第4期（总第241期）2023年8月
山 西 电 力No.4（Ser.241）
Aug.2023 SHANXI ELECTRIC POWER
基于加权正则化极限学习机与改进
梯度投影法的谐波源定位
沈清野
（国网舟山供电公司，浙江 舟山 316000）
摘要：针对配电网谐波源分布稀疏、监测装置少及定位难度高等特点，提出了采用基于加权正则化极限学习机与改进梯度投影法相结合的方法进行谐波源定位。具体的做法是，先构建系统量测节点的优化配置模型，采用模拟退火遗传算法进行求解，然后利用从监测节点获取的量测数据构建基于加权正则化极限学习机的谐波源定位模型，确定含有谐波源的嫌疑节点，实现谐波源的定性分析，最后再采用改进梯度投影法求取嫌疑节点的谐波电流，完成谐波源的定量分析。仿真结果表明：采用加权正则化极限学习机与改进梯度投影法相结合的谐波源定位方法具有定位精度高、速度快的优点，有一定的推广价值。
关键词：谐波源定位；改进梯度投影法；加权正则化极限学习机；模拟退火遗传算法
中图分类号：TM711   文献标志码：A   文章编号：1671-0320（2023）04-0013-06
0 引言
  随着高渗透率的分布式电源接入电网，同时大量的非线性负荷在配电网中的占比增大，配电网中的谐波污染日趋复杂，世界各国均予以高度重视[1-2]。配电网中产生的大量谐波不仅危害家用电器设备的正常运行，甚至会损害设备，而且在严重时可能造成重大的电网安全事故。因此，急需对配电网的谐波源进行有效定位以快速消除系统中的大量谐波，保证系统的安全稳定运行[3]。目前，谐波源定位方法可以划分为两类：一类是等效电路法，该方法的优点是模型比较简单，缺点是仅能判别谐波源是位于系统侧还是负荷侧，不能实现谐波源的精确位置及谐波电流的准确估值，且多数情况下应用于单谐波源的定位；另一类是谐波状态估计法，该方法仅需安装少量的量测装置就可实现系统的整体可观性，其广泛应用于多谐波源的定位研究[4]。收稿日期：2022-09-10，修回日期：2023-03-09
作者简介：沈清野（1990），男，浙江舟山人，2016年毕业于东     北电力大学电气工程专业，工程师，从事高压输电电缆     运维与检修工作。文献[5]采用基于压缩感知的谐波检测器来识别和估计系统中的主谐波源，该方法不受背景谐波的影响，可有效进行主谐波源的识别及谐波电流的估计。针对谐波状态估计法中嫌疑节点的选取问题，本文进行了探讨。
1 监测装置优化配置
  为了平衡系统可观性及控制成本之间的矛盾，下面将通过构建系统监测装置最优配置的模型（包括目标函数和约束条件）及优化求解方法（模拟退火遗传算法）来解决。
1.1 目标函数
  设 n 节点系统目标函数为
  其中，n 表示所选系统的节点总数；ξi表示在节点 i 安装量测装置的成本，本文不考虑量测装置间的差异，取ξi=1；ηi的取值有1和0，当其为1时表示该节点装有监测装置，当其为0时表示该节点未安装监测装置。
（1）
山 西 电 力2023年第4期
1.2 约束条件
  通过如下方法可判断系统中的节点是否可观。  a）当某条母线安装量测装置，则与其相连支路电流均为可测量。
  b）当一条支路中的一个端点配备量测装置，或者除节点 i  的电压未知，而与节点 i  相连的其他节点的电压已知，则另一个端点或节点 i  的电压可虚拟测量。
  c）当一条支路两端电压确定，或者若某节点连接 y  条支路，其中已知 y -1条支路的电流，则可虚拟测量该支路电流。
  构建描述系统节点的关联矩阵M ，矩阵中元素表示方法为
                    （2） 
  系统可观测性的约束方程可表示为       
      （3）
  其中，η=[η1，η2，…，ηn ]T ，表示每个节点的量测装置配置情况；I  表示每个节点至少有一个量测装置可观测到，其矩阵元素都为1。  为确定系统量测装置的数量和位置，本文采用模拟退火遗传算法SA+GA法[6]（simulated  annealing and  genetic  algorithm）对上述模型进行求解。
2 谐波源定位原理
