收稿日期:1999-08-01
作者简介：林　寿(1960-)，男，教授
3福建省自然科学基金资助课题(A97025)及福建省”百千万”人选培养资金资助课题
        　文章编号:1004-2911(1999)04-0241-07
《广义度量空间与映射》的正则性3
林　寿
(宁德师范高等专科学校数学系，福建宁德　352100)
  摘要：正则性是拓扑学中熟知的分离公理.分析了著作《广义度量空间与映射》中的正则性条件，获得了若干T 2空间中的广义度量定理，构造了几个反例说明某些众所周知的结论中正则性是必不可少的，提出了一些尚未解决的问题供探讨.
关键词：正则空间，广义度量空间，连续映射
中图分类号:O 189.11  　文献标识码:A
拓扑空间X 称为T 2空间或具有T 2分离性若对X 中任意不同的两点x 和y 存在X 的分别含有x 和y 的互不相交的开集U 和V ;X 称为正则空间或具有正则(分离)性若对X 的任意开集U 及U 中的任意点x 存在X 的含有x 的开集V 使得V 在X 中的闭包含于U 中.《广义度量空间与映射》一书所论空间至少是具有T 2分离性的拓扑空间，其中相当部分的结果附加了正则性[1].对拓扑空间分离性的探讨起源于本世纪初[2]，不少的广义度量空间论文或著作都要求所论的空间均具有正则性[2,3,4].存在具有可数基的不可度量化的空间说明了正则性对于广义度量理论的重要性，但象σ空间的g 函数刻画等一批经典的广义度量定理并没有使用正则性，许多的覆盖性质在不附加分离性的条件下更是获得了满意的特征，这促使我们重新全面地审视《广义度量空间与映射》中的正则性.
《广义度量空间与映射》中正则性的使用一方面是由于空间自身对正则性的要求而必须附加的条件，如g 可度量空间,(m odk )可度量空间,M i 空间,Τ0空间,Τ空间,cosmic 空间,k 半层空间,M oore 空间,σ空间等都设该空间是正则空间，但也有一些结果是可以在不附加正则性的条件下获得的.尽管正则性是一熟知的拓扑性质，我们还是获得了一些新认识，如证明了强Σ3空间是次仿紧空间，具有可数弱基的空间未必是可分度量空间的商紧映象等.
本文未特别说明的空间均指具有T 2分离性的拓扑空间，映射是连续的满函数，未指明出处的定义、命题、引理、定理、推论和例均指[1]中的相应结果.为了查与核对的方便各节中命题等的排列基本上按原书的顺序.
1　必不可少的正则性条件
本节列举《广义度量空间与映射》中几个使用正则性条件且不可减弱为T 2分离性的命题.为了保持原书命题的完整性，一
些与该命题相关的在T 2空间中成立的结论也一并列出.
1.1　定理1.3.2，定理
2.5.7，定理2.5.10，定理2.5.17，引理2.8.13，定理2.8.14.具有可数基的空间未必是正则空间.见4.1.
1.2　引理1.4.8，命题1.4.9(2)，命题1.4.11.σ闭离散空间未必具有G δ3对角线.见
412.
第11卷第4期          　宁德师专学报(自然科学版)
1999年11月      　Journal of Ningde T eachers C ollege (Natural Science )V ol 111　N o 14　N ov.1999
  1.3　定理1.7.7(1).具有点G δ性质的可数紧空间未必是第一可数空间
[5].1.4　推论2.8.3，推论2.8.5，推论2.8.7.可分度量空间的紧覆盖开映象未必是正则空间.见4.1.
1.5　定理
2.8.6，推论2.8.9.(5)Ζ(3)Ζ(2)Ζ(1)](4).(4)]/(1).具有局部可数k 网的空间未必具有局部可数cs 3网.见
3.1及
4.3.
1.6　定理
2.8.14.(7)Ζ(6)](4)Ζ(3)Ζ(2)Ζ(1)](5).(a )(4)]/(6).可分度量空间的开映象未必是正则空间;(b )(5)]/(1).具有局部可数k 网的Fr échet 空间未必具有局部可数cs 3网.见4.1及4.
3.
1.7　推论
2.9.15.(1)](2)](3).(3)]/(2).g 第二可数空间未必是可分度量空间的商π映象.见4.1及5.
3.
1.8　推论
2.9.16.(1)](2)](4)Ζ(5)Ζ具有局部可数cs 3网的g 第一可数空间](3).(a )(4)]/(2).具有局部可数弱基的空间未必是度量空间的商,π,ss 映象;(b )(3)]/(5).具有局部可数k 网的g 第一可数空间未必具有局部可数的cs 3网.见4.1,4.3及5.
