第40卷第1期核电子学与探测技术 Vol.40 N o.l 2020 年 1月Nuclear Electronics &Detection Technology Jan.2020
Tikhonov正则化法反解计算Y多层屏蔽厚度陈颖，杨苏，王志慧，张连平，肖洒，何伟波
(中国工程物理研究院材料研究所，四川江油621908)
摘要：基于Tikhonov正则化法，以单层、双层以及三层屏蔽的152E u点源为例，对7多层屏蔽材料厚度进行了反解研究。结果表明：Tikhonov正则化法能够给出比最小二乘法更稳定且可靠的计算结果。相对于线性吸收系数的计算与测量值的偏差，7特征谱线的选取是影响反解结果的主要因素。
关键词：7能谱；多层屏蔽；Tikhonov正则化；反解计算
中图分类号：0571.33 文献标志码：A文章编号：0258 —0934(2020)1 —0151 — 05
7能谱包含了放射源的核素构成、基体M 料构成和结构、出射路径上屏蔽材料组分及几何条件等诸多信息，解析7能谱获取特定对象的结构等信息在军控核査领域的核材料认证方 面有重要应用U]。理论上，针对同一测量系统，如果能够通过两次测量有无外层屏蔽层吸收条 件下的7能谱，通过实验测量或模拟计算获取不同能量的特征谱线对相应屏蔽材料的线性吸 收系数之后，综合选取多条谱线就能够解析出多层屏蔽材料的厚度。然而，在实际应用中，由于可供选择的不同特征谱线之间的能量差异可 能不是很大，屏蔽层
吸收引起的特征峰强度的变化比较小，加上线性吸收系数值的计算偏差带来的扰动，往往会导致解析计算方程组病态，且能峰统计性造成的微扰也会导致方程组的求 解给出不理想的屏蔽层厚度[2_5]。
收稿日期：2019-12-24
基金项目：国家自然科学基金（11605163)、中国工程物理研究院科学技术发展基金（2015B0103014)资助。
作者简介：陈颖（1986—)，女，四川眉山人，副研究员，主要从事核物理测最与技术应用研究。
Tikhonov正则化法是求解不适定问题的最有效和应用最广泛的方法之一基本原理是通过对病态方程施加一个弱平滑度约束，改变方程中矩阵的条件数，减轻方程的病态程度，从一组可接纳的解中挑出方程的近似解。目前，Tikhonov正则化法已成功地用于地球物 理反演、图像恢复、模糊系统识别等领域。本课题将Tikhonov正则化法用于7放射源外 多层屏蔽层厚度的反解研究，以单层、双层以及 三层屏蔽的152E u源为例进行示例性计算，并分 析线性吸收系数的计算、特征峰的选取、测量值 的偏差等因素对反解结果的影响。
1方法原理
正则化是每一层都加还是只加一些层
针对同一测量系统，通过两次测量有无外层屏蔽层吸收条件下的7能谱，可解析式（1)获 取屏蔽层厚度：
151
300
600
900 1200 1500
能 f fl/keV
图1 152Eu  7-谱线在不同材料中的线性吸收系数
为了研究线性吸收系数的计算偏差对
Tikhonov 正则化法的反解结果影响，采用F e 、 Cu、Cd  板分别取 0. 2 cm 、0. 3 cm 、0• 4 cm 、
0.5 c m 时的模拟能谱，根据式（4)计算特征谱 线在各屏蔽材料中的线性吸收系数，与图1所 示的拟合值的相对偏差，如图2所示。式（4)计 算的线性吸收系数（计算值）与拟合结果（拟合 值）相近，相对偏差在5%以下，偏差主要来源 于模拟能谱的统计误差以及数值拟合时引人的 误差，而这也是实际应用中影响线性吸收系数 计算的主要因素。
/u  =ln (J 〇/I ) • t  1
(4)
2.2单层屏蔽层厚度的反解
首先考虑152E u 外存在单层0. 3 c m 厚的
F e 板的简单情况，分析7谱线的选取与线性吸
收系数的计算偏差对反解结果的影响。图3给
式中为线性吸收系数；•61(£;,£)与 B 。％,。分别为有、无外层屏蔽时能量i  E ，的
特^线强度之比，i 为未知的屏蔽层厚度。为 方便讨论，可将式（1)简化为的形式。 通常利用最小二乘法求解，由于A 矩阵的病态 以及测量值B 的误差，其解通常会严重偏离真 实值且不稳定。
Tikhonov 正则化法通过将最小二次计算
转化为求解以下的最小值问题：
m in = || AX  -B  || 2 + A  || X  || 2 (2)
式中：A 为正则参数，当其取零时，正则解回到 最小二乘解。通常采用先验（prior )与后验
(posterior  )策略对正则参数进行选择：当测量
值误差水平已知时，采用先验策略，包括
M orozov 偏差原理和广义偏差原理等；当测M
值误差水平未知时，采用后验策略，包括广义交 叉校验准则（GCV )、L 曲线准则和Tikhonov 拟最优准则等。本课题考虑测M 值误差水平未 知的情况，采用后验策略中的L 曲线准则[14]， 通过如下目标函数最小化来确定正则参数：
/(A ) = || AX  - B  || • I I  X  || = min  (3)
2
结果与讨论
2.1 Fe、C u 、C d 屏蔽材料的线性吸收系数计算
利用MCNP 5软件[15]，对152E u 点源分别 模拟裸源以及源和探测器中间放置已知厚度 (0• 2 cm 、0. 3
cm 、0. 4 cm 、0. 5 cm )的 F e 、Cu 、
C d 屏蔽板时的能峰计数率，保证主要特征峰的
能峰计数率统计偏差小于1%的前提下，拟合 得到了各特征谱线在不同屏蔽材料中的线性吸 收系数，如图1所示。对相同能量的7特征线， 随着屏蔽材料的原子序数增加，线性吸收系数 迅速增大；对同一种屏蔽材料，随着7特征峰能
