第37卷第3期自动化学报Vol.37,No.3 2011年3月ACTA AUTOMATICA SINICA March,2011
基于H∞范数优化的干扰观测器的鲁棒设计
尹正男1苏剑波1刘艳涛1
摘要研究干扰观测器的鲁棒优化设计方法，应用H∞范数定义干扰观测器的优化性能评价函数，把低通滤波器的设计问题转换为H∞闭环回路成形问题.通过适当处理相对阶次条件等约束，把带有约束的回路成形问题转换成无约束的H∞标准问题，然后利用H∞标准问题的求解算法设计滤波器.此外，探讨了性能与频率加权函数的关系，并在此基础上提出了加权函数的选取方法.实验结果证明该方法设计简单，且具有最优性和系统性.
关键词高性能鲁棒运动控制，干扰观测器,H∞标准控制问题，低通滤波器,2自由度控制系统
DOI10.3724/SP.J.1004.2011.00331
Design of Disturbance Observer with Robust Performance
Based on H∞Norm Optimization
YIN Zheng-Nan1SU Jian-Bo1LIU Yan-Tao1
Abstract This paper proposes a robust design method of disturbance observer(DOB),employs the H∞norm to define the optimization performance evaluation function of the DOB,and transforms the low-passfilter design into an H∞closed loop shaping problem.By appropriate processing the constraints such as relative order condition etc.,the loop shaping problem with constraints can be transformed into an H∞standard problem without constraints,and then the algorithms for standard problems can be applied to the design of thefilter.Furthermore,the relationship between performance and frequency weighted functions is investigated,based on which the selection method of weighted functions is presented.The experimental results validate the optimality and systematicness of the proposed method,which is easy to implement. Key words High-performance robust motion control,disturbance observer(DOB),H∞standard control problem, low-passfilter,two degrees of freedom control system
基于干扰观测器(Disturbance observer,DOB)的鲁棒控制[1−3]是实现受控对象(如：机器人关节)高性能、高精度运动控制的有效方法.目前，闭环运动控制系统已发展到由内环和外环控制器组成的2自由度结构形式.内环控制的主要目的是抑制来自于外界的干扰，增强系统对被控对象参数摄动的鲁棒性；外环控制的目的是实现期望的目标轨迹跟踪性能.作为鲁棒内环控制器，目前最常采用结构简单、鲁棒性好的干扰观测器[4−8].干扰观测器由受控对象标称模型的逆模型和低通滤波器构成.由于对干扰和噪声的抑制性能及对模型摄动的鲁棒性均取决于低通滤波器，因此，低通滤波器设计是干扰观测器设计的关键.
文献[1]提出在设计干扰观测器时，把干扰看作一个变化速度可忽略的状态，构造Gopinath状态
收稿日期2010-06-11录用日期2010-10-22
Manuscript received June11,2010;accepted October22,2010国家自然科学基金重点项目(60935001)，教育部新世纪优秀人才支持计划(NCET-06-0398)资助
Supported by Key Project of National Natural Science Founda-tion of China(60935001)and New Century Educational Talents Plan of Chinese Education Ministry(NCET-06-0398)
1.上海交通大学电子信息与电气工程学院上海200240
1.School of Electronic Information and Electric Engineering, Shanghai Jiao Tong University,Shanghai200240观测器，通过调整观测器的极点改善对干扰的抑制性能.文献[2]以最简单的一阶惯性环节作为低通滤波器，通过检测噪声的频率特性来调整惯性环节的时间常数，此方法因结构简单得到广泛应用[9−14].后来人们发现，低通滤波器的阶次越高，抑制干扰和噪声的性能就越强[15]，因此，人们普遍采用阶次较高的滤波器.文献[3−4,15]注意到该点，引入了Butterworth滤波器和二项系数滤波器.文献[5]试图把一些补充参数添加到高阶(3阶及4阶)二项系数滤波器中以改善系统的鲁棒稳定性.此后出现的干扰观测器多为二项系数型[16−17]和Butterworth 型[3]，或者是通过试错法(Trial and error)获取
相对较优的滤波器.也有学者在滤波器结构固定的情况下，按照设计要求调整相应系数的大小，获取较优的滤波器[18].
Butterworth型和二项系数型滤波器都以通频带上的频率特性尽量平滑为目的；而干扰观测器中的低通滤波器则应满足鲁棒稳定性等控制系统固有的约束，同时，尽量消除外界干扰和模型误差对系统的影响.因此，使用前述两种滤波器设计干扰观测器中的滤波器具有局限性，应当建立滤波器性能评价准则，并创新设计方法.