3.
1.9　定理
2.10.7.(1)](2).(2)]/(1).度量空间(仿紧M 空间)的σ局部有限映象未必具有σ局部有限闭网(强6空间).见4.1.
1.10　定理3.1.4.(1)](4)Ζ(5)Ζ(6).(4)]/(1).具有点可数k 网的强Fr échet 空间未必具有点可数基.见3.2及4.3.
1.11定理3.
2.15.具有σ离散(m odk )网的空间未必是6空间.见4.1.
1.12命题3.3.18.(1)Ζ(2)Ζ(3)Ζ(4)α(5)Ζ空间X 具有σ闭包保持闭伪基.(4)]/(5).具有可数基的空间未必是半层空间.见4.1.
1.13推论3.5.3，定理3.5.4.可展空间未必存在p 序列.见4.3.
2　省略正则性条件
本节列举《广义度量空间与映射》中若干使用正则性条件但可减弱为T 2分离性的命题，这些结果的证明若没有指明出处则表明从原命题的证明过程中可见没有使用正则性.
2.1定理1.7.7(2).
2.2定理2.5.7.具有σ遗传闭包保持k 网的Fr échet 空间是La  nev 空间[6，定理1].
2.3推论2.8.7.空间X 具有可数k 网当且仅当X 是可分度量空间的序列覆盖(或紧覆盖，序列商)映象.见
3.1.
2.4推论
3.1.11.具有点可数p -k 网的强6空间具有σ局部有限闭网.见3.
4.
2.5定理
3.2.5.强63空间是次仿紧空间.见3.5.
2.6定理
3.2.15.具有σ离散闭(m odk )网Ζ(2)Ζ(3)Ζ(4).见3.6.
2.7命题
3.2.18.设f :X ϖY 是具有Lindel  f 纤维的闭映射.如果X 是强6空间，则Y 也是强6空间.见3.7.
2.8定理
3.3.1.具有σ离散闭网Ζ具有σ局部有限闭网Ζ具有σ闭包保持闭网ΖX 存在σ函数.
2.9推论
3.3.2.具有σ离散闭网Ζ(2)Ζ(3).
2.10命题
3.3.
4.所列映射保持具有σ离散闭网的空间.
2.11命题
3.3.5.具有G δ对角线的空间如果是具有σ局部有限闭网空间的完备逆映象・
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必具有σ局部有限闭网.(利用2.9)
2.12推论
3.3.6.具有G δ对角线的空间如果是具有可数网的空间的完备逆映象必具有可数网.(利用定理2.8.4，证明类似定理3.8.9)
2.13命题
3.3.11(3).具有G δ对角线的空间如果是半层空间的完备逆映象必是半层空间.见3.8.
2.14引理
3.3.13.若将f 加强为完备映射，则可不要求X 是正则空间.见3.9.
2.15推论
3.3.14(3).具有G δ对角线的空间如果是半度量空间的完备逆映象必是半度量空间.(利用3.8和3.9)
2.16定理
3.5.9(2).设f :X ϖY 是闭映射，其中X 是可展空间(具一致基的空间),Y 是第一可数空间，那么Y 是可展空间(具一致基的空间)[7，命题4的推论].
2.17定理
3.5.12.设f :X ϖY 是完备映射，其中Y 是可展空间(具一致基的空间),X 具有G δ对角线，那么X 是可展空间(具一致基的空间).(利用命题3.5.11,2.13和2.1)3　T 2空间中的一些广义度量定理
本节公布几个T 2空间中的广义度量定理，它们的证明将另文发表.
3.1定理　对于空间X ，下述条件相互等价:
(1)X 具有局部可数cs 3网.
(2)X 具有局部可数cs 网.
(3)X 具有局部可数紧有限分解网.
(4)X 是度量空间的紧覆盖ss 映象.(定理2.8.6)
3.2定理　对于空间X ，下述条件相互等价，且蕴含X 是第一可数空间.
(1)X 是具有点可数k 网的强Fr échet 空间.
(2)X 是具有点可数sk 网的k 空间.
(3)X 是具有点可数sk 网的c 空间.(定理3.1.4)
3.3定理　具有严格p 序列和点可数p -k 网的空间是可展空间.(命题3.1.8)
3.4定理　具有点可数p -k 网的强6空间具有σ局部有限闭网.(推论3.1.11)
3.5定理　对于空间X ，下述条件相互等价:
(1)X 是强63空间.
(2)X 是次仿紧的6
3空间.(3)X 是等紧的63空间.(定理3.2.5)
3.6定理　对于空间X ，下述条件相互等价:
(1)X 是强6空间.
