㊀２０２３年６月A c t aG e o d a e t i c ae tC a r t o g r a p h i c aS i n i c a J u n e,２０２３㊀㊀第５２卷㊀第６期测㊀绘㊀学㊀报V o l．５２,N o．６引文格式：宋尚真，杨怡欣，王会峰，等．高光谱图像稀疏约束与自编码器特征提取相结合的异常检测方法[J]．测绘学报,２０２３,５２(６):９３２Ｇ９４３．D O I:１０．１１９４７/j．A G C S．２０２３．２０２１０６０４．
S O N GS h a n g z h e n,Y A N G Y i x i n,WA N G H u i f e n g,e ta l．H y p e r s p e c t r a la n o m a l y d e t e c t i o nc o m b i n i n g s p a r s ec o n s t r a i n ta n d
f e a t u r e e x t r a c t i o nv i a s t a c k e d a u t o e n c o d e r[J]．A c t aG e o d a e t i c a e t C a r t o
g r a p
h
i c a S i n i c a,２０２３,５２(６):９３２Ｇ９４３．D O I:１０．１１９４７/j．
A G C S．２０２３．２０２１０６０４．
高光谱图像稀疏约束与自编码器特征提取相结合的异常检测方法
宋尚真１，杨怡欣２，王会峰１，王晓艳１，荣生辉３，周慧鑫４
１．长安大学电子与控制工程学院，陕西西安７１００６１;２．西安邮电大学通信与信息工程学院，陕西西安７１０１２１;３．中国海洋大学电子工程学院，山东青岛２６６１００;４．西安电子科技大学物理与光电工程学院，陕西西安７１００７１
H y p e r s p e c t r a la n o m a l y d e t e c t i o nc o m b i n i n g s p a r s ec o n s t r a i n ta n df e a t u r e e x t r a c t i o n v i as t a c k e da u t o e n c o d e r
S O N GS h a n g z h e n１,Y A N GY i x i n２,W A N G H u i f e n g１,W A N G X i a o y a n１,R O N GS h e n g h u i３,Z H O UH u i x i n４１．S c h o o lo fE l e c t r o n i c s a n d C o n t r o lE n g i n e e r i n g,C h a n g̓a n U n i v e r s i t y,X i̓a n７１００６４,C h i n a;２．S c h o o lo f C o m m u n i c a t i o n sa n d I n f o r m a t i o nE n g i n e e r i n g,X i̓a nU i v e r s i t y o f P o s t s&T e l e c o m m u n i c a t i o n s,X i̓a n７１０１２１,C h i n a;３．S c h o o l o f E l e c t r o n i cE n g i n e e r i n g,O c e a nU n i v e r s i t y o fC h i n a,Q i n g d a o２６６１００,C h i n a;４．S c h o o l o fP h y s i c sa n d R a d i oa n dT e l e v i s i o nE n g i n e e r i n g,X i̓a nU n i v e r s i t y o f E l e c t r o n i cS c i e n c ea n dT e c h n o l o g y,X i̓a n７１００６８,C h i n a
A b s t r a c t:A n o m a l y d e t e c t i o n o fh y p e r s p e c t r a li m a g e s h a si m p o r t a n t a p p l i c a t i o n v a l u ei n m i l i t a r y, a g r i c u l t u r e,e x p l o r a t i o n,f i r e p r o t e c t i o na n do t h e
r f i e l d s．T r a d i t i o n a la l g o r i t h m so fh y p e r s p e c t r a l i m a g e (H S I)a n o m a l y d e t e c t i o n(A D)d o n o t e f f e c t i v e l y m i n e t h ed e e p f e a t u r e s o f t h e i m a g e s p e c t r u m,w h i l e t h e d e e p l e a r n i n g m e t h o d h a s g o o da b i l i t y t o e x t r a c t d e e p f e a t u r e i n f o r m a t i o n．S i n c e t h eA D p r o b l e m g e n e r a l l y c a n n o t o b t a i n t h e p r i o r i n f o r m a t i o n i na d v a n c e,t h eu n s u p e r v i s e dn e t w o r k i sm o r es u i t a b l e．E x i s t i n g A D a l g o r i t h m s b a s e do na u t o e n c o d e r(A E)d o e sn o tm a k ee f f e c t i v eu s eo f t h e l o c a l i n f o r m a t i o n,r e s u l t i n g i n l i m i t e dd e t e c t i o n e f f e c t．