压缩感知理论研究简述
１　引⾔
传统⽅式下的信号处理，依照Shannon/Nyquist采样理论采样会产⽣⼤量的采样数据，需要先获取整个信号再进⾏压缩[20]，即采样后⼤部分采样数据将会被抛弃，这就极⼤地增加了存储和传输的代价。由于带宽的限制，许多信号只包含少量的重要频率的信息，所以⼤部分信号是稀疏的或可压缩的，对于这种类型的信号，我们知道，传统⽅式采样后的多数数据都会被抛弃，那么，为什么还要获取全部数据呢？难道不能直接获取已压缩数据⽽不需要抛弃任何数据？由Candes和Donoho 等⼈于2004 年提出压缩感知（Compressive Sensing或Co mp r e ssed S e n si n g、Co m p r es sed Sampling, CS）理论[1-6]。该理论可以理解为将模拟数据节约地转换成压缩数字形式，避免了资源浪费。即，在采样信号的同时就对数据进⾏适当的压缩，相当于在采样过程中寻最少的系数来表⽰
信号，并能⽤适当的重构算法从压缩数
据中恢复出原始信号。压缩感知的主要
⽬标是从少量的⾮适应线性测量中精确有
效地重建信号。核⼼概念在于试图从原
理上降低对⼀个信号进⾏测量的成本。
压缩感知包含了许多重要的数学理论，
具有⼴泛的应⽤前景，最近⼏年引起⼴
泛关注，得到了蓬勃的发展。
２　ＣＳ理论模型及主要算法
压缩感知(CS)，也被称为压缩传感
或压缩采样，是⼀种利⽤稀疏的或可压缩
的信号进⾏信号重建的技术。或者可以说
是信号在采样的同时被压缩，从⽽在很⼤
程度上降低了采样率。压缩感知跳过了采
集N个样本这⼀步骤，直接获得压缩的信
号的表⽰[2][4]。CS理论利⽤到了许多⾃然
信号在特定的基Ψ上具有紧凑的表⽰，即
这些信号是“稀疏”的或“可压缩”的。
CS理论主要包括三部分：⼀是信号
的稀疏表⽰，⼆是设计测量矩阵，要在
降低维数的同时保证原始信号x 的信息损
失最⼩；三是设计信号恢复算法，利⽤
M个观测值⽆失真地恢复出长度为N的原
始信号。
2.1 信号稀疏表⽰
具体地，信号通常会在⼀组
基上展开为S-
稀疏的表⽰，集合
只有个⾮零元素。信号x
可以表⽰为
(1)
其中，s是N×1列向量，加权系数
，为转置变
换。
信号的稀疏表⽰就是将信号x投影到
正交变换基Ψ时，绝⼤部分变换系数的绝对值很⼩，所得到的变换向量S=ΨT x是稀疏的或者近似稀疏的[4]。如果变换系数s
i
的⽀撑域的势⼩于等于K，
则信号x是K-项稀疏的[1]。
2.2 测量矩阵设计
CS
的测量过程可表⽰为：
其中，，是M×1观
测向量y 中的量，是M×N矩
阵Φ的⾏向量，Θ=ΦΨ是M×N矩阵，
Φ称为测量矩阵或传感矩阵[9][10]。测量过程是⾮⾃适应的，即，Φ⽆需根据信号x
⽽变化, 观测的不再是信号的点采样⽽是信号[11,12]，要求测量矩阵Φ必须服从“有
限等距性质（RIP）”。此条件说明了测量矩阵Φ和稀疏表⽰的基Ψ不相关，即要求Φ的⾏φ
i
不能由Ψ的列ψ
i
稀疏表⽰，且
Ψ的列ψ
i
不能由Φ的⾏φ
i
稀疏表⽰。
随机⾼斯矩阵与⼤多数固定正交基构
成的矩阵不相关，这⼀特性决定了选择由⾼斯随机变量形成的测量矩阵为普适的CS 测量矩阵，但是，它在硬件实现和重建
算法构造上却难以实⽤。相对⾼斯矩阵
等硬件上较难实现的其他随机矩阵形式，伯努利分布的±1矩阵成为构建硬件可实
现的压缩感知⽅式的⼀个前提。
从CS的整个过程来看，选择合适的
测量矩阵，可以达到压缩的⽬的，能够精确地重构信号。在CS理论中，对测量矩阵的约束是⽐较宽松的，测量矩阵所必需满⾜的⼀些具体条件请参阅⽂献[6]。
2.3 信号恢复主要算法
稀疏恢复算法是从少量的⾮⾃适应线
压缩感知理论研究简述
任肖丽１　２
１，⼴东海洋⼤学信息学院　５２４０８８；
ＤＯＩ：
１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１－８９７２．２０１０．１３．０１４
性观测中重建稀疏信号。每⼀次测量可
正则化正交匹配追踪被视为信号
与某⽮量φ
i
（或 C N ）的内积。如以此⽅法观测M 次，得到M ×N 维的测量矩阵Φ，其列向量为φi 。则稀疏恢复问题可看成为从

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