第33卷第11期2016年11月
计算机应用与软件
Computer Applications and Software
VoL33 No.11
Nov.2016步长自适应的前向后向匹配追踪算法
张松江周密张传林
(暨南大学信息科学技术学院广东广州510000)
摘要稀疏度自适应的匹配追踪算法（S A M P)是基于压缩感知理论的信号重建经典算法。针对稀疏度未知的信号重建，提出步长自适应的前向后向匹配追踪（A F B M P)算法，A F B M P算法在稀疏度自适应匹配追踪算法的框架下，前向搜索过程中采用对数型 自适应变化的步长选择匹配原子，然后通过后向策略修正前向阶段造成的错误，删除支撑集中的部分错误原子，最终实现信号的精 确逼近。实验表明A F^B M P算法比S A M P算法能够更加高效地重建稀疏度未知的信号。
关键词 压缩感知重构前向后向稀疏度自适应匹配追踪算法
中图分类号 T P391.9文献标识码 A D O I：10. 3969/j. issn. 1000-386x. 2016.11.057
ADAPTIVE STEPSIZE FORWARD-BACKWARD MATCHING PURSUIT ALGORITHM
Zhang Songjiang Zhou Mi Zhang Chuanlin
(School of Information and Science Technology, Jinan University, Guangzhou 510000, Guangdong,China)
Abstract Sparsity adaptive matching pursuit algorithm (S A M P)is a classical algorithm of signal reconstruction based o n compressed sensing theory. A i m i n g at reconstructing signals with u n k n o w n sparsity, w e presented a n adaptive stepsize forward-backward matching pursuit algorithm (A F B M P).In the framework of S A M P,A F B M P selects matching atoms in its forward search process b y using logarithmic adaptive changing steps, a n d then a m e n d s the mistakes caused in forward stage b y b a c k w a r d strategy to delete part of the false atoms in support set, a n d finally realises accurate signal approaching. Experiments s h o w that the A F B M P algorithm c a n reconstruct the signals with u n k n o w n sparsity m o r e efficiently than S A M P algorithm.
Keywords C o m p r e s s e d sensing Reconstruction F o rward-backward Sparsity adaptive Matching pursuit algorithm
〇引言
随着科学技术的飞速发展，在信号的采样和处理过程中，利 用信号的带宽来表示信号已不能满足现实的需要，因为随着信 号携带的信息量逐渐增加，采样速度和处理速度就会变得越来 越慢，同时这些数据的存储问题也是不容忽视的。虽然人们采 用一种压缩的方式来表示信号，但是这种方式会导致大量的信 息资源被抛弃，所以采用带宽来表示信号的信息是不合理的。而信号的稀疏性是近几年信号处理领域的新宠，它可以更加本 质地表示信号，因此基于信号的稀疏性提出的压缩感知理论得 到了广泛的认可。