"1(£))_户1(£,) "2(A )—"2(
(Eg  ) —//! (E * ) f x 2{E
(E 7) —
(E *)
f ) — f i 2{ln (B ,  1 /B 〇(e HEJ  .ln (B U E  £ )/B 〇(j *
g ln(B  1(£^
/B 〇(£
) "3 (E )) —"3 (£",)
E k )
/Li 3(E g ) — ^i 2(E k )
E h )
f ) — f i 3(E h)
_*.v -
)1
,3
(1)
量的增加，线性吸收系数逐渐减小且变化趋于 平缓。考虑到在屏蔽层厚度的反解计算中，期 待屏蔽层吸收对特征谱线强度影响尽量大，特 征谱线选取时，每组特征谱线中至少有一条的 能量应小于400 keV 。
152
24
^(〇.5cm ) 〇 //(0.4cm ) -- ^(〇.3cm ) -/i (0.2cm )
0    2    4    6 8 10
1
：•二二二玉r
夺
-3
Cu
-■〇■-• ju (〇.5cm )
〇 •…/i(0.4cm)
-A - /y(0.3cm) ▽ .//(0.2cm )
300
600 900
1200
1500
能贵/keV
图2线性吸收系数计算值与拟合值的相对偏差
出选取不同7谱线与线性吸收系数值，反解单 层F e 板厚度与真实值的相对偏差。结果表明 选取相同的特征谱线时，采用不同线性吸收系
数得到的F e 板厚度相当，相对偏差小于5%; 采用相同线性吸收系数值，选取不同7谱线得 到F e 板厚度相差很大。选取线性吸收系数相 差大的7谱线，即使其能量差异不大，如122
k e V 与244 keV ，能够给出较精确的计算结果；
选取线性吸收系数相差小的7谱线.即使能量 差异较大，如344 k e V 与1112 keV ，计算结果 与真实结果
偏差较大。相比于线性吸收系数的 计算偏差，7谱线的选取对屏蔽层厚度的反解 计算影响更大，应该选取线性吸收系数相差较 大的7谱线，而不是能量相差大。
特征谱线选择
图3 F e 板厚度计算值与真实值的相对偏差
2.3双层屏蔽层厚度的反解
考虑152E u 外存在双层屏蔽（0. 3 c m 厚的
F e 板与C u 板）的情况，与最小二乘法的计算结
果对比，分析7谱线选取与线性吸收系数的计 算偏差对T ikhonov 正则化法反解结果的影 响。选取 122 keV 、244 keV 、344 keV 、779 keV 4条特征y 谱线与线性吸收系数的拟合值，分 别采用T ikhonov 正则化法与最小二乘放对
F e 、C u 板厚度进行了反解计算，结果如表1所
列。结果表明，两种方法均能在F e 、C u 板的真 实厚度附近给出反解结果，相比最小二乘结果，
Tikhonov 正则化法的结果更准确，相对偏差小
于 6. 0%。
表1
不同方法法计算Fe 、C u 屏蔽层厚度比较
F e 屏蔽层
C u 屏蔽层方法
厚度相对偏差厚度相对偏差/cm
/%/cm /%T ik h o n o v 正则化
0. 318  6. 00. 284  5. 5最小二乘
0. 443
47. 6
0. 198
34. 0
选取 122 keV 、244 keV 、344 keV 、779 keV  共 4 条特征7谱线与线性吸收系数的计算值，分别 采用Tikhonov 正则化法与最小二乘放对F e 、
CU 板厚度进行反解计算，结果如表2所列。结
果表明，采用4组线性吸收系数值，Tikhonov 正则化结果均在Fe 、C u 板的真实厚度附近；每 组最小二乘计算均给出负值，与物理事实不符。 相对最小二乘法，Tikhonov 正则化法能够处理 线性吸收系数引起的矩阵病态问题，给出可靠
OO 0H /6
卜
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^^9801/53
8
6
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I
1 r
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擊友粟
o '-a '
F e
-3
(o /s v /n
(
0/o )v ^/n
153
的反解结果。
表2 采用不同线性吸收系数值计算Fe、Cii板厚度对比值相近的反解结果，相对偏差小于5.0%。这 一方面是由于T ikhonov正则化法能够处理屏
T ik h o n o v正则化线性吸收
系数/c m-1C u厚度F e厚度
/cm/cm
最小二乘
C u厚度F e厚度
蔽层反解问题的不适定性，另一方面是由于反
解计算选取了恰当的7能谱线。
表4不同方法计算Fe、C u和C d层厚度结果对比
(0. 5 cm)0. 3050. 295236. 985-166. 179
/i(0. 4 cm)0. 3330. 273-1058. 31740.997 "(0. 3 cm)0. 3240. 278289. 639-201. 136
/i(0. 2 cm)0. 3070. 290165. 686-114. 593
采用4组不同7谱线选取方式，利用 T A honov正则化法对F e、C u板厚度进行反解计算，如表3所列。结果表明，选取相同数量7 谱线，当7谱线的线性吸收系数相差较小时，如 示例1，反解结果与真实值的偏差较大；当Y谱 线的线性吸收系数相差较大时，如示例2与示 例3，反解结果与真实值的偏差较小。考虑更 多特征峰相对强度关系，如示例4，能够给反解 计算带来更多约束，使得计算结果与真实值更加接近。综合表2与表3可知，相比线性吸收系数的计算偏差，7谱线的选取对Tikhonov正
