§4、场的正则量子化
场的量子化的形式与质点系相似。场函数及正则共轭场函数过渡至算符，不再描写体系的态，而物理的态则由空间的矢量描述。力学量随时间演化的方程中，以量子括号取代经典括号：（仍在海森堡绘景中讨论，算符随时间变，而态不变）：
                        （4-1）
                                          （4-2）
当显含时，右边还有一项。
一、 电磁场的量子化
经典电磁场满足方程：
                                  （4-3）
用四度矢势表为：
                  （4-4）
由电磁场在以下规范变换下
                              （4-5）
具有不变性。通常有两种规范
规范
                                              （4-6）
此方程具有协不变性，然而与量子化不相容。
规范
                                                    （4-7）
此时，虽然矢势方程丧失了协变性，但不影响真正的物理量，而且能很方便的进行量子化。在规范下，场方程成为
                          （4-8）
下面考虑自由场：，，因而，于是
                                          （4-9）
                                （4-10）
拉格朗日量
                        （4-11）
的共轭场量
                          （4-12）
相应的函数
        （4-13）
在量子化以后，成为算符。为了与相容，我们把对易关系中的修正为。即：
                                （4-14a）
                                （4-14b）
                          （4-14c）
其中
                  （4-15）
否则
             
与（4-7）矛盾。
作平面波分解，考虑横场条件（4-7），有
            （4-16）
其中散关系为
                                          （4-17）
而是两个相互正交的横向单位矢。
逆变换
      （4-18）
由对易关系（4-14）得
              （4-19）
用，来表示，得：
                                （4-20）
可见电磁场也可以分解为许多简振子之和，每一波矢对应两个模式（偏振方向）的玻子，即横光子。
电磁场量子化的一些效应的例子为
ⅰ）热平衡的电磁场的态密度由公式给出：
                              （4-21）
只要求，便知 （是电场）
ⅱ）原子自发辐射
在量子力学中，经典电磁场与荷电粒子的相互作用为, 而当外场不存在时（）无相互作用。因而基态不能自发跃迁。在量子场论中，零点能存在。如果把场分解为本征模式之和，以下矩阵元对自光子从基态向激发态跃迁过程-即自发辐射-有贡献。
ⅲ）位移
在基态中（无光子）电场的平均值是0，即但起伏仍存在，。这一零点振动对原子中的电子受到的静电势有影响。主要是态与态的简并解除（约）
二、场的量子化
标量粒子（自旋为零）的场方程
                            （4-22）
其中是静止质量。取密度
                          （4-23）
变分原理导致4-22
    的正则共轭量
                                （4-24）
函数
                                  （4-25）
对易关系：
                               
                                  （4-26）
                         
运动方程
                                  （4-27）
至此量子化即告完成。
平面波分解：
            （4-28）
其散关系

逆变换
          （4-29）
利用对易关系（4-26），立即得出
                  （4-30）
由，来表示，得
                              （4-31）
可见体系可分解为许多独立的简振子之和。
三、场的量子化
旋量粒子（自旋为）的量子力学方程为
                                  （4-32）
其中四维导数
而波函数是有四个分量的旋量。分量形式为
                （4-33）
是四个相互反对易的矩阵
                                  （4-34）
    方程有平面波解
                          （4-36）
其间存在某种“正交”关系
                                （4-37）
取密度
                            （4-38）
则变分原理回到方程。
的正则共轭量也是旋量
                                      （4-39）
注意，方程中只出现时空的一阶导数，不出现，所以不能作为独立的场函数。
密度
                                （4-40）  括号为：（以表示）
 
                                  （4-41）
一般情况下
                    （4-42）
从函数及括号出发，即可对场量子化。旋量场函数成为场算符，平面波分解为：
            （4-43）
其中与是在动量空间上的场算符，逆变换为
                      （4-44）
将代入（4-40），用与表示为
                          （4-45）
现在考虑算符得正则对易关系。如在量子化时以对易关系代替括号（4-41），则，是玻算符。由（4-45）式可见，既出现正能量也出现负能量。于是出现了理论的困难。认为真空是所有负能量模式占满的态。这当然只对遵从不相容原理的费米子才是正确的。在场的量子化理论中，如果对费米子的场以反对易关系取代对易关系，则一切困难消失。也不必引入“空穴”，同时和玻子的量子化理论相互更为对称。
修改以后的反对易关系为
 
                                （4-46）
         
由（4-44）导出的反对易关系：
                          （4-47）
注意，运动方程仍为对易子
                                  （4-48）
算符用反对易关系（4-47）后，改写为
其中舍去了发散的常量，于是所有的模式都具有正能量，总粒子数算符
 
                            （4-49）
因而它表示的是电荷，反粒子（正电子）的电荷与粒子相反。
通常场的量子化。我们把场算符展开式的负频部分重新解释为正能量的反粒子的向后传播。从而彻底清除了负频引起的困难。
四、方程的量子化。
    在固体物理中，一般无须考虑相对能效应。因而正则化长波方程方程的量子化已足够。方程为
                        （4-50）
取密度
                    （4-51）
则变分原理导致方程。
与共轭的场为
                            （4-52）
密度函数为
                    （4-53）
因而哈密顿量
                      （4-54）
(用Green公式去掉表面项)
对于费米子系统，反对易关系为：(以表示)
                                                                      （4-55）
场算符仍可按本征模式分解。在这里，我们取方程
                        （4-57）
的解为本征模式。场算符得分解形式为
逆变换
                                      （4-58）
由（4-55）得对易关系
                                （4-59）
将（4-57）代入（4-54），得：
                                  (4-60)
分别是湮没或产生一个态粒子的算符，根据（4-59），可见，，，只有两个本征值：0和1。
对易关系统计法的影响是深远的，费米粒子服从统计热平衡态的配分函数
                             
（在，对角化的表象中求迹。）
                                    （4-61）
平均占居数
                                                （4-62）
此即分布，与分布
                                                  （4-63）
不同。在高温下两式都趋向经典的分布。
量子化以后，单体算符为
                                （4-64）

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