重合度对齿轮传动啮合效率的影响研究
黄康;夏公川;赵韩;张祖芳
【摘 要】文章针对齿轮瞬时啮合效率的求解和考虑重合度因素的齿轮啮合效率公式等问题进行了研究，通过反渐开线方程建立瞬时啮合效率的迭代公式；利用Tikhonov正则化方法处理关于齿轮啮合效率的不适定问题，进而研究多项式函数拟合周期函数的估计误差，验证效率目标函数的精确度；最后通过效率试验，并考虑齿轮重合度的影响因素，提出齿轮啮合效率公式，进行误差分析加以验证。通过齿轮效率试验结果验证了齿轮啮合效率公式的准确性，从理论上量化了重合度对齿轮啮合效率的影响。%The solution of instantaneous gear meshing efficiency and the gear meshing efficiency formu‐la considering the impact of contact ratio are studied .The iteration formula of the instantaneous mes‐hing efficiency is established by the inverse involute equation ,and the ill‐posed problems of gear mes‐hing efficiency is processed by using Tikhonov regularization method .Then the polynomial function is used to fit the estimation error of the periodic function ,and the accuracy of the efficiency objective function is verified .A new gear meshing efficiency formula is put forward based on the gearin
g experi‐ment considering the influence of gear contact ratio ,and the formula is validated by the error analysis . The result of the gearing experiment shows that the gear meshing efficiency formula is accurate .The impact of contact ratio on the gear meshing efficiency is studied by the quantitative analysis .
【期刊名称】《合肥工业大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2015(000)012
【总页数】6页(P1585-1590)
【关键词】啮合效率;重合度;多项式函数;效率试验;误差分析
【作 者】黄康;夏公川;赵韩;张祖芳
【作者单位】合肥工业大学 机械与汽车工程学院，安徽 合肥 230009;合肥工业大学 机械与汽车工程学院，安徽 合肥 230009;合肥工业大学 机械与汽车工程学院，安徽 合肥 230009;合肥工业大学 机械与汽车工程学院，安徽 合肥 230009; 合肥工业大学 马鞍山高新技术研究院，安徽 马鞍山 243071
【正文语种】中 文
【中图分类】TH132.413
齿轮传动作为一种重要的机械传动形式,因具有啮合效率高、传动平稳、传递功率大和使用寿命长等优点而被广泛应用于各种传动领域。
目前,国内外已有学者对齿轮系的传动效率进行了实验和理论研究。文献[1]运用图论通过运动学分析齿轮传动效率,但该方法仅限于输入轴与输出轴共线的齿轮系;文献[2]给出了满足齿轮有效长度啮合测量的参数设计方法；文献[3]将图论和旋量理论应用于复杂齿轮系的效率问题,建立了一种摩擦模型，将齿轮啮合摩擦损失、轴承摩擦损失和密封件的摩擦损失都考虑在内;文献[4]提出了一种在高速和可变扭矩条件下测试直齿圆柱齿轮效率的方法;文献[5]推导出了齿轮内、外啮合的瞬时效率表达式,通过积分运算得到了渐开线内外啮合效率的计算公式;文献[6]采用以节点位置为基础的分段式积分方法推导出直齿轮和斜齿轮在升速和减速时齿轮基本啮合效率的精确计算公式,并将其应用到行星齿轮传动中;文献[7]基于齿轮啮合的功能原理,对齿轮啮合过程提出了一种新的摩擦功耗计算方法,指出在啮合过程中双齿啮合区的摩擦功耗起主导作用。