T oo v e r c o m e t h i s s h o r t c o m i n g,t h e p a p e r p r o p o s e s a nA Dm e t h o db a s e d o n s p a r s e r e p r e s e n t a t i o n(S R)c o n s t r a i n t sf o rs t a c k e d a u t o e n c o d e r(S A E)．F i r s t l y,t h es e m a n t i ci n f o r m a t i o ni s o b t a i n e db y S A E．S e c o n d l y,t h e S R i s u s e d a s a c o n s t r a i n t t o e f f e c t i v e l y c o m b i n ew i t h t h e e n c o d e r,a n d t h e l o c a l c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e f e a t u r e e l e m e n t s i n t h e p o t e n t i a l h i d d e n s p a c e a r em i n e d．F i n a l l y,t h e f r a c t i o n a l F o u r i e r t r a n s f o r m i s u t i l i z e d,a n d t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e o r i g i n a l s p e c t r u ma n d i t s i n t e r m e d i a t e d o m a i n o f F o u r i e r t r a n s f o r m a r e o b t a i n e d b y s p a t i a lＧf r e q u e n c y r e p r e s e n t a t i o n．C o n s e q u e n t l y,t h e s p e c t r a l d i s c r i m i n a t i o nb e t w e e nb a c k g r o u n da n da n o m a l i e s i s f u r t h e re n h a n c e d,a n dt h ee f f e c to fn o i s ei sa l s o r e m o v e d．T h ee x p e r i m e n t p e r f o r m sv e r i f
i c a t i o no n５H S I sc o l l e c t e db y４s p e c t r o m e t e r s i n c l u d i n g H y m a p, A V I R I S,R O S I S,a n dH Y D I C E．T h e a r e a u n d e r c u r v e(A U C)v a l u e s a r e０．９９０５,０．９９８３,０．９９９０,０．９９２８a n d０．９１１０, r e s p e c t i v e l y．C o m p a r e dw i t h c o m p a r e da l g o r i t h m s,t h e e f f e c t o f t h e p r o p o s e da l g o r i t h mc a nb e i m p r o v e d．K e y w o r d s:h y p e r s p e c t r a l i m a g e r y;a n o m a l y d e t e c t i o n;d e e p l e a r n i n g;a u t o e n c o d e r;s p a r s e r e p r e s e n t a t i o n;
F o u r i e r t r a n s f o r m
F o u n d a t i o n s u p p o r t:T h eN a t i o n a l N a t u r a l S c i e n c e F o u n d a t i o no f C h i n a(N o．５２１７２３２４);T h eK e y R e s e a r c h a n dD e v e l o p m e n t P r o g r a mo f S h a a n x i P r o v i n c e(N o s．２０２１
G YＧ２８５;２０２１S FＧ４８３)
摘㊀要：高光谱图像的异常检测在军事㊁农业㊁勘探㊁防火等领域具有重要的应用价值.传统的高光谱图像异常检测算法未能有效地挖掘图像光谱的深层特征，而深度学习方法具有良好的提取深层特征信息的能力.由于异常检测问题一般无法获取地物先验信息，因此无监督网络相比于监督网络要更为适用.而现有的基于自编码器的异常检测算法没有对局部信息进行有效利用，导致检测效果受限.针对这一
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第６期宋尚真，等：高光谱图像稀疏约束与自编码器特征提取相结合的异常检测方法
问题，本文提出一种基于稀疏表示约束的自编码器深度特征提取方法.首先通过栈式自编码器得到深层次语义信息；然后利用稀疏表示作为约束与编码器进行有效结合，挖掘了潜在隐藏空间中的特征元素的局部表示特性；最后采用分数傅里叶变换，通过空间Ｇ频率表示获得原始光谱与其傅里叶变换的中间域中的特征，进一步增强了背景和异常的光谱区分度，且能有效去除噪声的影响.在H y m a p㊁A V I R I S㊁
R O S I S㊁H Y D I C E这４种光谱仪采集的５幅高光谱遥感影像上进行了性能验证，得到的曲线下覆盖面积(a r e au n d e r c u r v e,A U C)分别为０．９９０５㊁０．９９８３㊁０．９９９０㊁０．９９２８和０．９１１０，相比于对比算法都有了不同程度的效果提升.结果表明本文方法具有更好的检测精度.