压缩感知理论（c s)[1’2]作为一种全新的采样理论，利用随 机采样获取信号的离散样本，然后通过非线性重建算法对信号 进行重建。该理论指出：如果信号在某个变换域上是稀疏的或 者认为是可以压缩的，那就可以通过一个新的观测矩阵将高维 的信号映射到一个低维空间中，这样就可以将问题转化为最优 化问题，进而重构出原始信号。该理论通过稀疏性以及等距约 束准则来完成高速率的采样，又包含了大量的重要信息。压缩 感知理论因为可以同时完成数据的采集和压缩，大大节约了时 间和资源，所以得到了广泛的应用。
虽然压缩感知理论可以大大降低采样和计算的成本，但是 如何设计出一种快速的鲁棒的重建算法是该理论的核心问题。随着对C S理论研究的不断深人，为了通过低维数据来实现对 原始信号的重构，近年来越来越多的重构算法被提出。目前贪 婪迭代算法是学者们研究最多的算法，这种算法重构精度高、计
算量小并且易于实现。比如Mallat等人采用正交策略提出了正 交匹配追踪算法（〇M P)[4'5]、N eedell又在正交匹配追踪算法放 人基础上加人正则化思想，提出正则化正交匹配追踪算法(R O M P)[6]、T r〇PP根据随机测量矩阵思提出了压缩采样匹配追 踪算法（C oSaMP)[7]、D m借鉴回溯序贯编码理论，提出了子空 间追踪算法（S P)[8]以及Donoho等人考虑稀疏度未知的情况，打破传统局限，提出了 一种稀疏度自适应的匹配追踪算法(S A M P)[9〜]。贪婪迭代算法因其重建速度快和精度高而得到 广泛应用，然而大部分贪婪算法都是通过已知稀疏度来控制算 法重建的迭代次数，而在实际问题中，稀疏度不一定是已知的，并且当稀疏度固定时也可能会对重构精度造成影响。
S A M P算法突破了传统的匹配算法要以稀疏度已知为前提 的限制，解决了在稀疏度未知的条件下的重建问题。S A M P算 法的重建速度主要取决于固定步长的选择，虽然在重构精度上 有了一定的提高，但是依然不能得到满意的效果。另外根据该 算法的迭代机制，每次迭代过程中都会增加支撑集中的原子个 数，这样就会有越来越多的原子被加人到支撑集中，而又无法删
收稿日期:2015 -09 -15。张松江，硕士，主研领域：图像处理。周密，硕士。张传林，教授。
第11期张松江等：步长自适应的前向后向匹配追踪算法245
除支撑集中部分错误原子，所以该算法有一定的局限性。为了 解决这一问题，有学者提出了 M S A M P算法[11]，该算法在S A M P 算法的框架下通过原子匹配估计稀疏度，然后利用阶段步长来 实现对原始
信号的估计，但这种算法在同一阶段的步长依然是 一个固定值，因此重构精度很大程度上依赖于每个阶段步长的 选择。而L S A M P算法[12]则是在不同的阶段采用了对数型变化 的步长，该算法在采样率较低时重构效果依然很好。但是这些 算法本质上都属于前向贪婪算法，前向算法最大的缺点就是不 能修改前一步迭代造成的错误，原子一旦被选入支撑集便无法 删除。例如图1所示，假设特征向量％是由观测矩阵中的向量 %、％构成，然而观测矩阵中另外一个向量％比其他两个向量 更接近特征向量％，这样当采用像〇M P、S A M P这类前向贪婪算 法时首先会选择，之后才会选择叫、《2，并且这类算法还不能 删除a3，这样的结果并不是我们想要的。事实上，只有在观测 矩阵中的向量不相关时前向贪婪算法才比较适用。
图1特征向量图示
考虑到前向贪婪算法的缺点，很容易想到利用后向贪婪算 法来进行改善。后向贪婪算法首先选择全部原子，然后逐一删 除使重建误差最小的原子。这种算法虽然不会陷入局部最优问 题，但是其计算代价非常高，因为一般情况下观测矩阵中M <<#，删除任何一个原子所产生的效果是微乎其微的。因此结合前向后向算法的优缺点，本文提出一种步长自适应的前 向后向匹配追踪算法，采用改进的对数型自适应的步长前向选 择匹配原子，然后再进行后向策略，对前向过程中选择的部分错 误原子进行逐一检查，使得重建效果得到改善。
目前压缩感知理论在很多方面得到了应用，比如：吴延海提 出了基于改进S P算法的压缩感知图像重构[13]，廖斌提出了一 种基于压缩感知的盲数字水印算法[14]，李秀霞提出了基于压缩 感知的合成孔径雷达图像目标识别[15]等。越来越多的学者们 将压缩感知利用到人脸识别、医学C T图像重建、语音识别、卫 星遥感图像融合、无线传感器网络、探地雷达成像中。因此对压 缩感知理论的进一步研究就变得十分有意义。
1压缩感知理论以及重构算法
假设％为长度为#的原始稀疏信号，即％的稀疏度为心[<<t然后利用一个与正交基0不相关的测量矩阵少^ (M < A〇对信号％进行压缩采样得到测量向量y，即y =
为M x1的向量，K < M < #。这样就将信号％从W维降到M维，同时又能保留其中重要的信息。