(2)X 是次仿紧的6空间.
(3)X 是等紧的6空间.
(4)X 有σ离散闭(m odk )网.(定理3.2.15)
3.7　定理　设f :X ϖY 是具有Lindel  f 纤维的闭映射.如果X 是强6空间，则Y 也是强6空间.(命题3.2.18)
3.8　定理　设f :X ϖY 是完备映射.如果X 有G δ对角线且Y 是半层空间，那么X 是半层空间.(命题3.3.11(3))
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3.9　定理　设f :X ϖY 是闭映射,Y 是第一可数空间.若每一f -1(y )是X 的第一可数的紧子集，则X 是第一可数空间.(引理3.3.13)
3.10　定理　设f :X ϖY 是完备映射.如果Y 是次仿紧空间，则X 是次仿紧空间.(附录一命题3.2)
4　例
本节为第1节中关于正则性是必不可少的条件提供例子说明.
4.1例　R 的点无理扩张拓扑空间X[8，例69].
(1)X 不是正则空间.
(2)X 具有可数基.
(3)X 是可分度量空间的紧覆盖开映象.
(4)X 是度量空间的σ局部有限映象.
(5)X 不是可数亚紧空间.
(6)X 不是度量空间的商π映象.
证明　令Q 是实数集R 中的全体有理数,D =R \Q ,τ是R 的欧氏拓扑，在X =R 上赋
予点无理扩张拓扑(pointed irrational extension topology )τ3={{x}∪(D ∩U ):x ∈U ∈τ}，称(X ,
τ3)为点无理扩张拓扑空间.
文[8]已证明了X 是T 2，非正则，具有可数基的空间.由命题2.4.3,X 是可分度量空间的紧覆盖开映象.由定义2.10.1,X 是度量空间的σ局部有限映象.
为证明X 不是可数亚紧空间，我们引用Ishikawa [9]的可数亚紧空间的下述刻画：若{F n :n ∈N}是X 的递减的闭子集列且∩n ∈N F n = ，则存在X 的开子集列{G n :n ∈N}使得每一F n <G n 且∩n ∈N G n = .记Q ={r n :n ∈N}，对每一n ∈N ，令F n ={r i :i ≥n}，因为Q 是X 的离散子集,{F n :n ∈N}是X 的递减的闭子集列且∩n ∈N F n = ，若X 是可数亚紧空间，则
存在X 的开子集列{G n :n ∈N}使得每一F n <G n 且∩n ∈N G n = .对每一n ∈N 和x ∈F n ，存在U (n ,x )∈τ使得x ∈U (n ,x ),U (n ,x )∩{r i :i <n}= 且{x}∪(D ∩U (n ,x ))<G n ，于是U (n ,x )=(U (n ,x )∩Q )∪(U (n ,x )∩D )<G n ，从而有O n ∈τ使得F n <O n <G n ，因此∩n ∈N O n = ，这与τ是Baire 拓扑相矛盾，所以X 不是可数亚紧空间，于是X 也不是次仿紧空间.
若X 是度量空间的商π映象，由于X 是第一可数空间，则X 是度量空间的伪开π映象，再由定理2.9.11知X 是半度量空间，从而X 是次仿紧空间，矛盾.因此,X 不是度量空间的商π映象.
4.2例　Светличный空间X[10，引理3].
(1)X 不是正则空间.
(2)X 是σ闭离散空间.
(3)X 不具有G δ3对角线.
证明　我们介绍在[10，引理3]中Светличный把任意的恰有一个非孤立点的空间表示为一个具有σ闭离散空间的开紧映象的方法，构造所需要的空间.
取Y 是任一恰有一个非孤立点的不具有点G δ性质的T 2空间，记Y 的非孤立点为a 并让Z =Y \{a}，那么Z 是Y 的开离散子
空间.点a 在Y 中的邻域基元形如W (U )={a}∪U ，其中U <Z.定义集合X =Y ∪(Z ×{1,1/2,1/3,…})，并赋予X 如下拓扑：对每一n ∈N ,Z ×
・
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{1/n}是X 的开离散子空间；对每一z ∈Z ,z 的邻域基元形如W (n ,z )={z}∪{(z ,1/k ):k ≥n},n ∈N ;a 的邻域基元形如W (n ,U )={a}∪(∪{U ×{1/k}:k ≥n}),n ∈N 且W (U )是a 在空间Y 中的邻域基元.那么X 是非正则的T 2空间,Z 及每一Z ×{1/n}都是X 的闭离散子空间，于是X 是σ闭离散空间，从而X 是具有G δ对角线的次仿紧空间.