关键词：高光谱影像；异常检测；深度学习；自编码器；稀疏表示；傅里叶变换
中图分类号:P２２７㊀㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀㊀文章编号:１００１Ｇ１５９５(２０２３)０６Ｇ０９３２Ｇ１２
基金项目：国家自然科学基金(５２１７２３２４)；陕西省重点研发计划(２０２１G YＧ２８５;２０２
１S FＧ４８３)
㊀㊀高光谱遥感图像的 图谱合一 特性使其在获取场景几何信息的同时能获取丰富的光谱信息，充分反映地物的本质属性及不同地物之间的细微差异[１Ｇ２].很多二维图像或者多光谱图像无法分辨的地物通过高光谱图像可以被有效识别，给高光谱图像的目标检测提供了理论支持.异常检测作为一种无监督检测方法，主要在无先验信息的情况下，检测出与背景成分差异较大的异常目标，具有较强的实用价值，目前已经成为该领域的一个研究热点[３Ｇ４].根据异常目标与周围背景间表现形式的差异性，研究人员提出了各类异常检测算法.传统的算法包括R e e dＧX i a o l i(R X)算法[５]㊁L o c a lＧR X(L R X)算法[６]㊁S u b s p a c eＧR X (S S R X)算法[７]等.这些算法都假设图像背景服从一个固定高斯分布，再根据距离度量来判断目标.但在实际情况中，背景的分布往往不会符合假设，这使得传统方法具有很大的局限性.核R X算法[８](k e r n e lＧL R X,K L R X)作为对R X的一种非线性改进，可通过核函数将特征信息投影到高维非线性子空间，以解除线性模型的限制，但又会带来计算复杂度升高等问题.
由于传统检测算法的诸多局限性，近些年来一些基于信号处理的算法脱颖而出.考虑到属于同一地物类别的背景元素具有较高的相似性，一个背景像素可以用少数几个类似的背景元素进行线性重构表示，而异常元素与背景元素相似性较低，重构误差较大.其中稀疏表示(s p a r s e r e p r e s e n t a t i o n,S R)认为图像每一个像素都可以被少数的字典原子近似表示[９].基于协同表示(c o l l a b o r a t i v e r e p r e s e n t a t i o n,C R)的异常检测算法利用空间相邻的像素来表示每个测试像素，引用距离加权正则化矩阵来
优化每个像素的权重系数[１０].协同表示相比于稀疏表示不需要进行复杂的字典学习，但需要用双窗口来选择周围邻域像素，而窗口大小会极大地影响检测结果.而且双窗口中无法保证只包含背景，当其中包含异常像素时就会对中心像素的线性表示产生很大影响.此外，低秩分解(l o wＧr a n kr e p r e s e n t a t i o n, L R R)模型也被应用于异常检测，通过具有稀疏
性的低秩正则化项来约束背景模型[１１Ｇ１２]，并通过解混作为预处理首先得到光谱地物的丰度信息，进而使用松弛约束项来对模型进行约束[１３].
