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基于加权稀疏与加权核范数最小化的
图像去噪
刘绪娇
武汉科技职业学院公共课部，湖北 武汉 430000
摘要：为提高图像去噪的性能，本文提出一种基于加权稀疏表示结合加权核范数最小化的图像去噪算法。通过高斯混合模型（G M M）学习算法，从自然图像中学习非局部自相似先验信息，利用加权稀疏编码来辅助重构图像的细节纹理，及低秩正则化来恢复噪声图像块矩阵的潜在结构。实验表明，该算法在保留图像的结构和纹理信息的同时能更好地去除噪声。
关键词：图像去噪；非局部自相似；加权稀疏表示；加权核范数中图分类号：G642.0 文献标识码：A
图像去噪作为低层视觉中的经典问题，已经得到了广泛的研究，但它仍然是一个热门的课题，并为图像建模技术提供了一个理想的测试平台。在过去的几十年中，各种图像去噪方法已经发展起来，包括基于滤波
的方法[1]、基于全变分的方法[2,3]、基于小波等变换的方法[4,5]、基于稀疏表示的方法[6-8]、基于非局部自相似性的方法[9-12]等。
自然图像通常有许多重复的局部块，每个局部块在整个图像上可以到许多相似块。非局部自相似性（N S S）先验是用于图像恢复的最成功的先验之一。与传统的基于局部自相似性方法相比，非局部均值[11]和非局部正则化
[13]
方法大大提高了图像去噪性能。
Mairal 等[7]利用NSS 通过组稀疏编码提出了LSSC 算法。Dong 等[8]将NSS 与局部稀疏编码统一到NCSR 框架中，得到了很好的图像恢复效果。在非局部相似块具有低秩矩阵结构的假设下，基于低秩最小化的方法[9,14,15]也取得了很不错的去噪成果。
尽管NSS 在图像去噪方面取得了很大的成功，但在现有的大多数方法中，只有噪声输入图像的N S S 用于去噪。例如，NCSR
[16]
通过在稀疏域中减去非局部均值，
使噪声块的稀疏编码正则化。在W N N M [9]
中，利用低秩
正则化来恢复噪声块矩阵的潜在结构。然而，我们认为这种NSS 的利用还不够有效，因为它们忽略了干净自然图像的NSS。因此，本文从自然图像中学习清晰的NSS
作者简介：刘绪娇（1989- ），女，硕士，助教，研究方向：数字图像处理、高职数学研究。
先验模型，并将学习到的先验模型结合W N N M 应用到噪声图像中进行高性能去噪。
1 加权核范数最小化模型
加性高斯白噪声模型为n x y +=，其中噪声n 的均值为0，方差为2
n σ。对观测的噪声图像y 进行分块，其局部图像块
j y 可以通过块匹配等类似的方法在整个图像中搜索非局部相似块。然后将j y 的所有非局部相
似块垒叠到一个矩阵j Y 中，即j j j N X Y +=，其中j X 与j N 分别为原始清晰图像与噪声图像所对应的矩阵。由先验知识可知，j X 应该是一个近似的低秩矩阵，可以通过低秩矩阵近似的方法来估计j X 。通过对所有去噪后的图像块进行聚类，就可以得到整个估算图像。因此，利用加权核范数最小化（W N N M )进行低秩矩阵图像恢复[9]，WNNM 算法可以描述为：
（1）
式（1）中，矩阵X 的加权核范数为()∑=∗
i j j w X w X
1
,σ，[]n w w w w ,,,21 =，
是分配给()X i σ的非负权
重。通过奇异值分解T V U Y Σ=得到式（1）的全局最
优解：
（2）
2020年第2期
j X 的第i 个奇异值()j i X σ的权重为：
()()εσ+=j
i
i
X n c w 1
（3）
其中，01>c 是一个常数，n 表示的是j Y 中相似图像块的数量，10=ε=10-16是一个避免被零整除的数。假设噪声
正则化与稀疏在子空间U 和V 中均匀分布，则()j i X σ可以估计为：
()()()0,max ˆ22
n
j i
j i n Y X σσσ
−= （4）公式（4）中，()j i Y σ为j
Y 的第i 个奇异值，2n
σ为噪声方差。
2 基于加权稀疏与WNNM去噪
加权核范数最小化方法虽然能够较好地恢复低秩矩阵，但是当噪声较大时，可能使相似图像块之间存在较大差异，使得图像的纹理以及边缘信息被过度光滑处理。因此，我们提出了结合非局部相似性与加权核范数最小化的去噪算法：