332自动化
学报37卷
有学者试图以H ∞范数为评价函数设计干扰观测器的低通滤波器.例如，文献[15]把干扰观测器系统的灵敏度函数和补灵敏度函数的H ∞范数定义为评价函数，但因为灵敏度函数和补灵敏度函数之和恒等于1而无法同时最小化，所以不能用于低通滤波器的优化设计.
还有学者提出在H ∞控制理论的框架内设计干扰观测器的方法.文献[19−20]引入扩展H ∞控制方法(Extended H ∞control method)设计具有积分型干扰抑制性能的H ∞控制器.文献[21]通过H ∞范数的线性矩阵不等式(Linear matrix inequality,LMI)最优化设计具有单位DC 增益的Q -滤波器.前者虽然保证基于积分作用的干扰抑制性能和鲁棒稳定性，但由于干扰观测器和外环反馈控制器的设计在同一个设计框架内进行，因此无法实现干扰观测器系统的本原功能，即2自由度性能.后者把干扰观测器和外环反馈控制器分开设计，虽然能保持2自由度性能，但此Q -滤波器设计包含由外环控制器和受控对象组成的灵敏度函数，因此滤波器的具体设计(如：阶次和零极点配置)仍受外环控制器影响.在设计干扰观测器中的Q -滤波器时，设计指标中不仅应包括低频和高频带上的频率特性，还应包括阶次及相对阶次条件和内模阶次条件等[15].上面提到的基于H ∞控制理论的Q -滤波器设计方法虽然能保证一定的频率特性和鲁棒性，但无法满足阶次及相对阶次条件，更不能保证内模阶次条件，而这些条件恰恰是设计干扰观测器时的重要指标.
由以上的Q -滤波器设计方法可得到结论:1)需要建立低通滤波器的优化评价函数，此评价函数既要反映
包括相对阶次条件和内模阶次条件在内的具体设计指标和频率特性，又能直接应用于设计过程;2)需要开发系统性的干扰观测器设计方法.从上述分析与观点出发，本文研究反映具体对象条件和控制目标的评价函数及其优化求解方法，采用H ∞闭环回路成形方法，设计干扰观测器中的低通滤波器.本文结构安排如下：首先，用干扰观测器系统的灵敏度函数与补灵敏度函数的加权H ∞范数定义Q -滤波器评价函数(评价函数以阶次及相对阶次条件包含为约束，并以内模阶次和频率特性为设计指标).其次，利用反馈回路的性质把带约束Q -滤波器设计问题变成无约束H ∞标准控制设计问题，以求解.再次，考察反映内模阶次条件的加权函数的选择方法，并通过设计实例验证所提设计方法的有效性，文末给出结论.文中带“∼”标的传递函数为用于理论分析引入的传递函数；带“∗”标的标识表示最优
化过程得到的最优解或由最优解组成的传递函数.
1干扰观测器设计的性能评价函数
图1显示了干扰观测器及其等效系统的结构,
其中,d 、 d
、η分别表示干扰信号、干扰估计信号和检测噪声,P n (s )和Q (s )分别是受控对象P (s )的标称模型和低通滤波器.图1中的虚线框架内结构是干扰观测器，由逆模型和低通滤波器(Q -滤波器)两部分组成.
(a)DOB 系统(a)System of DOB
(b)DOB 等效系统
(b)Equivalent system of DOB
图1干扰观测器系统的框图
Fig.1
Block diagram of DOB system
干扰观测器的任务是消除外部干扰d 和模型失配对系统的影响.低通滤波器Q (s )不仅使逆模型在物理上可实现，还能抑制检测噪声并保证系统对模型失配的鲁棒稳定性.下面讨论Q -滤波器设计时应考虑的几个重要设计指标.