近年来，随着人工智能的发展，采用深度学习对高光谱图像进行处理也成为了热门方向.尤其是端到端的深度网络可以有效地提取深层非线性特征，对高光谱图像的分类和检测具有重要价值.在监督学习算法中最主要的是基于卷积神经网络(c o n v o l u t i o n a l n e u r a l n e t w o r k,C N N)，目前已广泛应用于高光谱图像的分类[１４]㊁超分辨[１５]及混合像元分解[１６]中.然而监督学习网络在高光谱图像上存在共同的问题，即训练样本不足.为克服这一问题，学者们提出了像素配对特征策略[１７]㊁迁移学习[１８]等，但对于异常检测这种几乎无法获取先验信息的应用领域，监督学习仍难以获得非常理想的效果.
非监督学习网络无须使用大量的训练样本，因而对处理异常检测问题尤为适合.其中栈式自编码器(s t a c k e da u t o e n c o d e r,S A E)由于具有良好提取深层特征信息的能力，且可通过堆叠多个编码层来挖掘出更深层的深度语义特征，已成为一种热门的特征提取手段.比如在S A E中加入目标和背景之间距离
约束可以更好地提取光谱特征，以用于后续的异常检测[１９].自编码器还可以与协同表示相结合[２０]，根据协同表示原理对像素周围的局部区域进行线性表示，挖掘数据的局部信息.但同样也具有协同表示的缺点，即双窗口
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包含异常像素的问题，以及双窗口尺寸对性能的影响问题.而根据前文描述可知，稀疏表示相比于协同表示大大减小了对周围像素的依赖性.此外字典系数的稀疏性使其在充分挖掘数据局部特性的同时计算复杂度也更低.因此，本文提出一种基于稀疏表示约束与S A E相结合的异常检测方法，通过在S A E网络上施加一个具有稀疏性的
正则化约束，使得在S A E隐藏层中的深层特征元素可以构建类似的背景字典，挖掘了数据的局部特征信息.经过两者联合优化后可得到稀疏表示的初始结果.再通过解码层与输入层的重构误差作为异常分数评价值，挖掘数据的全局特征信息.此外，考虑到经过相减后重构残差的绝对值会被缩小，从而导致光谱区分度也受到影响的因素，本文采用分数傅里叶变换，通过空间Ｇ频率表示获得原始光谱与傅里叶变换之
间的中间域特征，同时利用香农熵不确定原理作为约束，在去除噪声的同时也有效增强了背景和异常的区分度，获得更加优良的检测效果.
１㊀本文方法
１．１㊀自编码器
自编码器(a u t o e n c o d e r,A E)主要由编码器(e n c o d e r)和解码器(d e c o d e r)两部分组成.A E 中的编码器首先将输入x通过一个函数f( )映射到一个潜在的隐藏子空间z，该函数对应的映射关系可表示为z＝f(x).而解码器则是通过另一个函数g( )对隐藏层z进行重构，得到一个输出量^x，该输出与输入尽量接近且能够保留输入的大部分细节特征，函数关系表示为^x＝g(z).函数f( )和g( )中都包含非线性激活函数，给神经元引入了非线性因素，使得神经网络可以任意逼近任何非线性函数，进而应用到众多的非线性模型中.常用的激活函数包括T a n h 函数㊁S i g m o i d函数㊁R e L U函数等.
与增加神经网络的深度以获得数据更高抽象级别的特征表示的思想相同，使用多个A E进行堆叠可以得到具有更深网络层次的S A E.一般S A E中约束编码单元数小于输入数据维数，可以实现对原始数据的降维.由于潜在子空间中的编码数据能够最大限度地保留原有数据的特征，因此不会损失原始数据的主要特征.如果堆叠层的数量过多，对特征的解译并不能带来有意义的改变，不具备推广性，因此需要根据不同类型的任务需求确定合适的S A E网络深度.
