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0引言
弦振动方程又叫一维波动方程，其分为齐次波动方程与非齐次波动方程两类[1]。对于非齐次波动方程的cauchy 问题，在本文中我们首先由线性叠加原理，将问题转化为两个定解问题的求解，其中一个为求解齐次波动方程的cauchy 问题，另一个问题的求解我们除了用特征线法和算子法[2]外还可以运用green 积分法以及齐次化原理。特征线法是将方程作特征变换，再沿特征线积分。算子法如上转化为求关于一阶线性偏微分方程的特解问题。green 积分法是运用green 公式对特征线与X 轴围成的三角区域进行积分。green 积分法则是对公式的扩展运用。对于非齐次波动方程的cauchy 问题，将方程化为对于齐次波动方程的问题是常见的思想，而齐次化原理[3]正好就解决了这个难题。
1非齐次弦振动方程的cauchy 问题下面是非齐次弦振动方程的cauchy 问题的一般形式:
u tt (x ,t )-a 2u xx (x ,t )=f (x ,t )
u (x ,0)=g (x ),u t (x ,0)=h (x )
{
(1)
由线性叠加原理，我们知道，问题(1)的求解可以转化为如下两个问题的求解，即若函数u 1(x ,t ),u 2(x ,t )分别为定解问题:
u tt (x ,t )-a 2u xx (x ,t )=f (x ,t )
u t=0=0,u t t=0=0
{(2)
与
u tt (x ,t )-a 2u xx (x ,t )=0u t=0=g (x ),u t t=0=h (x )
{
(3)
则函数u =u 1+u 2为定解问题(1)的解。
而由D ′Alembert 公式可求得(3)的解，则求(1)的解即可转化为求(2)的解，我们一共有4种方法求(2)的解，下面将一一作详细的介绍:1.1齐次化原理:
设函数ω(x ,t ,s )∈c 2是cauchy 问题ωtt -a 2ωxx =o ,t >s
ωt =s =0,ωt t=s =f (x ,s ){
(1.1)的
解，其中τ为参数，则函数u (x ,t )=
t 0
∫ω(x ,t ,s )ds (1.2)为定解问题Ⅳ的
解，即将(2)的解转化为求齐次弦振动cauchy 问题。
设t ′=t-s ，利用D ′Alembert 公式求(1.1)式的解为:
ω(x ,t ,s )=12a x+at ′
x-at ′∫f (r ,s )dr =1
2a
x+a (t -s )
x-a (t -s )
∫
f (r ,s )dr (1.3)
代入(1.2)式得
u (x ,t )=12a t
0∫x+at ′
x-at ′∫
f (r ,s )drds =12a ∫G
∫
f (x ,t )dxdt (1.4)
其中G 为ros 平面过点(x ,t )向下作两条特征线与Or 轴所夹的三角形区域。
注：若f ∈C 1(Q )，这里f ∈C 1(Q ),Q={(x ,t )|-∞<x <∞,t >0}，则由表达式
(1.4)解出的函数u (x ,t )∈C 2(Q )，且是cauchy 问题(2)的解[4]。
证按照含参变量积分的微分法则，当f ∈C 1(Q )时，由(1.4)可得:
u t =12
t 0
∫[f (x+a (t-s ),s )+f (x-a (t-s ),s )]ds
(1.5)u tt
=f (x ,t )+a 2
t
∫[f x
(x+a (t-s ),s )-f x
(x-a (t-s ),s )]ds
(1.6)u x
=12a
t
0∫[f (x+a (t-s ),s )-f (x-a (t-s ),s )]ds
(1.7)u xx
=12a
t
∫[f x (x+a (t-s ),s )-f x
(x-a (t-s ),s )]ds
(1.8)
由(1.5)-(1.8)可得:u tt -a 2u xx =f (x ,t )u t=0=0,u t t=0=0
{
定理证毕。1.2特征线法:
将方程u tt (x ,t )-a 2u xx (x ,t )=f (x ,t )作特征变换r=x+at ,s=x-at ，则问题(2)的非齐次方程可改写成:
u rs =-14a 2f (r+s 2,r-s 2a )(1.9)
将(1.9)积分可得
u (r ,s )=-14a
2∫∫
f (x ,t )drds
(1.10)
其中积分下限是任意的常数，它相当与积分常数[5]。任意给定点(x 0,t 0)，设:r 0=x 0+at 0,s 0=x 0-at 0，则(1.10)式有特解:
u (x 0,t 0)=-14a 2r 0s 0
∫r
s 0
∫
f (r+s 2,r-s 2a )drds=12a
∫G ∫
f (x ,t )dxdt
其中G 为ros 平面过点(x ,t )向下作两条特征线与Or 轴所夹的三角形区域。1.3算子法
将方程u tt (x ,t )-a 2u xx (x ,t )=f (x ,t )写成如下算子形式:əət +a əəx ()əət -a ə
əx
(
)
u =f (x ,t )
设v (x ,t )=əət +a ə
əx
(
)
u ，则v t (x ,t )-av x (x ,t )=f (x ,t )