1.1频率特性
图1的系统输入输出模型为
y =
P n P
P n +(P −P n )Q
u −
P Q P n +(P −P n )Q η−P n P (1−Q )P n +(P −P n )Q
d =
G yr (s )u −G yη(s )η−G yd (s ) d (1)
3期尹正男等：基于H∞范数优化的干扰观测器的鲁棒设计333
式中, d是包含外部干扰d和模型失配所引起的内部干扰的整个等效干扰.当受控对象和模型一致时(这种情况下 d=d)，式(1)可写为
y=P n(s)u−Q(s)η−P n(s)(1−Q(s)) d(2)
由上式可知，干扰经过Q C(s)=1−Q(s)(灵敏度函数)作用于系统，而检测噪声经过Q(s)(补灵敏度函数)作用于系统.如果Q C(s)和Q(s)分别对干扰d和噪声η具有截止性能，式(2)等号右端的第2项和第3项为零，
整个系统就固定于不受到干扰和检测噪声作用的标称模型P n(s).Q C(s)还反映干扰观测器系统的灵敏度特性，如果令其在系统动作频段尽量小，即使实际对象和标称模型之间存在高频误差，也能有效保证干扰抑制性能和对模型变动的鲁棒性.因此，无论模型是否存在误差，只要灵敏度函数Q C(s)和补灵敏度函数Q(s)设计得足够小，就能保证干扰观测器的最优化性能，所以，干扰观测器设计的关键是低通滤波器的设计.由于Q C(s)和Q(s)的和恒等于1，这两个传递函数不可能同时任意小，设计时需要进行折衷.实际情况下干扰d的频谱位于低频带，噪声η处于高频带，因此设计时应该考虑此特性，使Q C(s)和Q(s)分别在低频带和高频带上足够小.同H∞控制的混合灵敏度问题一样，可以用频率加权函数解决此频率折衷问题.经上述分析，我们定义Q-滤波器的频率设计指标为
max
Q(s)∈RH∞
W1(s)Q C(s) ∞<1(3)
W2(s)Q(s) ∞<1(4)式中,W1(s)和W2(s)分别是反映干扰频谱特性的低通加权函数和反映检测噪声频谱特性的高通加权函数.式(3)和式(4)意味着，在把检测器噪声的影响压到一定水平下的条件下，把干扰的影响在按照W1(s)给定的频段内尽量减小.
1.2鲁棒稳定性
由式(2)可知,Q(s)在模型匹配(P(s)= P n(s))时必须具有稳定性(标称稳定性条件).另一方面，系统运行时被控对象的变动会引起干扰观测器反馈系统的稳定性劣化.因此，设计Q-滤波器时，必须考虑系统对实际对象和标称模型间匹配误差的鲁棒稳定性.设对象可用如下乘型不确定摄动描述:
P(s)=P n(s)[I+∆(s)](5)其中,∆(s)∈RH∞为摄动传递函数.本文关注含准稳定环节(如：积分环节)在内的稳定对象和存在相同不稳定极点的被控对象及其标称模型，二者是一般伺服系统(如：机器人关节系统)惯有的控制对象.由图1(b)可知，与摄动∆形成反馈环的确定部分的传递函数为Q(s).根据小增益定理(Small gain theorem)，整个闭环系统鲁棒稳定的充分条件满足下式:
¯σ(∆(jω)Q(jω))<1,0≤ω≤∞
假定幅频上限为W T(s)，即¯σ(∆(jω))<|W T(jω)|, 0≤ω≤∞，用H∞范数表示为
W T(s)Q(s) ∞<1(6)
式(6)与式(4)都是对Q-滤波器本身的加权范数限制约束.这说明噪声抑制问题和鲁棒稳定问题都落到Q(s)的范数限制问题.虽然检测噪声和模型不确定性都在高频上，但其具体频率特性不同,W2(s)与W T(s)的频率带宽不同.因此在Q-滤波器的设计时应考虑这一点设定加权函数W Q(s).
1.3阶次及相对阶次条件
干扰观测器系统必须包含被控对象的标称逆模型P−1
n
(s)，且该模型具有非真性而无法独立实现.
但由图1(b)可知，只要Q(s)P−1
n
(s)可实现，整个系统就能够实现.这表明Q(s)的相对阶次必须等于或大于P n(s)的相对阶次.因此,Q(s)的相对阶次是滤波器设计的重要指标(下面用k表示相对阶次指标)，但这一设计指标对开发系统性的设计算法造成极大的难度，截至目前除了援引典型的滤波器设计方法(如:Butterworth或二项系数等)设计Q-滤波器之外，尚无考虑相对阶次条件的系统性设计方法.同时,Q-滤波器的阶次也是主要设计指标之一，应该加入到评价函数中(下面用n表示阶次指标).
正则化项鲁棒性1.4内模阶次条件
假设干扰d(t)=p q t q+p q−1t q−1+···+p0能够被抑制，由内模原理[22]知道干扰前段的控制器K pre(s)必须包括其传递函数模型，即含有q+1个积分环节1/s q+1.因此，为了使K pre(s)=[1−Q(s)]−1含有q+1个积
分环节,Q(s)必须具有相应的传递函数结构.这样,q反映了Q-滤波器的主要性能，它表示能够抑制的干扰阶次，应把q作为设计指标加入到设计过程中.现有基于H∞控制理论的干扰观测器设计方法忽视该指标，只考虑对常值干扰的抑制性能.