１．２㊀稀疏表示约束与S A E深度特征提取相结合的高光谱异常检测
㊀㊀稀疏表示认为一个信号可表示为字典中少数原子的线性组合.而在异常检测领域，则可认为异常信号点无法像大多数背景信号那样被字典原子线性表示，而是具有较大的误差值，于是便可以此来判断该点是否为异常点.稀疏表示理论在高光谱异常检测领域已有了很大贡献.为了能够在利用S A E的深度特征提取能力的同时又保留稀疏表示模型在异常检测上的优势，本文提出将稀疏表示模型作为约束条件施加在S A E上，该联合表示策略可使得通过S A E提取的深度特征在有效去除数据冗余的同时，还满足一定程度的稀疏性，以与稀疏表示模型原理相匹配.根据稀疏表示理论，给定一个可靠的背景字典，可以通过求解式(１)来优化稀疏向量
m i n D,αjðN m j＝１x j－Dαj２２＋λðN m j＝１αj１
{}(１)式中,x jɪR Bˑ１为高光谱图像像素;DɪR BˑN D 为该类地物的字典;N m为图像像素个数;N D为字典中的原子数;r＝ðN m j＝１x j－Dαj２２为重构误差;αjɪR N Dˑ１为稀疏系数;λ为正则化参数，表示重构误差和稀疏性之间的权衡关系.
获取合适并可靠的字典对基于稀疏表示的目标检测性能具有重要意义.由于异常像素与背景像素差异较大，使用背景字典中的原子重构的误差也相对较大，因此可以通过判断误差的大小来确定异常像素.本文所构建的背景字典则需要包含除异常以外的每一类地物成分.本文采用一种基于无监督聚类和距离度量的
方法来构建背景字典，可以快速㊁简易且高效地到背景原子且不增加严重的计算负担.具体采用KＧ均值算法将图像中所用像素分成K类X＝{X１,X２, ,X K}，使用欧氏距离来对像素进行度量.K的值应该比真实地物类别个数略大，以确保聚类个数K可以覆盖所有地物种类.由于各类字典原子都应该是背景像素，因此采用预测策略来选择背景像素的每个聚类集.与R X算法类似，计算出测试像素与每个簇中局部背景平均值的马氏距离的平方.计算的预测值越高，测试像素为异常或者噪声像素的概率越大，而具有小预测值的像素即为背景像素.因此，选择最小马氏距离的P个像素
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第６期
宋尚真，等：高光谱图像稀疏约束与自编码器特征提取相结合的异常检测方法
来生成字典中的原子.如果集中的像素总数小于P ，则跳过该集.各类背景原子即组成所需背景字典.
获取字典后，通常使用贪婪算法来求解稀疏
系数，这里使用正交匹配追踪算法(o r t h o g o n a l m a t c h p u r s u i t ,OM P )[２１]
对式(１)
进行优化求解，得到稀疏系数αj .通过αj 可以求得每个像素的残差项r ,r 的计算方式表示为
r ＝x j －
D αj ２(２)式中,r 同时可看作为异常成分的评分项，当r 大于某一个设定阈值时，该元素即判定为异常.对S A
E 施加稀疏表示约束，则对于像素x j ，新优化问题的表达式为
m i n W ,Z ,f (D )
,αj
L y ＝l (g (f (x j )),x j )＋㊀㊀
θ２ðN m
j ＝１
f (x j )－f (D )^αj ２
２
＋
λ２ðN m
j ＝１
^αj
１
(３
)式中,l ( )为最小均方误差;g ( )表示解码器网络;f ( )表示编码器网络;f (
D )为字典D 在编码特征子空间中的映射字典;^αj 为潜在子空间中的稀疏系数;W 和Z 分别表示编码器和解码器网络的参数;θ为稀疏表示的正则化参数.S A E
的预训练过程采用了应用最广泛的逐层贪婪预训练方法
[２２]
.而上述参数更新过程使用的是类似
求解低秩表示中优化表达式采用的线性化交替方
向法[２３]
，具体步骤如下.
