数据保真项与稀疏约束项相融合的稀疏重建
高红霞;谢剑河;曾润浩;吴梓灵;马鸽
【摘 要】Aiming at the process of low-dose photon counting imaging with Poisson-Gaussian mixed noise ,a sparse reconstruction method of integrating data fidelity term and sparse constrait term is proposed .Firstly ,based on the hypothesis that Poisson and Gaussian noise are mutually independent , the sparse reconstructing objective function based on integrating data fidelity term and sparsity constraint term is established .Based on patch clustering ,the improved greedy algorithm is applied to implement sparse decomposition and dictionary update . Finally , a clean image is obtained by alternating iteration .Contrast experiments on images corrupted with strong Poisson-Gaussian mixed noise show that the average PSNR of image reconstructed by the proposed method increased by 5 .5%more than those of the contrast methods , moreover , their MSSIM increased significantly . The experiment results demonstrate that the proposed method has better image restoration and denoising effect for low photon counting image with strong Poisson-Gaussian mixed noise .%本文针对低光子计
数成像过程中产生的泊松高斯混合噪声,提出了一种数据保真项与稀疏约束项相融合的稀疏重建方法.首先,基于泊松高斯噪声相互独立的混合噪声模型,建立了数据保真项与稀疏约束项相融合的稀疏重建目标函数;在图像块聚类的基础上,应用改进贪婪算法实现类内稀疏分解和字典更新;最后,稀疏分解和字典更新交替迭代求解干净图像.针对强烈泊松高斯噪声污染图像的重建实验显示,本文方法与对比方法相比,重建结果的PS N R值平均提升了5.5%,M SSIM值也有明显提升.这些结果表明:本文方法对具有强烈泊松高斯混合噪声的图像有较好的图像复原和噪声去除效果.
【期刊名称】《光学精密工程》
【年(卷),期】2017(025)009
【总页数】11页(P2437-2447)
【关键词】稀疏重建;字典学习;混合噪声;强噪声;低光子计数成像
【作 者】高红霞;谢剑河;曾润浩;吴梓灵;马鸽
【作者单位】华南理工大学自动化科学与工程学院 ,广东广州510640;华南理工大学精密电子制造装备教育部研究中心 ,广东广州510640;华南理工大学自动化科学与工程学院 ,广东广州510640;华南理工大学精密电子制造装备教育部研究中心 ,广东广州510640;华南理工大学自动化科学与工程学院 ,广东广州510640;华南理工大学精密电子制造装备教育部研究中心 ,广东广州510640;华南理工大学自动化科学与工程学院 ,广东广州510640;华南理工大学精密电子制造装备教育部研究中心 ,广东广州510640;广州大学机械与电气工程学院,广东广州510006
【正文语种】中 文
【中图分类】TP394.1;TP242.6
Abstract： Aiming at the process of low-dose photon counting imaging with Poisson-Gaussian mixed noise， a sparse reconstruction method of integrating data fidelity term and sparse constrait term is proposed. Firstly， based on the hypothesis that Poisson and Gaussian noise are mutually independent， the sparse reconstructing objective function based on integrating data fidelity term and sparsity constraint term is established. Based on
patch clustering， the improved greedy algorithm is applied to implement sparse decomposition and dictionary update. Finally， a clean image is obtained by alternating iteration. Contrast experiments on images corrupted with strong Poisson-Gaussian mixed noise show that the average PSNR of image reconstructed by the proposed method increased by 5.5% more than those of the contrast methods， moreover， their MSSIM increased significantly. The experiment results demonstrate that the proposed method has better image restoration and denoising effect for low photon counting image with strong Poisson-Gaussian mixed noise.