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1.5干扰观测器的性能评价函数
根据上述Q -滤波器的设计指标，定义干扰观测器系统的性能评价函数为
max γ,min Q ∈Ωk Q ∈RH
∞
γW C (1−Q )W Q Q
∞
<1(7)
其中
Ωk = F (s )|F (s )=
N (s )
D (s )
,deg(D (s ))−deg(N (s ))≥k
(8)
是满足相对阶次条件的有理传递函数的集合,k 是给定的低通滤波器相对阶次设计条件.W C (s )是反映干扰频率特性的频率加权函数，与式(3)的W 1(s )相同.W Q (s )是检测噪声及模型摄动频率特性的频率加权函数，通过考虑W 2(s )和W T (s )的频率特性选择，具体选取方法在第4节详细说明.Q -滤波器的阶次条件和内模阶次设计条件反映在此加权函数，其具体选取方法也在第4节详细说明.式(7)通过γ-最优化，达到式(3)和式(4)所提出的频率设计目的，以保证给定的鲁棒稳定性和噪声抑制性能的同时，得到最优干扰抑制性能.式(7)表明干扰观测器Q -滤波器的设计与对象模型本身无关，模型失配的信息已反映到加权函数W Q (s )中.
2基于H ∞范数优化的低通滤波器设计问题
的求解
评价函数(7)本质上代表混合灵敏度最优化问题，但因为干扰观测器中低通滤波器固有的设计指标而包含比较复杂的范数条件和阶次及相对阶次等约束，所以无法利用H ∞标准问题的求解方法，应寻求式(7)的系统性的求解算法.
2.1变换为H ∞标准控制问题
定义如下的虚拟回路传递函数 L
(s ) L
(s )=Q (s )
1−Q (s )
(9)
则干扰观测器系统的灵敏度函数Q (s )和补灵敏度函数Q C (s )为
Q (s )=
L
(s )1+ L
(s )Q C (s )=1−Q C (s )=
11+ L
(s )(10)
由上式看出, L
(s )在虚拟定义的回路中可看为开环系统传递函数( L
(s )本质上相当于图1(b)所示系统在模型完全匹配时的开环传递函数); L
(s )∈Ωk 当且仅当其闭环回路稳定传递函数Q (s )∈Ωk ; L
(s )的相对阶次反映了Q (s )的相对阶次.
考虑式(9)和(10)，式(7)的H ∞函数优化问题可写为
max γ,min  L ∈Ωk  L
∈Π
γW C (1+ L )−1W Q  L (1+ L )
−1
∞
<1(11)
其中,Π定义为使此闭环系统稳定的所有开环传递函数的集合.这样，将式(7)求解最优闭环传递函数的问题转化为式(11)求解最优开环传递函数的问
题，两式的解满足式(10).但约束 L
(s )∈Ωk 仍存于优化问题中，式(11)还无法直接求解.因此，把开环
回路传递函数 L
(s )分解为虚拟受控对象和虚拟控制器两个因子，即
L
(s )= P (s ) K (s )(12)
其中, P
(s )为虚拟受控对象, K (s )为虚拟控制器.假设1.设 P
(s )满足如下假定:1)所有极点位于复左半平面上;2)除了无限零点以外，无任何别
的零点;3) P
(s )∈Ωk , P (s )∈RH ∞.注意：虚拟受控对象 P
(s )与实际受控对象P (s )无关，只反映标称模型P n (s )的相对阶次信
息，用于实现开环回路的相对阶次指标; L
(s )的分解与实际被控对象没有关系.现在的目的是求解满
足式(11)的最优化开环传递函数 L
(s )，而且对 L (s )的约束只是 L
(s )∈Ωk ∩Π.考察如下最优化问题:max γ,min  K ∈Π      γW C (1+ P  K )−1W Q  P
K (1+ P  K )−1
∞
<1(13)
定理1.若H ∞范数优化问题(13)中的受控对
象 P
(s )满足假设1所示的条件，则由此最优化问题的最优补偿器解 K
∗和 P (s )构成的最优开环系统 L
∗与此受控对象 P (s )的具体选择无关且唯一.证明.设受控对象 P
(s )满足假设1，且和最优控制器 K
∗(s )使式(13)的范数最小. P (s )有k 个稳定极点p ∗i (i =1,···,k ).由回路成形理论知，式
3期尹正男等：基于H∞范数优化的干扰观测器的鲁棒设计335
(13)的最优化解 K∗(s)一定含有由这个零点组成的
因子.