  基于上述监测装置优化配置结果，下面将分别进行谐波源的定性分析及定量分析。谐波源的定性分析选择加权正则化极限学习机WRELM（weighted regularization  extreme  learning  machine）估计器的谐波源定性分析，谐波源的定量分析选择改进梯度投影法IGPM（improved  gradient  projection  method）的谐波源定量分析。
2.1 基于WRELM估计器的谐波源定性分析  在单隐含层前馈神经网络的基础上，有学者提出了极限学习机ELM（extreme  learning  machine）算法，利用ELM较强的非线性拟合特性构造谐波源定位估计器，进行谐波源的定性分析。
  设ELM模型具有K 个隐含层神经元，激活函数为g （x ），则定位估计器模型为     
  其中，
i
和i 分别表示输入、输出向量与隐含
层 i 的连接权值向量；b i 为隐含层 i 的偏置值；为ELM网络的输入集。
  本文在ELM估计器的基础上引入正则化系数、加权系数及结构风险，构建WRELM谐波源定位估计器，以提高估计器的泛化能力和估计精度，详细步骤如下：
  a）构建WRELM估计器目标函数。设其函数为
   （5）   
  其中，γ为正则化系数；
为隐含层输出矩
阵；为训练样本的误差和；为输出集；为权重的对角矩阵；‖‖2和‖‖2分别为经验风险和结构风险。
  b）根据式（5）可构建目标函数的Lagrange方程，具体情况如式（6）所示。
 （6）
  其中，α为拉格朗日算子。
  c ）分别对方程的变量求偏导，可求出连接权值。
  其中：为单位矩阵。
  d）将式（7）代入式（4）即可得到WRELM估计器的拟合回归模型。
  其中，为谐波源所在节点向量。  基于上述步骤则可建成WRELM估计器。2.2 基于IGPM的谐波源定量分析
  通常配电网中的谐波源数量较少，且状态分布稀疏，因此可基于压缩感知理论进行谐波源定位。梯度投影法在采样点有限的条件下具有精确度高、鲁棒性强的优点，但由于其采用交替搜索方式，造成运算复杂度高、速度慢。为提高谐波源定位的速度，节约存储空间，将梯度投影法的搜索方式改为沿负梯度方向，可降低算法的计算量，并提高其泛化能力。因此，本文采用IGPM [7]进行谐波源的定量
（4）
（7）
沈清野：基于加权正则化极限学习机与改进梯度投影法的谐波源定位
2023年8月分析。
  为验证IGPM定量分析的结果，本文以经典谐波源定位方法即最小二乘法LSM（least square method）作为对比进行仿真。
  a）LSM定位原理。设系统含有 n  个节点，则由各节点之间的谐波电压  向量与注入电流  向量可列写如下系统状态方程。                （9）
  其中，A 表示系统输电线路的阻抗矩阵。则式
（9）可进一步变换为
                   （10）     
  其中，表示WRELM估计器估计出的嫌疑节点的谐波注入电流；表示非嫌疑节点的注入谐波电流；表示安装监测装置节点的谐波电压向量；表示未安装监测装置节点的谐波电压向量。  若忽略非嫌疑节点的谐波注入电流，则通过式（10）可得嫌疑节点的注入谐波电流。     
       （11）
  式（11）即为LSM进行谐波源定位的计算方程。  b）IGPM定位原理。设IGPM的目标函数为   
       （12）
  其中，为与监测装置节点相连支路的谐波电流向量，为量测量；
表示和监测节点相连支路
的谐波电流与嫌疑节点注入谐波电流的关系矩阵。  将上述目标函数进一步变换为求解凸非约束优化问题   
  其中，为阈值。
  IGPM的搜索方向和搜索步长的计算方法如下：设第k 次迭代的支撑集、重构向量及信号残差分别为、和r k -1
。为使每次迭代后的重构向
量的稀疏性最高且重构误差最小，将式（13）展
开得到
  欲使式（14）取值最小等价于求解式（15）
（15） 
由于            ，则式（15）可转化为
     （16）   
  为求取负梯度，需对上式中的  求偏导
 （17）
  为极性向量，表示对向量求l1范数；
 j
 表示第 j 个重构向量的值。