Key words： sparse reconstruction; dictionary learning; mixed noise; strong noise; Low-dose photon counting imaging
高精密工业CT、医学低剂量CT等一类低光子计数成像系统的发展，推动着工业缺陷检测和医疗诊断技术的进步。例如，采用微米级焦斑尺寸的微聚焦X射线成像技术已成为当前集成电路、电网绝缘子、航空器件等高精密零器件生产制造过程中缺陷检测的重要手段[1-3]。
然而，这类特殊成像系统受射线源能量或剂量的限制，在单位成像时间内到达接收装置的光
子/粒子计数水平非常低，成像过程受到多种类型噪声的污染。以微聚焦X射线成像为例[4-5]，其焦斑尺寸仅为微米级，单位时间内的射线通量远低于一般的X射线源，导致光子统计器计数水平较低，带来非加性且依赖于像素灰度的泊松噪声。同样，在低剂量医学CT诊断中，通过降低辐射量来减少对患者健康的不良影响，也表现为伴随泊松噪声的低光子计数成像[6]。此外，暗电流扰动、测量噪声等高斯噪声也普遍存在于这类成像过程中[7]。而伽马、脉冲等其他噪声的形成与低光子计数成像过程的成像特性不同，在这类成像过程或系统的噪声建模中较少考虑。当前的图像重建算法主要集中于单一噪声模型的研究，并不适用于低光子计数成像中含复杂混合噪声图像的重建。
近年来，稀疏表示理论为图像重建提出一种新的思路[8-10] ，即原始图像信号在合适的字典下具有稀疏性，而噪声信号无这一特性。若能对含噪图像进行稀疏性恢复，其稀疏重建的结果便可达到去除噪声的效果。因此，这一理论特别适用于复杂混合噪声污染下的图像重建和复原[5]。Michael Elad于2006年提出了K-SVD (K-Singular Value Decomposition)算法[11]，首次将稀疏重建算法用于重建含加性噪声的图像。之后，很多研究也基于这一思路，将图像的结构信息引入字典学习和稀疏表示[12-14]，如聚类字典、组稀疏等，以改善重建质量和提高重建效率。但该类方法都采用数据保真项与稀疏约束项分离的形式，重建过程中数据保真
与稀疏约束的求解结果相互制约，往往只能得到稀疏约束下的次优解。
本文针对低光子计数成像过程中受泊松高斯混合噪声污染的图像，提出一种数据保真与稀疏约束融合的稀疏重建方法。首先，基于泊松高斯混合噪声独立假设，建立了数据保真项与稀疏约束项融合的重建目标函数；之后，采用块聚类学习类内字典，并改进了贪婪算法使其适用于融合目标函数，实现类内稀疏分解和字典更新；最后，通过稀疏分解和字典更新的交替迭代实现图像稀疏重建。强烈泊松高斯噪声污染下图像的重建实验表明，本文提出的方法在图像细节保持和客观参数评价指标上都比现有方法有一定的提升，对处理强烈高斯泊松噪声污染的图像有更强的适应能力和更高的稳定性。
2 数据保真与稀疏约束相融合的稀
疏重建目标函数
传统的图像重建方法通常将成像噪声视为单一类型的噪声，并不能很好地解决含混合噪声的低光子计数图像重建问题。本文根据低光子计数图像的成像机理，将噪声建模为服从泊松分布和高斯分布的混合噪声[15]，即：
其中：y为采集到的含混合噪声的图像，u为原始“干净”图像表示图像u经过符合泊松分布的噪声污染后得到的含噪图像，w为符合高斯分布的随机噪声。
对于泊松噪声，其在最大后验估计(Maximum A Posteriori，MAP)框架下的概率密度函数为：
其中为观测到的含噪图像的每个像素点的数据，yk之间相互独立，并服从泊松分布为原始图像的每个像素点的数据。N为图像的高宽乘积，图像以列向量形式表示。
对均值为0，标准差为σ的高斯噪声，其概率密度函数为：
在低光子计数成像过程中，虽然高斯噪声和泊松噪声的形成并非毫不相关，但考虑二者的联合概率密度分布会使得目标函数的求解要进行一系列额外的近似计算，计算过程非常复杂。
因此，本文把两种噪声的形成当作相互独立的两个过程，避免联合概率密度分布产生的复杂计算。由此，可得到含泊松高斯混合噪声图像的概率密度分布函数，如式(4)所示：
对式(4)取负对数，去掉与图像数据u和y不相关、对概率密度函数无影响的项，并根据MAP理论[16]，可以得到优化问题的目标函数如下：
对优化目标(5)采用Michael Elad提出的分块稀疏重建思想[11]实现压缩感知下的求解，也即将整幅图像分解为多个重叠的图像块，对每个图像块进行相应的稀疏求解和字典更新，减少计算复杂度和内存需求。另一方面，不同图像块的结构并不完全相同，对每个图像块单独进行稀疏分解和字典更新，能更好地保护图像局部特征。
为方便计算，假定图像高宽值相等，则在给定图像块大小n×n下，从高宽乘积为N的观测图像y中，可提取个图像块。因此，分块稀疏重建下的目标函数为：
其中：Rij为以图像中第i行第j列的像素点为左上角顶点提取n×n图像块的算子，D为字典，αij表示图像第i行第j列的图像块对应的稀疏系数，μij为稀疏系数项的正则化系数。式(6)中的为数据保真项为稀疏约束项。
常用的混合噪声下稀疏重建算法就在此基础上对稀疏约束项和数据保真项分步求解。先用稀疏求解和字典更新算法得到合适的D和αij，然后再固定Dαij，以迭代法求解重建图像u。
然而，基于压缩感知原理[17]，求解完成时稀疏重建估计Dαij即为求解得到的干净图像块Riju的近似解，也即Riju≈Dαij。因此，基于这一压缩感知假设，将Riju≈Dαij代入目标函数(6)，并
考虑分块操作，式(6)中与高斯噪声相关的保真项可以转换为与泊松噪声相关的保真项uk-ykloguk可转换为
由此，提出数据保真和稀疏约束相融合的目标函数：
其中：y为观测图像，Rij，D，αij 的定义与目标函数(6)中的定义相同与分别从图像块级别上约束最终求解图像与含噪图像在高斯噪声和泊松噪声下的误差。
式(7)中项涉及对数运算。为避免对数项带来的求解困难，对Dαij做等效指数替换，可将目标函数转化为：
且‖αij‖0≤Tij，i，j=1，2，…，。
在该目标函数下，只需使用稀疏分解和字典更新算法便可直接重建原始图像。
正则化与稀疏3 数据保真与稀疏约束相融合的稀
疏重建方法
3.1 块聚类算法
基于学习的字典可分为全局字典和聚类字典。全局字典[18]是将整个图像作为样本进行训练得到的，不需要样本选取，但字典训练的求解复杂度高，难以体现图像的结构性；聚类字典[12，14]则从图像中提取图像块进行聚类，每一个聚类训练一个字典，相对于全局字典，其计算量相对低，既能有效体现图像的结构特征，也较大程度地保证了字典的可靠性。

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