关于鲁棒控制理论的综述
摘要：首先介绍了鲁棒控制的概念及鲁棒控制理论的发展过程，叙述鲁棒控制理论中的3种主要研究方法——Kharitonov区间理论、结构奇异值理论(理论) 和控制理论，最后指出了鲁棒控制尚未解决的问题和研究热点.
关键词：鲁棒控制，Kharitonov区间理论， 控制理论，理论
一、引言
鲁棒控制（Robust Control）方面的研究始于20世纪50年代.在过去的20年中，鲁棒控制一直是国际自控界的研究热点.鲁棒性（robustness）就是系统的健壮性.它是在异常和危险情况下系统生存的关键，比如说，计算机软件在输入错误、磁盘故障、网络过载或有意攻击情况下，能不死机、不崩溃，就是该软件的鲁棒性正则化项鲁棒性.所谓“鲁棒性”，是指控制系统在一定（结构、大小）的参数摄动下，维持某些性能的特性.根据对性能的不同定义，可分为稳定鲁棒性和性能鲁棒性.以闭环系统的鲁棒性作为目标设计得到的固定控制器称为鲁棒控制器.
鲁棒控制是一个着重控制算法可靠性研究的控制器设计方法.鲁棒性一般定义为在实际环境中
为保证安全要求控制系统最小必须满足的要求.一旦设计好这个控制器，它的参数不能改变而且控制性能保证.一般鲁棒控制系统的设计是以一些最差的情况为基础，因此一般系统并不工作在最优状态，常用的设计方法有：INA方法，同时镇定，完整性控制器设计，鲁棒控制，鲁棒PID控制以及鲁棒极点配置，鲁棒观测器等.
鲁棒控制方法，是对时间域或频率域来说，一般假设过程动态特性的信息和它的变化范围.一些算法不需要精确的过程模型但需要一些离线辨识.鲁棒控制方法适用于稳定性和可靠性作为首要目标的应用，同时过程的动态特性已知且不确定因素的变化范围可以预估.飞机和空间飞行器的控制是这类系统的例子.过程控制应用中，某些控制系统也可以用鲁棒控制方法设计，特别是对那些比较关键且（1）不确定因素变化范围大；（2）稳定裕度小的对象.但是，鲁棒控制系统的设计要由高级专家完成.一旦设计成功，就不需太多的人工干预.另一方面，如果要升级或作重大调整，系统就要重新设计.
通常，系统的分析方法和控制器的设计大多是基于数学模型而建立的，而且各类方法已经趋于成熟和完善.然而，系统总是存在这样或那样的不确定性.在系统建模时，有时只考虑了工作点附近的情况，造成了数学模型的人为简化；另一方面，执行部件与控制元件存在制造容差，系统运行过程也存在老化、磨损以及环境和运行条件恶化等现象，使得大多数系统存在结构或者参数的不确定性。这样，用精确数学模型对系统的分析结果或设计出来的控制器常常不满足工程要求.近些年来，人们展开了对不确定系统鲁棒控制问题的研究，并取得了一系列研究成果.鲁棒控制理论和分析理论则是当前控制工程中最活跃的研究领域之一，多年来一直备受控制研究工作者的青睐.作者通过系统地研究线性不确定系统、时间滞后系统、区间系统、离散时间系统的鲁棒稳定性问题，提出了有关系统鲁棒稳定性的分析和设计方法.
二、鲁棒控制理论的发展
    最早给出鲁棒控制问题解的可算是Black在1927年给出的关于真空管放大器的设计，他首次提出采用反馈设计和回路高增益的方法来处理振控管特信各大范围波动.之后，Nyquist频域稳定性准则和Black回路高增益概念共同构成了Bode的经典之著[1]中关于鲁棒控制设计的基础.20世纪60年代之前这段时期可称为经典灵敏度设计时期.此间问题多集中于SISO系统，根据稳定性、灵敏度的降低和噪声等性能准则来进行回路设计.   
20世纪六七十年代中鲁棒控制只是将SISO系统的灵敏度分析结果向MIMO进行了初步的推广[2],被普遍称为灵敏度设计问题，包括跟踪灵敏度、性能灵敏度和特征值/特征向量灵敏度等的设计.
20世纪80年代，鲁棒设计进入了新的发展时期.此间研究的目的已是寻求适应大范围不确定性分析的理论和方法.