  因此，计算出的最快速搜索步长为
  采用IGPM求取重构向量的流程如图1所示。
图1 求取重构向量流程图
（13）
山 西 电 力2023年第4期
  为衡量谐波源定量分析结果的准确性，选用相
对误差e
1
作为评价指标，其公式如下。
   （19）
  其中，z i表示第i个谐波源注入节点的谐波电流值。
3 算例分析
  在PSCAD仿真平台搭建IEEE14节点系统对提出方法进行验证，其具体相关参数依据文献[8]进行设置。仿真实验使用的数据均从该仿真系统获取，具体方法如下：
  首先将文献[9]中5次谐波电流源的经典曲线加入到仿真系统；然后不断改变谐波电流源的位置，记录量测装置在每个状态过程中检测到的谐波电压幅值和相位；最后，将记录的谐波监测点电压参数向量及谐波源所处母线的位置向量一一对应组成数据对，作为定位器的训练数据集。基于该方法共采集了320对数据组成训练数据集。仿真中使用的训练数据与分析数据相互独立。
3.1 量测装置数量及分布
  以I E E E14节点系统为例进行仿真。采用SA+GA对1.1小节及1.2小节构建的量测装置优化配置模型进行求解，初始化控制参数如下：种P=10个，最大遗传代数M=100，交叉概率P
c
=0.7，
变异概率P
m =0.01，冷却系数q=0.8，起始温度
T o =100 ℃，终止温度为T
end
，进化代数t=120，各计
算14次，配置结果如表1所示。
表1 两种算法的配置结果
方法
全局收敛
最优次数/次
局部收敛
最优次数/次
最优配置方案
SA 86A
2，A
6
，A
9
，A
12
GA+SA122A
2，A
6
，A
9
  从表1可以看出，与SA相比，SA+GA不仅在全局收敛性方面性能表现优良，而且其所需配置的量
测节点的数目也较少，即仅需在节点A
2、A
6
及A
9
安
装量测装置即可实现系统的全局可观测。
3.2 WRELM的参数选择
  将量测节点的电压向量作为WRELM输入，谐波源所在节点编号作为输出，构建WRELM定位估计器。以错误率作为评价指标，在3.1节的监测装置获取的数据选择120组仿真数据作为测试样本，基于交叉验证法来进行WRELM估计器的参数选
取，仿真结果如表2所示。
表2 参数优化结果
激活函数
不同隐含层对应的错误率/
51015202530 Sine 9.757.72  5.82  5.13  6.828.81
Sigmoid10.467.85  5.86  5.838.858.31 Triangular basis 9.847.93  6.42  5.927.948.92 Radial basis10.028.05  6.18  6.089.169.09  从表2可以看出，当WRELM估计器的激活函数为Sine，隐含层个数为20层时，其具有最高的正确率。
3.3 监测点优化配置效果分析
  为了考察监测装置分布对谐波源定位结果的影响，采用构建的WRELM定位估计器对安装不同数量监测点的系统进行单谐波源定位效果分析。仿真使用180组数据进行测试，WRELM定位估计器的隐含层选用20层，激活函数选用Sine，定位效果如表3所示。
表3 不同监测点数目对定位效果的影响监测点数目/个监测点位置正确率/
2A
2
，A
6
76
3A
2
，A
6
，A
9
93
4A
2
，A
6
，A
9
，
A
12
93
  从表3可以看出，当监测点位置选用SA+GA优
化分布最优时（即监测点位置在A
2
，A
6
，A
9
），和当监测点位置选用SA的最优配置方案时（即监测
点位置在A
2
，A
6
，A
9
，A
12
），定位估计器的正确率一致，均为93。由于安装监测装置的费用较高，考虑经济因素，故本文选取的监测点数目为3个。
3.4 WRELM估计器定位结果分析
  为了验证该定位估计器的定位效果，在同样的仿真环境中，分别构建BP估计器、ELM估计器作为对比进行谐波源的定性分析。对比3种定位估计器的训练时间，结果如表4所示。
表4 不同估计器的训练时间
配置
方案
监测
点位置
BP训练
时间/s
ELM训练
时间/s
WRELM训
练时间/s
方案1A
2
，A
6
，A
9
