跳跃-扩散模型资产定价公式的数值计算方法
张鸿雁;李强;张志
【摘 要】假定资产价格变化过程服从跳跃-扩散过程,那么基于它的欧式期权就满足一个偏积分-微分方程(PIDE),本文利用差分法来离散这个PIDE方程,用两种迭代方法得到方程的数值解:基于雅可比正则分裂法和预条件共轭梯度法.
【期刊名称】《经济数学》
【年(卷),期】2010(027)002
【总页数】6页(P51-56)
【关键词】跳跃-扩散模型;差分法;FFT算法;欧式看涨期权
【作 者】张鸿雁;李强;张志
【作者单位】中南大学,数学科学与计算技术学院,湖南,长沙,410083;中南大学,数学科学与计算技术学院,湖南,长沙,410083;中南大学,数学科学与计算技术学院,湖南,长沙,410083
【正文语种】中 文
【中图分类】O241.82
美国芝加哥大学教授Black和Scholes[1]在1973年发表了“The Pricing of Op tions and Corpo rate Liabilities”一文,提出了著名的Black-Scholes期权定价公式,在B-S公式中,假设股票的价格过程是连续的几何布朗运动,但是,在现实市场中,一些突发情况会引起股票价格发生跳跃.基于上述考虑,M erton在1976年首先提出了跳跃-扩散模型,在M erton模型中,资产价格在没有受到外界重大影响时服从布朗运动,当资产价格受到突发事件的影响而发生跳跃时,就用跳跃过程来描述.
本文首先介绍 PIDE[2]的具体形式,在Merton模型下对其差分离散,得到一个 Toep litz矩阵方程,用两种方法解这个矩阵方程,一是基于雅可比正则分裂的迭代方法[3-4],二是预条件共轭梯度方法.考虑到 Toep litz[5]矩阵的特殊性,在迭代的过程中,将其植入到一个循环矩阵中,利用循环矩阵和向量的乘积来计算 Toep litz和向量的乘积,而循环矩阵向量乘积可以通过快速富里叶变换(FFT)快速计算,这样就加快了迭代速度.共轭梯度法是解决 Toep litz线性方程组的主要方法之一,在利用共轭梯度法的情况下,快速傅里叶变换的作用是加快共轭梯度法的迭代速度,但不改变其收敛速度,共轭梯度法的收敛速度取决于线性方程组系数矩阵的条件数,基于此考虑,本文采用预条件共轭梯度算法,选用R.Chan优化循环预条件器[6],预条件器的使用是为了改善系数矩阵的条件
数,以便提高收敛速度.
假设市场是完备无套利的市场,在跳跃-扩散模型下,资产的价格变化过程服从随机微分方程:
其中,υ(t)是漂移率,σ(t)是波动率,ω(t)标准布朗运动,d q(t)是泊松过程,d q(t)=0的概率是1-λd t,d q(t)=1的概率是λd t,λ是泊松到达强度,η-1是由 S跳跃到 Sη的跳跃幅度函数,是一个随机变量,用ζ表示平均跳跃幅度 E(η-1),泊松过程d q(t)与布朗运动ω(t)是相互独立的.
由文献[7]可知,在上述假设下,基于资产价格S与时间τ的未定权益V(S,τ)满足PIDE:
这里,对于时间的偏导,当 m≥2时,用向后的二阶差分来近似对时间的微分,当m=1时,用向后的一阶差分近似;对于空间的偏导,用中心差分来近似.
定义向量 um=(um1,…,umn)T.由初始条件,初始向量:
由式(13)～(16),则式(5)的有限差分离散能写成矩阵形式:
定义1 假设矩阵A可用分裂成形式:
正则匹配公式
其中,Q是单调矩阵(Q-1≥0)且 R≥0,则称 A可以正则分裂.对于每一个形如式(21)的分裂,都存在相应的迭代方法:
若A是单调矩阵,则迭代式(22)是收敛的(ρ(Q-1R)<1),证明过程见文献[8].
给出雅可比正则分裂的形式:
(A)A=Q1-R1,其中Q1是A的对角矩阵.
如果满足:
则分裂(A)是正则的,且
证明过程见文献[9].
在有限差分法中,若:
则可以得到一个精确稳定的解.
若保持 k/h固定不变而让h→0,则存在一个 h0>0使得在 h≤h0时条件(i)～(iv)同时成立.
本文中系数矩阵A是一个 Toeplitz矩阵,现选择R.Chan优化循环预条件器[10]加快迭代过程中的收敛速度.预条件器C:
其中,是矩阵A中的元素,j=0,…,n-1.
在所有的 n阶循环矩阵中,C极小化 Frobenius范数‖C-T‖F,在这个意义下,C被视为A的一个近似矩阵.在预条件共轭梯度法下,每一次迭代都要计算矩阵向量积Ax和C-1y(x和y是n维向量),可以利用快速富里叶变换(FFT)快速计算.C可以被n阶离散富里叶矩阵对角化,即
其中
其中 ,τ=T-t,η=eσ2J-1,σ2m=σ2+mσ2J/τ,rm=r-λη+m log(1+η)/τ,VBS表示欧式看涨期权的价格.
用M atlab编程进行数值试验.在所有的实验中,式(22)的迭代停止时刻由前后两个迭代矩阵之间的差的l-范数决定,即当‖Vl+1-Vl‖ <ε时停止,这里取ε=10-8.
在M erton模型中用FD和BDF2对空间与时间进行差分,并用三对角分裂法处理 Toep litz矩阵,到期时刻 T=1,截断点 x＊=4,r=0,波动率σ=0.2,跳跃方差σJ=0.5,跳跃强度λ=0.1,协定价格 K=1,xK=log(K).结果为:
在M erton模型[12]下做数值实验,当μJ=0时,欧式看涨期权有解:
由表1和表2,随着差分节点数的增加,计算的误差越来越小,从空间差分节点数129开始,差分节点数每增加一倍,雅克比正则分裂迭代算法的计算误差就下降一个数量级,对于预条件共轭梯度法,当差分节点数从65增加到129时,计算误差下降了两个数量级,
而在节点数从129增加到1 025的过程中,误差都是在同一数量级内减少,这说明预条件共轭梯度法的收敛速度很快.从计算的精确度来说,雅克比正则分裂法和预条件共轭梯度法相差不大,但是从计算的速度来看,后者要比前者快.
本文讨论了当市场有跳跃时欧式期权定价的数值计算方法,期权的价格是一个PIDE方程的解,本文用差分法对这个方程进行离散,得到一个 Toep litz矩阵系统,本文用两种方法来处理这个系统,由表1和表2可以看出,二者在计算精度上差别不大,预条件共轭梯度法比雅可比正则分裂法的迭代结果误差更小些,而且迭代过程中的迭代次数更少,分析这些差别的原因,是由于预条件共轭梯度法对系数矩阵进行了处理,使系数矩阵的条件数减小,因而加快了迭代的收敛速度.
Keywords jump-diffusion model;finite differences;FFT algo rithm;European call op tion
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Abstract The paper assume that the p rice p rocessof the assets is a jump-diffusion p rocess,then,the valu
e of European op taon satisfies a general partial integro-differential equation(PIDE)under this assump tion.The equation was discretized by difference formula.The result was obtained by two iterative methods:Jacobi regular splitting method and p reconditioned conjugate gradient method.

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