逻辑回归的目标函数
简介
逻辑回归是一种用于分类问题的机器学习算法。其目标是根据之前的输入特征预测新样本所属的类别。逻辑回归的目标函数是用来对模型进行优化的方法，通过将输入特征与对应的权重相乘并进行一系列的操作，来预测样本的类别。
逻辑回归的基本原理
逻辑回归基于一个假设:输入特征与对应权重的线性组合，加上一个称为“偏置”的常数，然后通过一个称为“激活函数”的函数来进行转换。这个转换将使得预测值在0和1之间，可以被解释为概率。如下所示:
其中，z是线性组合的结果，是对应于特征的权重，b是偏置。我们可以使用不同的激活函数来将线性组合转换成概率。常用的激活函数是sigmoid函数，它的定义如下:
sigmoid函数的曲线在z等于0时到达0.5，在z小于0时逐渐趋近0，在z大于0时逐渐趋近于1。
目标函数
逻辑回归的目标是到一组权重和偏置b，使得预测值尽可能接近真实的标签。为了实现这一点，我们需要定义一个适当的目标函数。在逻辑回归中，常用的目标函数是最大似然函数。
最大似然函数
最大似然函数是一个衡量模型对已知样本的拟合程度的函数。它基于概率论的原理，假设样本之间彼此独立，并到使得观察到的数据出现概率最大的模型参数。对于逻辑回归问题，最大似然函数可以定义为:
其中，是给定输入变量的情况下，预测y的概率。由于sigmoid函数可以将线性组合映射到0和1之间的概率，我们可以使用以下公式来表示预测概率:
通过将这两个公式代入最大似然函数，我们可以获得关于权重和偏置的似然函数。为了方便计算，通常使用对数似然函数:L(w,b)取对数：
目标函数最小化
正则化逻辑回归
我们的目标是到一组使得似然函数最大的权重和偏置。但是，为了方便处理和优化，我们可以将最大似然函数转化为最小化问题。因此，我们希望到使得目标函数最小化的权重和偏置。数学上，我们可以定义目标函数如下:
即目标函数J(w,b)是对数似然函数l(w,b)的负数除以样本数量m。我们需要最小化这个目标函数来得到最佳的权重和偏置。
优化方法
为了最小化目标函数J(w,b)，我们可以使用梯度下降法。梯度下降法是一种迭代优化算法，通过反复调整参数来逐步减小目标函数的值。在每一次迭代中，我们计算目标函数关于权重和偏置的导数，然后根据导数的方向和步长来更新参数。
具体来说，我们可以使用如下的更新规则:
其中，是学习率，用来控制每次更新的大小。
总结
逻辑回归的目标函数是最小化对数似然函数，这样可以到使得模型对已知样本拟合程度最好的参数。为了最小化目标函数，我们使用梯度下降法来更新权重和偏置。逻辑回归是一种广泛应用于分类问题的机器学习算法，目标函数的优化是逻辑回归模型中非常重要的一个部分。
引用
[1] Bishop, C. M. (2006). Pattern Recognition and Machine Learning. Springer.
[2] Hastie, T., Tibshirani, R., & Friedman, J. (2009). The Elements of Statistical Learning. Springer.

版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。