K∗(s)= K
0(s)
k
i=1
(s+p∗
i
)
式中, K0(s)是最优开环传递函数，因为成立 L∗(s)= P(s) K∗(s)= K
(s).再考虑满足假设1的其他 P1(s)，它的k个极点为 p i(i=1,···,k)且 p=p∗(全部或部分不同).在式(13)的范数最小条件下，补偿器
K 1(s)= K0(s)
k
i=1
(s+p i)
是最优化问题(13)对 P1(s)的解，因 K1(s)和 P1(s)中不存在不稳定零点极点对消，故闭环系统内部稳定. K∗(s)和 K1(s)的结果证明，开环传递函数
K
(s)唯一，式(13)范数不变.
由此定理可知，在给定的对象阶次及相对阶次条件下只要对象满足假设1，由式(13)的解 K∗(s)和 P(s)来组成的开环系统 L∗(s)与受控对象 P(s)的具体形式无关，具有唯一性.
引理1.对满足假设1的任意受控对象 P(s)，以下两个H∞范数最优化问题(11)和(13)的解在式(12)的关系下完全等价:
min
L∈Ω
k  L∈Π
γW C(1+ L)−1
W Q L(1+ L)−1
∞
=
min
K∈Π
γW C(1+ P K)−1
W Q P K(1+ P K)−1
∞
<1(14)
且
L∗(s)= P(s) K∗(s)(15)
其中, L∗(s)和 K∗(s)分别是式(11)和式(13)的最优解.
同定理1的证明类似，引理1容易得证.这里不再赘述.
定理1和引理1提供了用普通的H∞标准控制问题的框架设计干扰观测器Q-滤波器的重要的依据.式(12)是一般H∞混合灵敏度问题，且能采用H∞标准问题的求解方法求其优化解. K∗(s)的阶次不超过标准问题的广义受控对象的阶次，即加权函数的阶次和虚拟受控对象 P(s)的和，而且最优开环传递函数 L∗(s)的阶次等于 K∗(s)，因为 P(s)的所有极点被 K∗(s)的零点对消.因 K∗(s)的真性且 L∗(s)满足相对阶次条件 L∗(s)∈Ω
k
，因此,Q∗(s)满足相对阶次条件Q∗(s)∈Ωk.
2.2最优Q-滤波器的求解流程
依据上述内容，可建立干扰观测器低通滤波器设计的一般步骤.
步骤1.给定加权函数和相对阶次条件k(注意: Q∗(s)的整体阶次取决于加权函数的阶次和在 P(s)中反映的相对阶次);
步骤2.任意选取满足假设1的虚拟受控对象 P(s)(相对阶次条件k在此反映);
步骤3.按照H∞标准问题的求解框架，求式(13)的最优解 K∗(s);
步骤4.按式(15)求最优开环传递函数 L∗(s)，然后再按式(10)求最优Q-滤波器Q∗(s).
值得注意的是Q∗(s)的阶次等于 K∗(s)的阶次，而且 K∗(s)的阶次取决于加权函数的阶次和相对阶次，所以通过加权函数和虚拟受控对象的适当选择，能达到期望的Q∗(s)的整体阶次n.选取步骤1的加权函数时，除应考虑阶次条件之外，还应反映内模阶次条件，这一内容在下节讨论.至于标准问题的求解方法，包括基于代数Riccati方程的状态空间求解法[23]在内，有数种系统性的方法，这里不予详述.
2.3Q-滤波器的伺服条件
无论内模阶次指标q≥0多大，干扰观测器系统对常数干扰就具有消除性能.假如没有给出内模阶次指标，系统可能不会满足常数干扰消除性能即伺服性能，而这是伺服系统最基础的性能要求.在步骤3的标准问题求解过程中，通过自由参数的调整，能实现此要求.
由图1(b)可知，为使系统具有伺服性能须Q(0)=1，即 K∗(s)须有一个以上的积分器，但H∞标准问题的中心解一般没有积分器，可以通过标准问题的参数化解集中的参数调整得到带有积分器的特殊解.下面就这一结果进行讨论.
定理2.假定¯σ(W C(0))<∞(这意味着没有提出内模阶次设计指标).在标准问题的框架内求解满足H∞范数优化性能指标式(7)的低通滤波器Q(s)时，满足伺服条件Q(0)=1的解存在于解集中的必要条件是W Q(s)满足¯σ(W Q(0))<1.
证明.设Q(s)由标准问题的解 K∗(s)和式(10)、式(12)构成，则为使

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