(１)网络参数更新.即假设f (D )与^αj 固定
不变，对P ＝(W ,Z )进行更新，新的优化表达式为
m i n W ,
Z
L y ＝l (g (f (x j )),x j )＋㊀㊀θ２ðN m
j ＝１
f (x j )－f (
D )^αj ２２
＋λ
２ðN m
j ＝１
^αj １
(４
)网络参数的计算方法为
㊀㊀ÑP L x j ＝∂l (g (f (x j )),x j )∂P ＋θ
∂f (x j )∂P
(f (x j )－f (D )^αj )(５)式中,P ＝(W ,Z )
是网络参数的集合.梯度∂(g (f (x j )),x j )/∂P 和∂f (x j )/∂P 可以通过后向传播(b a c k p r o p a g a t i o n ,B P )计算.而后网络参数的更新计算为
P (t ＋１)
＝P (t )
－l ÑP (t )L
(t )
x j
(６
)式中,t 是迭代的标号;l ＞０是学习率.
(２)稀疏表示参数更新.即假设P 和f (D )
固定不变，对参数αj 进行更新,
正则化与稀疏则优化问题可以写为m i n αj
L y ＝l (g (f (x j )),x j )＋θ
２ðN m
j ＝１f (x j )－f (
D )^αj ２
２
＋λ
２ðN m
j ＝１
^
αj １(７)式中，等号右侧第１项不含有变量，最后两项即可看作在潜在子空间内的稀疏表示模型优化，可以采用OM P 对稀疏系数进行求解.
(３)当固定参数P 和^αj 时,f (D )可通过式(８
)更新f (D )(t ＋１)＝f (f (
D )(t )
)(８)交替迭代继续进行，直到迭代次数达到最大
迭代次数T 为止.迭代完成后，潜在子空间中的
局部检测结果可由式(９
)计算得出T (x i )
＝[^E ]:,i
２
＝
ðj
(
[f (X )－f (D )^A ]j ,
i )２
(９
)式中,[E ∗]:,i ２表示E ∗
的第i 列的l ２范数，若其大于一个固定的阈值,x i 则被认为是异常像素.上述基于稀疏约束的自编码器网络的构建与训练流程可用下方伪代码来表示.
基于稀疏约束的S A E 构建与训练流程如下.
输入：高光谱图像数据X ;
(１)通过K Ｇ
均值聚类将X 分成K 类，其满足:X ＝ɣi ＝１,２, ,K X i
,X i ɘX j ＝ϕ,
i ʂj ,i ,j ＝１,２, ,K ㊀X i 中的像素个数表示为N i ，字典D 初始化为空集;(２)f o r i ＝１:K
㊀(２．１
)若N i ＜P ㊀返回步骤(２),i ＝i ＋１;㊀(２．２)计算均值向量μ与数据{x j |x j ɪX i ,j ＝１,２, ,N i }
的协方差矩阵Σ;㊀(２．３)计算x j 的马氏距离度量
η(
x j )＝(x j －μ)T ð－１
(x j －μ)㊀j ＝１,２, ,N i ㊀(２．４)在{x j x j ɪ
X i ,j ＝１,２, ,N i }中选择P 个像素组成字典原子D i ＝[x １,x ２, ,x P ]
，其组成D i 的原子x i 的马氏度量η(x i )皆小于X i 中没有作为字典原子的η(
x j )㊀(２．５)D ＝D ɣD i
(３
)结束循环;(３．１)构建新的损失函数式(３)，分别对式(３)中的稀疏表示约束项和S A E 损失函数项进行交替迭代优化；反向更新参数;(３．２)通过l ２范数计算T (x i )，得到特征空间内的局部检测结果;
输出：式(９)结果T (x i )
５
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h t t p :ʊx b ．c h i n a s m p ．
c o m １．３㊀基于分数傅里叶变换的光谱区分度增强与
检测方法㊀㊀上述通过稀疏表示约束可得到特征子空间中的局部检测结果.为了能够继续利用整幅高光谱影像的全局信息以进一步提升检测性能，使用S A E 中的解码器对潜在子空间进行重构.由于潜在子空间中的编码数据能够最大限度地保留原有数据的特征，因此经解码后的重构图像尽可能还原了原始数据的主要特征.一幅图像中的主要特征即为背景区域，而异常成分由于具有数量少㊁分布随机的特点使得解码器对其重构差异较大.根据这种特性，这里将重构误差的大小作为异常检测的全局分数评价信息，重构误差越大，则该像素为异常成分的概率越大，原始数据的重构误差计算如下
X ∗
＝X －^X
m a x X －^X (１０
)式中,X 为原始图像数据;^X 为解码器输出的重构
图像数据;X ∗为全局分数评价.