 8.43  6.25  5.38
方案2A
2
，A
6
，A
9
，A
12
 9.277.39  5.97
方案3A
2
，A
5
，A
6
，A
9
，A
12
11.588.177.46
沈清野：基于加权正则化极限学习机与改进梯度投影法的谐波源定位
2023年8月表5 3种估计器的定位效果
正则化权重谐波源母线
BP定位估计器
ELM定位估计器
WRELM定位估计器谐波源数量/个位置正确识别/个错误识别/个正确率/
正确识别/个错误识别/个正确率/
正确识别/个错误识别/个正确率/
1A 24288445590473941A 84198245590482962A 5，A 1036147242884446882A 4，A 935157042884437863A 6，A 9，A 113020603515704010803
A 3，A 8，A 12
32
18
64
36
14
72
42
8
84
  从表4可以看出，相比其他2个模型，WRELM
估计器的训练时间最短。当监测点数目增加时，3种方法的样本训练时间均有所增加，但是WRELM 估计器的训练时间仍较其他2种方法更短。
  根据方案1配置量测节点，随机选取不同数量情况下谐波源的安装位置，以50组测试样本为例，验证表4中的3种定位估计器的定位效果，定位结果如表5所示。
  由表5可知，与构建的BP估计器相比，ELM估计器定位的准确率更高，而WRELM估计器的准确率较ELM估计器有进一步的提高，表明对ELM网络进行优化有助于提高其泛化能力。3.5 IGPM定位结果分析
  为验证IGPM定位分析效果，我们在系统中的
不同节点分别设置了含有1个及3个5次谐波电流源谐波源时的情况为例进行仿真。在具体的分析过程中，首先根据WRELM估计器估计出的嫌疑节点及3个监测母线获取的支路谐波电流测量数据，然后再采用IGPM进行谐波源定位的定量分析。定量分析结果如表6所示。
  从表6可看出，与LSM相比，IGPM定量分析的结果与实际值更为接近，相对误差更小，准确度更高。这是由于IGPM搜索方式的改进，不仅降低了计算量，而且提高了梯度投影法的泛化能力。当系统中含有多个谐波源时，WRELM定位估计器可能存在谐波
源误判现象，但是其可准确地划定嫌疑节点存在的范围，为谐波源定位定量分析奠定基础。在含有多个谐波源时，与LSM相比，IGPM不仅可准确地计算出谐波电流值，而且可对WRELM估计器的定性结果进行验证，且计算结果与实际值相吻合。
表6 多谐波源定位结果
监测母线
谐波源数量/个
嫌疑母线
谐波电流/A
相对误差e 1/
LSM
本文方法实际值LSM 本文方法A 2，A 6，A 9
1A 120.589 6 + j0.589 70.568 4 + j0.56730.569 2 + j0.569 2 3.610.471
A 2  1.017 4 + j1.046 2  1.000 8 + j1.000 7  1.000 0 + j1.000 0 3.190.073
A 6
0.892 7 + j0.904 50.827 6 + j0.827 90.826 4 +j0.826 4 8.740.16A 90.724 3 + j0.724 30.708 6 + j0.708 120.707 1 + j0.707 1 2.430.18A 11  1.024 6 + j1.013 70.916 2 + j0.917 00.914 6 + j0.914 611.430.223
A 3  1.426 4 + j1.434 6  1.415 8 + j1.414 9
1.414 2 + j1.414 2
 1.150.08A 5
0.024 6 + j0.013 70
    0    0A 80.621 5 + j0.726 80.708 1 + j0.707 80.707 1 + j0.707 1 4.370.12A 13
0.821 8 + j0.817 6
0.731 4 + j0.731 9
0.732 + j0.732
11.98
0.04

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