通常采用求解以下最优化问题来从测量信号7中重建出信 号。
m i n ||^ ||〇s. t.y - (px(1)对于式（1)求最优解问题是N P难题[16_18]，而最小化Z2范 数问题又不能保证解的稀疏性。但是C a n d e s等人指出，如果％ 足够稀疏，少满足约束等距条件R I P(Restricted Isometry Proper­ty)[19]时：
(1 |U||^||fe ||^ (1 |U||^(2)
其中，心e (0，1)表示K稀疏度下的约束等距常数，此时就可以 将问题转化为求解^范数最小化：
min || ^ || !s.t.y - 0x(3)通过利用匹配追踪算法就可以进行对式（3)的近似求解。O M P算法、R O M P算法等都是在给定稀疏度的基础上进行的重 构，然而在实际应用中，信号的稀疏度K往往是未知的，这在一 定程度上给信号的重构带来了挑战，于是T k m g T.D o等人为了 解决这一问题，提出了稀疏度自适应的匹配追踪算法，将信号重 构问题转化为分阶段处理的过程，打破了传统的稀疏度已知的 限制。之后更多学者专注于对S A M P算法的改进，比如变步长 的M S A M P算法和对数型变步长的L S A M P算法。这些算法很 好地解决了步长固定问题，重构效果也得到了很大的改善。
2 SAMP算法及其改进
S A M P算法实现了在稀疏度未知的情况下对信号的重构。该算法首先选取步长然后计算余量r和观测矩阵^的内积，其中A表示观测矩阵的每一列，根据内积值，选取个最
大的相关系数，将这些系数所对应的原子加入到索引集中。接着 合并上一阶段产生的支撑集得到候选集，再进行一次余量与候 选集的内积，同样选取士e个相关系数最大的原子作为支撑集 F。此时更新余量^如果当前余量小于迭代前的余量，则继续迭 代，否则进入下一阶段，根据步长更新支撑集容量= hze X 重复上述步骤，直到余量r小于某个阈值停止迭代。
具体算法如下：
(1)余量r = y，支撑集长度s i ze = 阶段Mage = 1，支撑
集^ = 0 ;
(2)计算余量r和^内积的绝对值，从中选取i e个最值对应的索引值得到索引集S;
(3)将索引集与上一阶段的支撑集进行合并，得到候选
C = F U S，再计算候选集与余量的内积，并提取size个最大值，将其相对应的原子加入到支撑集。6W ;
(4)更新余量 rn e w= y -少;
(5)若|| 2 >|卜|| 2，则进行下一迭代阶段，咖"= Wage + 1，利用初始步长更新支撑集容量s ize = Mage返回
步骤(2)继续迭代；否则更新支撑集和余量F = ，此
时迭代次数& = ^ + 1，返回步骤(2)继续迭代。
从上述算法中可以看到各个迭代阶段步长M e p的取值是一 个常数，步长的选择关系到支撑集的容量，因此该算法的重构精 度与该步长选择有很大的关系。但是该算法的最大缺点就是不 能后向删除部分错
误原子，在原子的原子过程中很有可能会产 生一些错误的、冗余的原子，如果没有办法进行二次修正，不仅 会影响算法的时间，也会影响算法的精度。因此本文结合以上 算法的优点，针对不能后向删除错误原子提出了利用对数型自 适应变化步长的前向后向算法来实现信号的重建。
3步长自适应的前向后向匹配追踪算法
S A M P算法虽然突破了在传统匹配算法中对稀疏度的限制，但是通过相关实验表明，为了加快重构速度，初始步长
取较大值时，算法只需要很少的迭代次数，但是算法的效率就会 很低。如果想保证算法的重构精度，取很小的值时，
迭代次
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(12) ; = argmin .eF ^(F /〇 ；(13) d ~ = q (F /j ) -q (F )；(14) d + = s 3 ;(15)
如果f  < d +，则删除索引值为/的原子，更新支撑
F ，返回步骤（11)，直到『> ^ ;
算法第2 - 10步是前向选择匹配原子，而第11 - 15步则是 后向删除错误原子。后向阶段采用逐一对支撑集中的原子进行 测试。首先选择使余量变化最小的原子，如果余量变化量小于 阈值A ，则删除此原子，继续对其他原子进行测试，直到余量变 化量超出设定的阈值A ，就停止算法。这种算法有两个优点:
第一是采用改进的对数型自适应的步长可以缓解S A M P 、 M S A M P 算法性能对初始步长的依赖，避免产生过估计或者欠估