为了更加直观地观测解码器与原始图像的重构误差强度，本文以R o a d 数据集为例，给出该数据集中任意３个波段的重构误差强度图，如图１所示.R o a d 数据集图像大小为１００ˑ１００，波段数为２２４，数据集的其他详细参
数将在第２节给出.由图１可知，每个波段虽在表现上各有差异,
但都在异常部分呈现出较大的强度值.
图１㊀R o a d 数据集中３个波段的重构误差强度
F i g ．１㊀T h er e c o n s t r u c t i o ne r r o r i n t e n s i t y m a p o
f３b a
n d s i n t h eR o a dd a t a s e t
图２㊀中心像素经过F r F T 变换的信息情况
F i g ．２㊀I l l u s t r a t i o nw i t ha c e r t a i n p i x e l b y F
r F T ㊀㊀在计算重构误差时,
重构图像与原始图像相减会在一定程度上削弱背景和异常成分的光谱差异.还有可能出现一些残差值较大的背景点，即给图像带来了噪声.传统的基于统计理论的异常检测算法只使用了原始的光谱特征，没有专门对信号增强及噪声做进一步处理.为了克服这一问
题，本文采用分数傅里叶变换(f r a c t i o n a lF o u r i e r
t r a n s f o r m ,F r F T )算法[２４
]
，通过空间Ｇ
频率表示获取原始反射光谱与其傅里叶变换之间的中间域特
征，可在增强背景和异常的区分度的同时有效地
去除噪声.
对于残差图像X ∗＝{x ∗j }N m
j ＝１，像素x ∗在F r F T 变换域中对应表示为
x ∗
p
(u )＝(１/d )ðd
s ＝１
x ∗
(
s )K p (s ,u )(１１)式中，核函数K p 具体表示为
K p (s ,u )＝A ϕe x p [j π(s ２c o t ϕ－２s u c s c ϕ＋u ２
c o t ϕ)]ϕʂ
n πδ(s －u )㊀ϕ＝２n πδ(s ＋u )㊀ϕ＝(
２n ʃ１)πìîí
ï
ïïïï(１２
)式中,u ㊁s 表示像素的索引;n 为整数;p 为F
r F T 的分数阶；旋转角ϕ＝p π/２.A ϕ的计算方法为
A ϕ＝e x p [－j πs g n (s i n ϕ)/４＋j ϕ/２]s i n ϕ
１/２
(１３)图２为对某个中心像素实施F r F T 时原始反
射光谱及频域信息的整合情况.当p ＝０,x ∗
p
即为原始光谱；当p ＝１时,x ∗p
则为传统傅里叶变换的输出.由图２可知，部分光谱信息被保留的同时能量也被集中了起来，而不是在整个光谱上
扩散[２５]
.变换后的振幅被进一步拉大，从而使不
同地物的区分度得到了增强.随着p 增大，这种
６
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