由此得到如下一阶线性偏微分方程:u t (x ,t )+au x (x ,t )=v (x ,t )
v t (x ,t )-av x (x ,t )=f (x ,t ){(x ∈R ,t >0)(1.11)
方程(1.11)可化为v t (x ,t )-av x (x ,t )=f (x ,t )v (x ,0)=0
{
一维非齐次弦振动方程cauchy 问题的解法
张丹丹
(湖北文理学院数计学院，湖北襄阳441053)
【摘要】一维弦振动方程也称一维波动方程。它是最简单的一种双曲型方程，其中一维波动方程主要可分为两大类：齐次波动方程的cauchy 问题和非齐次波动方程的cauchy 问题。本文对一维非齐次波动方程cauchy 问题的解法进行了讨论，求解主要有以下几种方法：特征线法、算子法、green 积分法。
【关键词】一维弦振动方程;cauchy 问题；齐次波动方程；非齐次波动方程
The methods to solove the cauchy problem of The unidimensional wave equation
ZHANG Dan-dan
(Hubei University of Arts and Science,Xiangyang Huibei,441053)
【Abstract 】The string vibration equation is called the unidimensional wave equation.It is one kind of the simplest hyperbolic equation,In which unidimensional wave equation mainly may divide into two kinds:Homogeneous wave equation cauchy question and inhomogenous wave equation cauchy question.The solution of this text to inhomogenous wave equation cauchy question has been discussed.The methods to solove the problem are as follows:method of characteristics,operator algorithm,green integration.
【Key words 】Unidimensional wave equation;Cauchy question;Homogeneous wave equation;Inhomogenous wave equation
※基金项目：此文为湖北省教育厅科研项目研究成果，项目编号Q20122504。
作者简介：张丹丹(1982—)，女，汉族，湖北襄阳人，研究生，湖北文理学院数计学院，讲师，研究方向为偏微分方程
。
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(上接第30页)并不能应用于实践中，导致很多人不愿意认真学习理
论知识，错过了学习知识的重要时光，而让学生参加科研训练，可使得
他们认识到前沿领域的科学研究离不开最基础的理论知识，把理论与
实践结合起来，可鼓励学生重新认识并主动学习的积极性。
(3)鼓励学生自主立项。学生选研究项目总是听取指导教师的意
见，而老师提供的项目有时不是很适合学生。难度过大，容易打击本科
生参加科研的积极性，难度过小，达不到科研训练的目的。因此，这就
要求指导教师要对立项进行充分了解。鼓励学生自主立项能有效解决
这些问题，提高自信心，获得成就感。
(4)加大经费资助，扩大学生受益面。较为充足的经费既可以保证
科研的顺利开展，又可以吸收更多勤于思考、动手能力强的学生参与
到科研中去，扩充整个科研团队的队伍，提升科研团队的素质。
(5)将科研训练和毕业论文相结合。本科生在高年级的时候比较
适合参加科研训练，而此阶段的学生又忙于做毕业论文和工作，使
得学生精力易分散，影响了科研训练的完成进度。如果适合的科研训
练可以代替毕业论文，这样就可以使得学生在参与科研训练的同时,
既提高了科研能力又可以有成果作为毕业论文材料，一举两得。
5结束语
培养地方高校理工科学生的创新能力是现代经济社会发展的需
要，也是教学目的之一，而大学生科研训练计划的实施能够有效地提
高学生的创新精神和创新意识，使学生在具备扎实的理论基础的同
时，拥有了一定的科研创新能力，经过后续努力可逐渐成为民族科技
进步的主力军。
【参考文献】
[1]耿新，陈心浩.搭建科研训练平台培养实践创新人才[J].中国高校科技与产业
化,2011(3):50-51.
[2]白文苑.大学生科研训练：创新人才培养的有效途径[J].社科纵横,2011,26
(2):161-162.
[3]彭安，向本琼，等.研究型大学本科生科研训练模式和机制探讨[J].研究型大
学本科生科研训练模式和机制探讨,2010(2):75-79.
[4]李杨帆，朱晓东.科研训练计划与大学生创新能力培养[J].中国大学教学,
2011(4):24-25.
[5]丰巍伟，方志杰，等.科研训练—培养创新人才的有效途径[J].高校实验室工
作研究,2009(3):19-20.