方法F e厚度/cm C u厚度/cm C d厚度/cm Thikhonov 正则化0. 296 0. 312 0. 288最小二乘10.237 —9.853    1.211
对测量值加人扰动误差（原数据的5%、10%、15%范围内的随机误差），利用Tikhonov正则 化法对F e
、C u、C d屏蔽层厚度进行多组反解计 算，反解均值在表5中给出。结果表明，Tikhonov正则化法能够在测量误差较大时得到可靠、稳定、具有物理意义的屏蔽层厚度。综 合本节分析，Tikhonov正则化法能够有效改善 线性吸收系数的计算偏差以及测景偏差引起的 不适定性，在真实值附近给出可靠、稳定的反解 结果，合理地选取Y谱线是影响屏蔽层厚度准确反解的主要因素。
表S测量偏差对屏蔽层厚度反解结果的影响
则化法的反解计算影响更大。
表3不同7谱线对Cu、F e屏蔽层厚度的反解结果序号特征7线选取C u厚度/cm F e厚度/cm 1^ 964/ ^1112' ^1086/ ^14080. 0010. 001
2^122/^779'^244/^3440. 2130. 361
3了122/J 3“、I 2“/了 7790. 4010. 220
4 ^ 122779 ^244/^344 ^122 344^2447790-3180.283
测M偏差/%F e厚度/cm C u厚度/cm C d厚度/cm
50. 2890. 3250. 282
100. 3100. 3500. 278
150. 3140. 3330. 302
3结论
2.4三层屏蔽层厚度的反解计算
考虑152E u外存在三层屏蔽（0.3 c m厚的 F e板、C u板与C d板）的情况，与最小二乘法的 计算结果对比，分析测量值的偏差对Tikhonov 正则化法反解结果的影响。选取7谱线强度比i 122/了779、J244/了344、i122344、1244 /1779、了122 /
与线性吸收系数的拟合值，分别 采用Tikhonov正则化法及最小二乘法对F e、C u、C d板厚度进行反解计算，如表4所列。结 果表明：系数矩阵病态导致最小二乘法结果与真实值相差较大，尤其是C u板厚度为负与物理事实不符；Tikhonov正则化法给出了与真实
针对7能谱解析屏蔽层厚度的不适定性问 题，本课题基于T ikhonov正则化法，以单层、双层以及三层屏蔽的152E u点源为例，对7多层 屏蔽材料厚度进行了反解研究。结果表明：与 最小二乘法相比，T ikhonov正则化法能够有效 改善线性吸收系数的计算偏差以及测量偏差引 起的不适定性，给出可靠、稳定、具有物理意义的反解结果。相对于线性吸收系数的计算偏差、测量值的偏差，Y谱线的选取是影响
反解结果的主要W素。在反解计算中，选取线性吸收系数相差大的7谱线与考虑更多的能谱特征，能够促使反解计算得到与真实值更接近的结果。下一步工作将开展系列实验研究来验证
154
Tikhonov正则化法反解源外多层屏蔽层厚度的可靠性，分析反解计算的影响因素。
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Multi-Shielding Layer Thicknesses by Tikhonov
Regularization Method with Gamma-Ray Spectrum CHEN Ying,YANG Su，WANG Zhi-hui，ZHANG Lian-ping，XIAO Sa，HE Wei-bo
(Institute of materials，China Academy of Engineering Physics，Jiangyou Sichuan 621908，China)
Abstract：In present w ork,Tikhonov regularization method is applied to the inverse analysis of the multi-shielding layer thicknesses by taking the point source152Eu with single,double and three shielding layers as examples.It is shown that by comparing with the least square m ethod, Tikhonov regularization method can provide much more accurate results.The selection of gamma-ray energy lines is the major factor influencing the inverse result relative to the deviation of absorption coefficient calculation and statistical error of the detection.
Key words：gamma-ray spectrum；multi-shielding；Tikhonov regularization；inverse analysis
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