齿轮啮合效率偏向于通过实验数据处理的经验公式或经验数值,而且理论方面缺少对齿轮啮合效率本质规律的基础研究,甚至于直接将齿轮啮合效率纳入齿轮系传动效率的研究中。影响啮合效率的一个重要影响因素是齿轮的重合度,目前在高速重载环境中使用的齿轮传动系统都具有较大重合度的齿轮,但是目前的研究中却忽略了重合度因素对齿轮啮合效率影响规律的研究。
本文以渐开线齿轮为研究对象,首先考虑建立离散瞬时啮合效率迭代公式；其次通过多项式函数将离散数值拟合成单齿对瞬时啮合效率目标函数,通过误差估计验证目标函数的准确度和精度；最后设计多组齿轮传动效率试验,对试验数据拟合提出齿轮啮合效率公式,通过误差分析进行验证。
1.1 瞬时啮合效率
根据能量守恒原理,利用瞬时功率分析,容易得到齿轮瞬时啮合效率表达式[5]。外啮合齿轮示意图如图1所示。
外啮合齿轮瞬时啮合效率计算公式为:
内啮合齿轮瞬时啮合效率计算公式为:
其中,节点P将齿轮实际啮合线分为和段;Q为齿轮啮合线上任意点;f为齿面摩擦系数。
比较(1)式和(2)式可知,齿轮内、外啮合瞬时效率表达式在形式上是完全一致的,本文仅以外啮合齿轮啮合效率为研究对象。
1.2 建立Newton迭代公式
已知渐开线方程为θ=inv α=tan α-α,由此建立反渐开线方程α=tan α-θ,取函数f(α),令f(α)=tan α-α-θ,建立Newton迭代公式如下:
其中,“+”对应内啮合,“-”对应外啮合;迭代次数k=0,1,…,K。
将θk=tan αk-αk代入(3)式得:
1.3 瞬时啮合效率的迭代求解
如图1所示,主、从动轮的展开角为:
其中,h为齿对啮合时间步长,且满足Kh=T。定义T为齿对啮合时间历程,其计算公式为:
其中,θ10(θ1T)和θ20(θ2T)分别为主、从动轮的啮入(出)展开角。
将(5)式和(6)式代入(4)式,则外啮合齿轮反渐开线Newton迭代公式变形为:
将(7)式按照迭代次数k代入(8)式,得外啮合齿轮的单齿对在不同时间节点下的瞬时啮合效率,即
本案例的外啮合齿轮副参数如下:主动轮齿数z1=25,从动轮齿数z2=34,模数m=3 mm,压力角α=20°。计算得到重合度ε=1.615。
根据上述齿轮瞬时啮合效率的求解方法,计算得到啮合时间历程T=7.94×10-4 s。
当ω1=20π/s,f=0.02时,10次迭代求解结果见表1所列,限于篇幅仅取K=10说明此方法的求解过程。
齿轮瞬时啮合效率迭代公式中各参数对单齿对瞬时啮合效率的影响规律如图2所示。
图2a表明迭代次数K取值越大，精度越高,当迭代次数K→∞时,迭代结果可以完全真实地还原单齿对在啮合时间历程T内瞬时啮合效率的变化规律;图2b表明在不同转速下单齿对啮合时间历程T的不同;图2c表明瞬时啮合效率对摩擦系数十分敏感。
2.1 不适定问题
迭代法不能给出一个确定的数值来表征单齿对啮合效率,即存在不适定问题。处理不适定问题有许多方法,其中使用最广泛、最有效的是Tikhonov正则化方法[8]。
根据1.3节的研究已经得到单齿对瞬时啮合效率函数y(x),可以认为是定义在实数集R上且周期为T的函数,同时也定义了齿对啮合时间步长h=xi-xi-1=T/n。
Δ={0=x0<x1<…<xn=T}为[0,T]区间上的一个等距划分。
已知y(x)在任意啮合时间点xi的值y(xi),设拟合多项式函数f(x)在任意啮合时间点xi的值为f(xi),则有:
其中,δ为测量误差的水平。
2.2 多项式函数
假设上述单齿对瞬时啮合效率曲线满足一条n次多项式参数曲线，则有:
正则化定义其中,P(i)=(xi,yi)为控制顶点;ωi为权因子为Bernstein基函数。此时根据假设条件可以拟合一条m(m<n)次的多项式函数f(t),即
为使拟合多项式函数尽可能好地逼近原参数曲线,对于给定的参数曲线,定义拟合多项式函数对其的逼近尺度为:
2.3 Tikhonov正则化
作为拟合的m次多项式函数f(x),也需满足f′(x)可以作为y′(x)的近似,则有:
H(τ)(0,T)={g|g∈L2(0,T),
g(τ)∈L2(0,T)}
其中，g(x)为区间[0，T]上的连续函数；H(τ)和g(τ)均为对x求τ阶导数。
根据(13)式和(14)式,定义范数为:
应用Tikhonov正则化方法进行求解,定义正则化泛函为:
α‖
其中,α为正则化参数，α>0。
拟合的多项式函数f(t)满足正则化泛函Φ(f)取到最小值。

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