[责任编辑：王静]
●
运用齐次化原理得:
ωt(x,t)-aωx(x,t)=0
ω(x,τ,τ)=f(x,t)
{
得ω(x,t)，再运用v(x,t)=
t
0∫ω(x,σ)dσ，求出v(x,t)
代入方程(1.11)知:
u t(x,t)+au x(x,t)=v(x,t)
u(x,0)=0
{
再次运用齐次化原理知:
μt(x,t)+aμx(x,t)=0
μ(x,0)=v(x,t)
{
得到μ(x,t)=
t
0∫f(x-at+aτ)dτ=12a x+at x-at∫f(τ)dτ
则u(x,t)=
t
0∫μ(x,τ)dτ=12a∫G∫f(x,t)dxdt
1.4green积分法
设(x0,t0)是区域{(x,t)|-∞<x<+∞,t>0}内的一点，过(x0,t0)向下作两
条特征线与OX轴分别相交于点(x0-at0,0)与点(x0+at0,0)，且设这两条
特征线与OX轴围城的三角形区域为G，边界为l0∪l1∪l2
在G上积分问题中的非齐次方程，我们有:
∫G∫(u tt(x,t)-a2u xx(x,t))dxdt=∫G∫f(x,t)dxdt(1.12)
应用green公式∫G∫əQəx-əPəy()dxdy=C∫Pdx+Qdy
将(1.12)可写成∫G∫f(x,t)dxdt=l0∪l∪l∫(-a2u x dt-u t dx)(1.13)
在l0上,dt=0，且u t(x,0)=0，因此:
正则化长波方程l0∫(-a2u x dt-u t dx)=0.(1.14)
在l1上,x+at=x0+at0，于是dx+adt=0，因此:
l∫(-a2u x dt-u t dx)=a l∫(u x dx+u t dt)=a l∫du
=au(x0,t0)-au(x0+at0,0)=au(x0,t0)(1.15)
类似地,
l∫(-a2u x dt-u t dx)=au(x0,t0)(1.16)
将(1.14)-(1.16)代入(1.13)，得:
u(x,t)=12a∫G∫f(x,t)dxdt
则综合以上方法，我们可解得方程(2)的解为:
u(x,t)=12a∫G∫f(x,t)dxdt
由此得出非齐次弦振动cauchy问题(1)的解为:
u(x,t)=12[g(x-at)+g(x+at)]+12a x+at x-at∫h(s)ds+12a∫G∫f(r,s)drds
1.5平行四边形性质:
设u(x,t)为弦振动方程u tt-a2u xx=f(x,t)在平面区域Ω中的一个古典
解，而∏为各边均为弦振动方程u tt-a2u xx=f(x,t)特征线的一个平行四边
形(包括平行四边形内部)，其顶点依次为A,B,C,D.则u(A)+u(C)=u(B)
+u(D)
解：取A的坐标为(x′,t′)，过点A作弦振动方程的特征线.
由于弦振动方程为u tt-a2u xx=f(x,t)，其特征方程为(dx)2-a2(dt)2=0
即其特征方程为x+at=c1,x-at=c2.
在x+at=c1和x-at=c2上分别取两点B B(x′+ar,t′+r),D D(x′-at,t′+t),
则C点坐标为(x′+ar-at,t′+r+t)
由D′Alembert公式解U在对顶上的值的和是相等的。
即:u(A)+u(C)=u(B)+u(D)
2应用举例
例1求解
u tt(x,t)-a2u xx(x,t)=t sin x,-∞<x<∞
u
t=0=0,u t t=0=sin x,-∞<x<∞,t>0
{
解u(x,t)=12a x+at x-at∫sinsds+12a t0∫x+a(t-s)x-a(t-s)∫s sin rdrds
=12a[cos(x-at)-cos(x+at)]+12a2[2t sin x-1a cos(x-at)+1a cos(x+at)]
注：弦振动方程具有平行四边形性质，运用该性质也可求解弦振
动方程。
例2求解古尔沙问题[6]
u tt-a2u xx=0,-at<x<at,t>0
u
x-at=0=φ(x),-∞<x≤0
u
x+at=0=ψ(x),0≤x<∞
{其中φ(0)=ψ(0)
解：由弦振动方程的平行四边形性质知:
u(x,t)=-φ(0)+φ(12(x0+at0))+ψ(12(x0-at0))
【参考文献】
[1]谢鸿政，杨枫林.数学物理方程[M].科学出版社,2003.
[2]张丹丹.一维波动方程问题解[J].科技信息,2012,33:44-37.
[3]汪德新，数学物理方法.2版[M].华中科技大学出版社,2001:150-155.
[4]F.John.Partial Differential Equations.(4th ed.)[M].Springer.
[5]A.Friedman.Partial Differential Equations of Parabolic Type[M].Prentice-Hall.
1964.
[6]D.Gilbarg and N.Trudinger.Elliptic Partial Differential Equations of Second
Order(2nd ed.)[M].Springer,1983.
[责任编辑：汤静]
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