（5）
式（5）中，i α表示图片块m y 在非局部相似块集合
i C 中的稀疏编码系数，向量w 用来加权稀疏编码α。
为了求解式（5），则需要求解以下两个模型：
+
−=∗,221
min arg w F
n
x
x
y x σ （6） （7）
利用加权核范数最小化（WNNM）方法求解模型（6）。
对于上述加权稀疏编码模型（7），首先利用高斯混合模型[12]（G M M）训练字典D 。我们对模型所有像素不进行协方差矩阵和混合权重的约束，则计算任意给定的一个图像块的对数似然性为：
()()
=∑=K k k k k x N x p 1
,log log Σµπ
（8）式（8）中，k π为高斯分量的混合权重，k k Σµ，分别为相应的均值和协方差。通过奇异值分解（SVD），Σ可以分解为：
T D D ΛΣ= （9）式（9）中，D 是由Σ的特征向量构成的正交矩阵，D 中的特征向量能
够捕捉自然图像中非局部相似变化
的统计结构，Λ是特征值的对角矩阵。对于高斯分量，第一个特征向量表示其最大值变化，最后一个特征向量表示其最小值变化。可以看出，对于不同的高斯分量，它们的特征向量（具有相同的索引）非常不同。因此，
D 可以用来表示稀疏模型中的字典。假设稀疏编码系数i α服从Laplacian 分布
()
i i c
c i
λαλ2exp 22−，其中
1i
i Λλ=，2c 是一个常数[12]
。我们可以得到加权向量为：
()ελσ+∗=i i c 2222w （10）
由于D 是正交矩阵，式（7）可以等价于
， （11）
为了简便，令y D z T
=
，由于i w 为正，因此上式可以写成：
， （12）
式（12）可以简化为2
p 标量最小化问题： ， （13）
求解式（13）的Euler-Lagrange 方程得到：
， （14）
其中，()⋅sgn 表示符号函数， 表示元素乘法。因此，
加权稀疏编码问题（7）的最终的封闭形式解为：
（15）最后，当
D 与α取定后，去噪后的恢复图像为：
（16）
3 实验结果
针对本文提出的新模型，我们进行了大量的去噪实验，给出主要参数：图像块的大小是根据噪声水平设置的，当噪声水平分别为0＜≤20，20＜
≤30，
30＜
≤50，50＜
≤100时，其对应的图像块大
小依次为6×6，7×7，8×8，9×9；迭代正则化参数
η和参数1c 固定为0.02和1.4，参数2c 在0.05至0.35
之间取值。
为验证本文提出的新模型的效能，将现有的WNNM [9]、TWSC [6]、LASSC [15]与我们的新方法进行比较。表1给出了噪声水平为10、30、50、100时5幅图像去噪恢复后的峰值性噪比（P S N R）和结构相
似度（SSIM）的结果。从中可以看出，对不同的图像本文提出的算法无论是在PSNR 还是SSIM 上比其他几种算法均有提高。
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为了更直观地显示本文算法在图像去噪方面的优越性，本文给出两幅自然图像去噪后的局部对比图。
图1、图2均有很好的结构细节和边缘信息。从图中的比较可以得出，其他3种模型在去噪过程中把一些图像
图1 Peppers 实验结果
图2 Pirate 实验结果
的细节当成噪声去除了，使得图像过于光滑，而本文算法能够很好地捕捉图像特征，不仅有效地去除噪声，并保留更多的细节和边缘信息，使得去噪后图像比其他方法看起来更加清晰。
4 结语
本文提出基于加权系数表示与W N N M的图像去噪算法，利用W N N M来低秩近似图像块样本，利用加权稀疏编码来辅助重构图像的清晰度。通过高斯混合模型（G M M）学习算法，从自然图像中学习非局部相似先验信息，与低秩去噪相结合，从而加权稀疏表示恢复图像。该方法解决了WNNM算法低秩矩阵近似时图像过于平滑，从而失去结构和纹理信息的问题。实验结果表明，与其他方法相比，该方法在峰值性噪比和结构相似度有所提高，在保留图像的结构和纹理信息的同时能更好地去除噪声。
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2020年第2期
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