计问题；第二是采用后向删除原子策略可以修正前向阶段所造
成的错误，有效防止产生过多的错误向量。A F B M P 算法与传统 的S A M P 算法相比，在初始迭代阶段A F B M P 算法采取的初始迭 M
代步长为:
，而S A M P 算法的初始步长为常数，并且小2 • log2^V
于本文算法的步长，因此在算法复杂度上得到了改进，可以更加 快速地逼近稀疏度；另一方面，虽然算法加入了后向删除的策 略，但是总的运算时间并没有因此而变长，并且也使重构精度有
所提高。该算法是在S A M P 算法的框架下进行的改进，因此具 有可实现性。
4
实验与分析
实验一
为了验证本文算法的有效性，通过M
A T L A B
处理平台对该
算法进行了验证。实验一中采用长度为# = 256的一维高斯稀 疏信号，观测矩阵为部分快速傅里叶变换矩阵（F F T )。阈值设 置为= e _6，迭代停止条件阈值£r2 = e _12，£r3 = e_14 ◦在实验 一中比较了 S
A M P
算法、M S
A M P
算法、L S
A M P
算法和A F B M P
算法在不同采样率下的重构效果。实验中除本文算法以外其他
算法的参数均按照原参考文献中设置。实验表明该算法的重构
正则化正交匹配追踪
效果很好，相对误差非常小，能够很好地对原始信号进行重建，
在理论上说明了新算法的有效性。
图2是S A M P 、M S A M P 算法、L S A M P 算法与A F B M P 算法在 不同采样率下重构信号信噪比的比较。其中横坐标表示采样
率，纵坐标为信噪比，实验结果显示，该算法在前向阶段通过采 用对数型变化的步长选取匹配原子，后向阶段删除错误原子，使
得该算法的性能得到了明显的提升，A F B M P 算法提高了对原始 信号的重构精度。
图2
不同采样率下重构信号的信噪比
图3比较了四种算法在不同采样率下的重构相对误差。实
数就会大大增加。另外传统的算法在选择原子过程中支撑集的 容量是不断增加的，但是又无法删除那些错误的或者冗余的原 子。因此选取合适的步长和利用后向策略来对算法进行修正是
提高算法性能的关键。根据文献[12]结合对数函数的性质，在
S A M P 算法的框架下，
提出了步长自适应变化的前向后向匹配 算法。该算法首先进行前向选择匹配原子，然后进行向后剔除 部分错误原子[2()]，在确保重建精度的情况下，弥补了前向贪婪 算法自身的缺点。接下来将从两个方面对新算法进行具体描 述：步长选择和算法描述。
3.1步长选择
根据相邻迭代阶段重建信号差的变化规律，设置两个阈值
>«?2)，当
I I  >^i 时，选取一个较大的步长，
实现快速逼近；当A  < I I  < ^时，选取较小的步长，
以实现逐渐逼近，此时步长变为上阶段步长的一半；当I I ' -I I  < &时说明相邻阶段的能量差变化趋于平稳，则停止
迭代。
设步长为：
step (s )
= a \og2s  + b  (4)
其中s 表示算法迭代的阶段数，当s  = 1时，令初始步长为
c  • M
step ( 1)  2 • l 〇g2^V
step (s )
，求解式(4)，得到步长函数：
N
M
2 • log2^V
l 〇
g 2M
\og2stage    2 • log2^V
而当采取缓慢逼近策略时就选取前一阶段步长的一半，即:
1「yy  _ c  * M
step (s )
=
2 • log 2^log2<s  + ；
M
(5)
(6
)
\og2stage    2 • log ，」
这里的步长均向上取为正整数，〇 1的正整数，M 、W 分别表示 观测信号和待估信号的长度。
3.2算法描述
(1) 初始化稀疏度：余量r  = y ，支撑集F ，支撑集长度i e  =*/>，阶段对age  = 1，迭代次数£ = 1，索引值集合S  = 0，候选
集 C  = 0 ;
(2) 计算相关系数，从中提取i e 个最大值对应的索引值 放入到集合S 中；
(3)
合并索引集S 与支撑集F ，得到候选集C  = F  U  S ，再计 算候选集中索引值对应的原子与余量的内积，并提取士e 个最 大值对应的索引值得到新的支撑集F ;
(4) 由最小二乘得到' =argmin  ||
|| 2，更新余量
rt  = r  -
;
(5) 如果
>6^则转步骤(6)，否则转步骤(8);(6) 如果|| > ||
||则转入步骤(7)，否则转入步骤
(9);
(7)
