Banach格上正则AM -紧算子的AL-空间
作者：程娜 李曦
来源：《科技资讯》 2013年第21期
    程娜  李曦
    (西华大学数学与计算机学院  四川成都  610039)
    摘 要：本文给出了格上所有从到的正则-紧算子空间在范数下是空间，当且仅当是空间，且是空间。
    关键词：格  紧算子  空间
    中图分类号：O177.2        文献标识码：A        文章编号：1673-3791(2013)07(c)-0029-02
    AL-space of positive AM-compact operators on Banach lattices
    Cheng Na  Li Xi
    (School of Computers and Mathematical Sciences, Xihua University,Chengdu Sichuan 610039,China)
    Abstract:We show that the space generated by all positive AM-compact operators from E into F,is an AL-space under thenorm if and only if E is an AM-space and F is an AL-space.
    Key Words:Banach lattices;AM-compact operator;AL-space
    假设为格，是的线性算子，如果将上每个序有界子集映到上的相对紧子集，则称为紧算子。Fremlin在1997年介绍了该算子[3]。1983年，Zaanen研究了格上紧算子共轭性质[4]。他证明了如果：是正则的紧算子，具有序连续范数，则是紧算子。相应地，如果具有序连续范数且是紧算子，则：是紧算子。2007年，B.Aqzzouz研究了格上正则紧算子的控制性质。他们得到如下结果：满足≤≤且是紧算子，算子是紧算子当且仅当具有序连续范数或是离散的[5]。2009年，B.Aqzzouz进一步考虑了正则紧算子空间的向量格。他们指出了是Dedekind完备的向量格当且仅当具有序连续范数或是离散的且是Dedekind完备的[6]。
    本文给出在范数下是空间的充要条件。
    假设为格，下面记 为到上所有正则紧算子空间，为到上所有紧算子空间。且记 ≥。Banach格是 ≥空间当且仅当。因此，格是空间当且仅当 。
    令，，则从到上的线性算子定义为。
正则匹配关键词    对于格及其上的算子理论可参考文献[1，2]。
    1  主要结果
    定理2.1假设和是两个非零的格,则在范数下是空间当且仅当是空间且是空间；
    　证明：（1）假设在范数下是空间。
    固定,且。令，算子和是正算子，且范数分别为和，这两个算子的和是，且范数为。因是空间，于是：
   
    因此，是一个空间。
    另一方面，固定,且。令，算子和是正算子，且范数分别等于和。这两个算子的和是，且范数为。因是空间，于是：
   
   
    因此，是空间，且是空间。
    下面假设是空间，是空间。令且取，则存在,且≤1，≥且≥.由于是空间，
    ≤1。且是空间，则:
   
    于是:
   
    则是一个空间。
    下面是同构的情况，详细的证明在此省略。
    定理2.2：设和是两个非零的Banach格，则具有范数的与空间同构的充要条件是是空间，是空间。
    参考文献
    [1]    Aliprantis,C.D.,Burkinshaw,O.,Positive Operators.Academic Press,New York,1985.
    [2]    Meyer-Nieberg,P.,Banach Lattices. Springer Verlag,Berlin,Heideberg,New York,1991.
    [3]    Fremlin,D.H., Riesz spaces with the order continuity property.I.Math.Proc.Cambridge Philos.Soc.1997，81（1）：31-42.
    [4]    Zaanen, A.C., Riesz Space II. North-Holland Mathematical Library 30, North-holland, Amsterdam, 1983.
    [5]    Aqzzouz,B.and Nouria,R.,Compactness properties of operators dominated by AM-compact operators.Proc.Amer.Math.Soc.2007,135(4)：1151-1157.
    [6]    Aqzzouz,B.,Eljadida S.,and Nouira R.,Kenitza,The order-complete vector lattice of AM-compact operators.Czechoslovak Mathematical Journal.,827-834.
    [7]    Chen Z.L.,and Wickstead A.W.,The order properties of r-compact operators on Banach lattices, Acta Math.Sinica.2007,23(3)：457-466.
    [8]    Chen Z.L.,and Wickstead A.W., Incompleteness of the linear span of the positive compact operators, Proc.Am.Math.Soc.,1997,125：3381-3389.
    [9]    Wickstead A.W., AL-space and AM-space of operators, Positivity,2000,4:303-311.

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