在研究鲁棒多变量控制的过程中，先后出现了参数空间法、Kharitonov区间理论、状态空间法、控制理论以及结构奇异值理论 理论[3].下面主要介绍其中三种理论：
1、Kharitonov区间理论
1.1  参数不确定性系统的研究概况
对参数不确定性系统的研究源于20世纪20年代.Black采用大回路增益的反馈控制技术[4]来抑制真空管放大器中存在的严重不确定性，由于采用大回路增益,所以设计的系统常常不稳定；1932年,Nyquist给出了判断系统稳定性的频域判据[5],在控制系统设计时,用来在系统稳定性和回路增益之间进行折衷；1945年,Bode首次提出灵敏度函数的概念[1],对系统的参数不确定
性进行定量的描述.在此基础上,Horowitz在1962年提出一种参数不灵敏系统的频域设计方法，此后,基于灵敏度分析的方法成为控制理论中对付系统参数不确定性的主要工具.不过,这种方法是基于无穷小分析的,在实际系统的设计中并不总是能收到良好效果.因为系统的参数不确定性通并不能看作无穷小扰动；另外,灵敏度分析法一般要求知道对象的标称值,这在实际中往往也难以做到.于是,人们开始研究用有界扰动来刻画参数的不确定性,出现了鲁棒辨识方法.此法给出的辨识结果不是一个确定值,而是参数空间中的一个域(如超矩形、凸多面体、椭球等).相应地,不确定系统的参数空间设计方法也得到广泛而深入的研究.1984年,Barmish将前苏联学者Kharitonov的区间多项式鲁棒稳定性的著名结果——四多项式定理.引入控制界,掀起了在参数空间中研究系统鲁棒性的热潮.
1.2　关于区间多项式的几个重要定理
参数摄动通常表现为独立摄动、线性相关摄动和多线性相关摄动3种模式.判断在相应的参数摄动模式下系统鲁棒稳定性的主要定理分别是:四多项式定理[6]、棱边定理[7]和映射定理[8].
2、结构奇异值理论（理论）
2. 1　结构奇异值理论的产生和L定义
当系统中的不确定性可以用一个范数有界的摄动块来刻画时,系统对确定性的最大容限(鲁棒性)可以用小增益定理来描述.若只考虑定的传递函数和稳定摄动时,小增益定理用矩阵奇异值给出的系统鲁棒性估计是无保守性的.但在许多实际问题中,仅用一个范数有界的摄动块来刻画系统的未建模动态是不够精细的.因为我们常常可以获得未建模动态中的部分内部结构信息,若此时仍用小增益定理来估计系统的鲁棒性,所得结论的保守性可能会很大.于是Doyle于1982年首次提出了结构奇异值——SSV(Structured Singular Value)的概念,再经Doyle自己及Packard等的进一步研究及整理便上升为研究动态不确定性鲁棒控制的结构奇异值理论(亦称L理论).这一理论的基本思想是:将一个具有回路多点独立的有界范数摄动化为块对角摄动结构,然后给出判断系统鲁棒稳定的充要条件.这一理论同时兼顾了系统的稳定鲁棒性和性能鲁棒性,是鲁棒控制理论中的一个重要分支.
2. 2　几个重要定理及L综合
小L定理、主环定理和L综合问题.L综合的任务就是寻正则控制器K，使得等式得到满足.著名的L综合算法是Doyle在1985年提出的K-D迭代算法,它将L综合问题转化为标准的优化问题及标准的凸优化问题.
2. 3　混合L问题
求取相应系统的结构奇异值就是所谓的混合L问题.对于混合L,似乎可以将其中的实参数摄动当作复摄动来处理,但具体数值计算表明:随着系统中实参数数目的增多,复L与混合L之间的比值可以任意大.因此,必须采取新的方法来求解混合L问题。Doyle于1985年首先用L方法考虑了实参数不确定性问题，到了计算混合L上界的有效方法；田玉平、冯纯伯将Popov判据进行推广,来判断系统的鲁棒绝对稳定性，并利用Popov乘子的思想和回路变换的方法来研究混合L的上界问题.另外,混合L的上界问题可以转化成LMI的求解问题.
2. 4　回路成形法(Loop Shaping)
回路成形法也是一种处理动态不确定性的有效方法.其基本思想是:通过选择权函数来改善开环奇异值频率特性,以实现系统的闭环性能,并在鲁棒性能指标和鲁棒稳定性之间进行折衷.在因此,回路成形控制器的设计就是要寻一个正则控制器K，使L满足低频高增益,高频低增益.McFarlane等在1992年给出了具体的设计步骤.
3　控制的发展概况
控制界将鲁棒控制理论的发展过程分为两大阶段,分别以Zames和Doyle等发表的两篇著名论文为标志.前一阶段的理论被称为经典鲁棒控制理论,后一阶段的理论被称为状态空间鲁棒控制理论[9].有人将控制理论的发展大致分为3个时期:酝酿诞生期、发展完善期和推广应用期.
