a {}
+C 2b 2π4hD w 12a h 2
a 2+6(1-ν)π2éëêêùû
úú-N xw π2h 3
12a {}
=0(35)截面的临界应力为:
σcr =G
2bt 3f
+ht
3w
2t f b 3+t w h 3+
π2E
12(1-ν2)2b 3t 3
f
+h 3t
3w
(2t f b 3+t w h 3)a 2
ʈ
G
2bt 3f +ht 3w 2t f b 3+t w h 3(36)
㊀㊀将式(36)表示成腹板屈曲系数:K w1=
1+2bt 3f /(ht 3
w )
1+2b 3t f /(h 3t w )㊃
6(1-ν)
π2
=
1+2Zτ4
1+2Z 3τ
4
㊃6(1-ν)
π2
(37)
其中㊀
Z =ht f /(bt w )
腹板屈曲系数不能超过一边固定㊁一边自由板的屈曲系数(1.247)㊂图2显示，随参数Z 增加，屈曲系数减小，在τ=1,1.25时，式(37)就表现出这个特性,τ=1.5,1.75,2时这个特性仍然存在，但是屈曲模式已经发生一些变化，式(37)不再能够用来拟合精确解，这是因为屈曲模式不再是整个截面绕腹板与翼缘交线扭转，而是翼缘对腹板提供了约束，腹板宽度方向的屈曲波形是曲线，不再是直线㊂
对图2所示的下降线进行拟合得到:K w2=1.78+0.6
t f
t w
-0.07
h
b
(
)
6(1-ν)
π2
(38)㊀㊀于是，腹板屈曲系数有:
K w =min(K w1,K w2,1.247)
(39)
㊀㊀式(39)与精确解的对比见图2㊂3㊀腹板和翼缘宽厚比的相关关系
拓宽剖分T 型钢应用的思路之一是采用截面的局部屈曲临界应力确定宽厚比的限值，而不是单
块板件的㊂
根据GB 50017 2017的条文说明[3]，宽厚比限
值的确定与正则化长细比有关㊂4类截面的正则化的长细比定量标准是0.5,0.6,0.7,0.8㊂截面正则化长细比λn 的定义为λn =
f y /σcr ，即:σcr f y
=
K w π2E
12(1-ν2)t 2w
h 2
=1
λ2n (40)
㊀㊀记翼缘和腹板的宽厚比分别为β=b /t f ,η=h /t w ，则:
K w π2E
12(1-ν2)f y
=η2λ2n
(41)
K w =min 1+2(β/η)τ41+2(β/η)3τ4㊃6(1-ν)π2,é
ë
êê6(1-ν)
π2
1.78+0.6τ-0.07
h b
(
)
,1.247ù
ûú
ú(42)
从式(41)可以得到图3所示4类截面的翼缘和腹板宽厚比界限值相关关系曲线㊂
图3所示的相关曲线可以划分为两个区：传统分类区和突破传统分类区(即扩展分类区)㊂传统分类区时，翼缘宽厚比限值与腹板宽厚比限值相互独立㊂超出传统分类区，则必须在理论上有突破㊂目前GB 50017 2017对非抗震的T 形截面腹板取
童臻华，等/钢结构(中英文),38(7),36-41,2023
㊀
㊀
a S1类截面;
b S2类截面;
c S3类截面;
d S4类截面㊂
图3㊀4类截面翼缘和腹板宽厚比限值的相关关系
Fig.3㊀Interactive relations of web and flange width-to-thickness ratios of 4type sections
一边固支㊁一边自由板件的屈曲系数为1.28，采用局部屈曲不先于整体屈曲的原则确定㊂
从图3看，一方面，翼缘突破传统分类区带来的宽厚比限值的放宽非常有限，但是突破传统分类区带来的腹板宽厚比限值的放宽非常可观㊂另一方面，腹板宽厚比限值的最大值不能超过一边固支㊁一边自由板件的宽厚比限值，针对S1~S4四类截面，这个上限分别是15.67,18.81,21.94和25.07，图3反映了这样一个限值㊂在图3扩展分类区中，腹板受到翼缘的约束，腹板宽厚比放宽了(增大)，但是翼缘的宽厚比必须加严(减小)㊂
如果剖分T 形钢翼缘和腹板都满足三边简支㊁一边自由的分类规定，可以划入传统分类区，分界点在O 点h t w éëêêùûúú,b t f éëêêùû
úú()
=(k 0,k 0)；在扩展分类区，关
键点在E 点，其坐标点记为h t
w éëêêùûúúE ,b t f éëêêùûúúE
(
)
=(k wE ,k fE )㊂E 点之下采用竖线，即b
t f
ɤk fE 时,
h t
w éëêêùû
úú=h t w éëêêùûúúE ；在传统分类区O 点(k 0,k 0)和最大腹板宽厚比限值点E (k wE ,k fE )之间采用抛物线插值㊂图4给出E 点坐标随厚度比的变化规律，可
知,E 点坐标随λn 和τ而变㊂给定λn ,E 点坐标与τ的关系曲线分两段，分段点横坐标为τ0:
τ0=1.136+0.36λn
(43)
τ0处的翼缘和腹板宽厚比(k w0,k f0)分别由图4a 和图4b 确定，表达式为:
k w0=1.817+22.77λn +3.96λ2n
(44a)
k f0=19.267λn -3.063
(44b)
这样,E 点坐标(k fE ,k wE )如下:
1ɤτɤτ0:
k fE =k f0
(45a)
k wE =9.23λn -1.477+(2.9+11λn )τ(45b)
τ>τ0:
k fE =k f0+(2.864-1.267λn )tanh[2.6(τ-τ0)]
(45c)
k wE =k w0+(0.756+4.725λ2n )(τ
-τ0)(45d)
㊀㊀拟合公式也显示在图4中，可见精度良好㊂于是提出剖分T 型钢的宽厚比限值建议如下:1)剖分T 型钢翼缘的分类与H 形钢截面翼缘的分类相同;2)剖分T 型钢腹板宽厚比分类标准区分如下
两种情况:

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