进入下一阶段age  = Mage  + 1，利用式(5)求出新步
长对叩，扩大支撑集大小s i ze  = size  +
=
£ + 1，返回步骤
(2);
(8) 如果||' - “ || < ~则停止迭代，否则转入步骤
(1〇);
(9) 更新支撑集和余量返回步骤(2)继续迭代；
(10) 进入小步长阶段，Mage  = Mage  + 1，利用式(6)求出新步长Me /)，扩大支撑集大小s i ze  = size  = £ + 1，返回步
骤⑵；
(11) q (F ) = (1/2) \\j -0Fx t  ||^
;
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验发现，S A M P算法在不同采样率下的重构误差相对很高，而
M S A M P算法和L S A M P算法是对原来算法的改进在一定程度上
均降低了重构的相对误差，而A F B M P算法结合了前面几种算
法的优点，使得重构相对误差变得更低。我们发现，在相同采样
率下，A F B M P算法比其他三种算法的相对误差低很多，因此该
算法充分保证了对稀疏信号的重构精度，同时也证明了该算法
的有效性。
图3 ：不词采样率下几种算法的相对汉羌
实验二
为了更为充分地说明新算法在实际问题中的应用，本文实 验二对大小为256 x256的图像进行实验。阈值设置为^ = ，，迭代停止条件阈值& = r12，^=。将本文算法和经 典SAM P算法、MSAMP算法对三组测试图像进行比较。图4表 明，改进的SA M P算法重构效果均好于经典SA M P算法，而
AFBM P算法的重构效果也明显好于其他算法，同时也证实了本
文算法的实用价值。
原始图像SAMP
MSAMP AFBMP
(测试图一)
原始图像SAMP
MSAMP AFBMP
(测试图二）
图4二维图像重迚效來
表1是这三组测试图进行重构的运行时间，从上节的实验 可知不同的采样率下对算法性能的影响很大，因此采样率为〇.5 的情况下重构时间如表1所示。
表1不同图像不同算法的重构时间
S A M P M S A M P A F B M P 测试图155.33856.17354.568
测试图254.38953.52254.095
测试图354.28553.77154.116
通过表1可以看出在相同的采样率下，对于不同的图像，各 种算法的重构时间也有所不同，而AFBM P算法的重构时间略 低于传统的SAM P算法，进一步说明了本文算法在运行时间上 有一定的优势。
5结语
本文深入研究了压缩感知理论的经典算法，在稀疏度未知 的情况下结合SAM P算法，提出了一种对数型自适应步长的前 向后向匹配算法e SAM P算法在迭代过程中固定步长可能会导 致过估计或者欠估计的
问题，并且迭代结束之后不能删除某些 冗余原子和错误原子。针对这两个问题，在SAM P算法框架基 础上，前向迭代过程中采用改进的对数型可变化的步长选取匹 配原子，而向后阶段逐一测试支撑集中的每一个原子，删除前向 阶段所产生的错误原子，通过设置双阈值来控制步长选择和停 止准则，分段逐步实现对稀疏度的逼近，最终实现信号的精确重 构。实验结果表明，新算法可以较好地实现未知稀疏度信号的 重建，且重建性能明显优于SAM P算法。
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(上接第229页）
4
结语
本文在基本鱼算法的基础上引入递减指数A 和迭代阈值
K ，对觅食行为的视野设置递减反馈策略：为了保证算法的寻优
速度，视野初值设置为较大值；为了提高计算精度，视野在优化 过程前期随迭代次数递减；为了避免陷
入局部极值，在优化过程 后期设置反馈策略，视野根据反馈信息适时变化。通过对五个
具有代表性的T S P 实例进行仿真实验，并与基本鱼算法以及 其他文献改进算法结果对比分析，寻优过程和仿真结果表明：本 文提出的改进鱼算法在搜优精度、收敛速度、稳定性等方面有 明显优势。最后将其应用于求解最短遍历路径问题。然而改进 算法的视野最优参数集直接影响算法性能，本文选取的参数只 是在有限次实验对比过程中相对最优，所以亟需进一步研究最 优视野参数集选取的合理方法。
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图13图12
的局部放大图

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