3. 1　酝酿诞生期(1981年～1984年)
20世纪60年代发展起来的LQG(线性二次高斯型)反馈设计(H2控制)方法在许多实际控制系统的设计中没能获得较好的应用,因它忽略了对象的不确定性并对系统所存在的干扰信号作了苛刻要求.针对LQG对干扰信号所作的不合理限制,Zames于1981年在文中提出了著名的鲁棒控制思想:对于一个属于有限能量的信号集的干扰信号,设计一个控制器,使得闭环系统稳定且干扰对系统期望输出影响最小.文的发表标志着鲁棒控制理论的诞生。在这一时期, 控制理论主要使用逼近方法和插值方法。前者使用Nevanlinna-Pick插值理论及矩阵形式的Sarason理论,后者借助于AAK理论.Doyle等对当时的控制进行了总结,形成了“1984年方法”.其基本思路是:通过稳定化控制器的Youla参数,将在控制器集合中寻求使传递函数矩阵的范数最小化问题变换成模型匹配和广义距离问题,然后再将其变换为Nehari问题来求解.求解过程涉及到Youla参数化、内外分解、谱分解及最佳Hankel逼近等运算.计算量相当大,且每步都要增加状态.为保持系统兼有鲁棒稳定性和良好性能, 控制优化设计问题由灵敏度极小化问题发展为混合灵敏度优化问题；采用Kwakernaak多项式方法可将该问题转化为多项式方程或矩阵方程的求解问题.
3．2　发展完善期(1985年～1988年)
在这一时期, 控制理论取得了突破性进展.Francis和Doyle对当时的H∞控制的发展状况作了详尽的总结,并着重介绍了逼近方法.Ball和Cohen将Ball和Helton的几何理论进行简化,把控制的求解问题化为谱和J-谱的分解问题,从而获得3个Riccati方程.此方法对后来的J-谱分解法、(J，J′)无损分解法的形成和完善起了重要作用,并沟通了它与插值方法,多项式方法之间的联系.Kimura采用方向性插值解决了2块问题,提出了“共轭化”(conjugation)概念,创立了(J，J′)无损分解方法.Limebeer等对2块问题的控制器阶次的上界进行了研究,提出可得到状态数不超过广义对象阶次的控制器.为了分析含有不确定性系统的鲁棒稳定性问题,Khargonekar等创立了控制的代数Riccati方程解法(ARE),研究了状态反馈控制问题,建立了控制和二次镇定、线性二次微分对策之间的联系,这对后来的微分对策方法的产生和发展起到了促进作用.在这一时期,最具有突破性的成果是Doyle等人在著名的“DGKF论文”中提出的“2-Riccati方程”解法,它标志着控制理论的成熟。这一解法表明:对于标准的控制问题求解,只需求解两个非耦合的代数Riccati方程便可获得阶次不超过广义对象的McMillan阶次的控制器.他们进一步给出更简单的控制器的求解方法,指出状态反馈控制问题可通过求解一个代数Riccati方程来获得.到此, 控制问题在概念和算法上均被大大简化,再加上含有上述解法的软件包,如Xmath，Matrix和Robust-control-box等的出现,使得控制理论成为真正实用的工程设计理论.
3．3　推广应用期(1989年～今)
在这一时期, 控制理论向着实用化的方向发展.Green等发展了Ball和Cohen的工作,将控制问题转化为2个J-谱分解问题,并给出了系统的解法.Glover等采用扩展(Dilation)和全通嵌入方法讨论了广义距离问题；不过,推导过程比较复杂.Kwakernaak的多项式方法也得到了发展,将控制转化为对一有理多项式函数分子和分母的2个J-谱分解.1988年之后,开始出现控制的纯时域解法.主要有微分对策方法和极大值原理方法.这两种方法不仅可以解决线性时不变系统的控制问题,还可以用来处理时变系统、分布参数系统、非线性系统及奇异摄动系统等的控制问题.多目标优化问题也受到人们的关注.从Khargonekar和Rotea,Bernstein和Haddad及Glover和Mustafa(极小熵控制)在这方面的工作便可窥见一斑.在这一时期前后,还出现了其它一些控制算法,如Whittle的临界敏感控制,Green的J无损分解,Dym等的最大熵方法及Georgiou的Gap度量等.时也出现了一些关于控制理论在应用方面的报导.众多的研究方法及在一些工程领域方面的应用都意味着控制理论的进一步完善和成熟.

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