如果空间X 具有G δ3对角线，则有X 的开覆盖的序列{P n }使得{a}=∩n ∈N st (a ,P n )，那
么对每一n ∈N 存在点a 在X 中的某邻域基元W (k (n ),U n )使得a ∈W (k (n ),U n )∈P n ，因此{a}∈∩n ∈N W (U n )<∩n ∈N (W (k (n ),U n )∪W (U n ))=∩n ∈N (W (k (n ),U n )<∩n ∈N st (a ,P n )={a}，即{a}=∩n ∈N W (U n )，所以a 在Y 中具有点G
δ性质，矛盾.故空间X 不具有G δ3对角线性质.
4.3例　半园盘拓扑空间X[8，例78].
(1)X 不是正则空间.
(2)X 是可展空间.
(3)X 不是metalindel  f 空间.
(4)X 不具有点可数的cs 3网.
(5)X 具有局部可数且σ离散的k 网.
(6)X 不存在p 序列①.
证明　记τ是平面R 2的欧氏拓扑,S ={(x ,y ):x ,y ∈R ,y >0},L ={(x ,0):x ∈R}且
X =S ∪L.在X 上赋予半园盘拓扑(half -disc topology )τ3={τ1X }∪
{{x}∪(S ∩U ):x ∈L ,U ∈τ}，称(X ,τ3)为半园盘拓扑空间.
文[8]已证明了X 是T 2，非正则，可分，非Lindel  f ，第一可数空间.利用R 2的球形邻域易验证X 是可展空间.由于可分的metalindel  f 空间是Lindel  f 空间，所以X 也不是metalindel  f 空间，从而X 不具有点可数基，由定理3.1.4知X 不具有点可数的cs 3网.
X 具有局部可数且σ离散的k 网.对x ∈R 2,r >0，记B (x ,r )为(R 2,τ
)的中心在x 半径为r 的开球.置P ={{p}:p ∈L}∪{B (q ,1/n )∩S :q 的两个坐标均是有理数,n ∈N}.由于L 是X 的离散闭子集，所以P 是X 的局部可数且σ离散的集族，往证它是X 的k 网.设K 是X 的紧子集,U 是X 的包含K 的开子集.对每一x ∈X ，让{P ∈P :x ∈P <U}={P n (x ):n ∈N}，那么K 由{P n (x ):x ∈K,n ∈N}的某有限子集所覆盖.若不然，则存在K 中的序列{p n }使得对每一i ,j <n 有p n |P i (x j ).因为K 是第一可数的，存在{p n }的子序列{p n k }收敛于p ∈K，于是
存在P ∈P 和{p n k }的子序列T 使得T <P <U.事实上，由于L 是离散的，不妨设所有的p n k ∈S ，则在τ中p n k ϖp ，又由于{B (q ,1/n ):q 的两个坐标均是有理数,n ∈N}是τ的可数基，于是
存在两个坐标均是有理数的点q ，和自然数h ,m 使得{p}∪{p n k :k ≥h}<B (q ,1/m )<U ，从
而{p n k :k ≥h}<B (q ,1/m )∩S <U.因而，对某个i ,j ∈N 有P =P i (x j )，取n >i ,j 使得p n ∈P ，这是一个矛盾.因此P 是X 的k 网.
最后证明X 不存在p 序列.若不然，则存在X 的开覆盖列{U n }满足:Ξ对每一x ∈X ,n ∈N ，若x ∈U n ∈U n ，则
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①该性质由商丘师范高等专科学校的李克典副教授提供.
(a )D x =∩n ∈N U n 是X 的紧子集.
(b ){∩n ≤k U n ∶k ∈N}是D x 在X 中的网.
现在，取定x =(0,0)∈X ，对每一n ∈N ，存在x 在X 中的开集U n ∈U n ，取x 在X 中的基本开集{x}∪(S ∩B (x ,2r n ))<U n ，其中r n +1<r ，设x n =(x +r n ,0)，则x n ∈∩k ≤n U k ，于是从条件(a )和(b )知序列{x n }在X 中有聚点，这与{x n :n ∈N}是X 的闭离散子集相矛盾，从而X 不存在p 序列.
一些度量化定理是在T 1空间中建立的[2].但在T 1空间中我们也将失去一些很好的结果，如闭映射未必保持T 1仿紧性[11]，紧的可数的T 1空间未必具有可数基[12],T 1仿紧性不是F σ遗传的[13]，映满T 1空间的紧空间上的一对一映射未必是同胚映射等.最后举一例说明在T 1空间中一些众所周知的结果将不再成立.
4.4　例　存在完备映射f :X ϖZ 具有下述性质:
(1)X 是紧,T 1，非T 2，具有G δ对角线，不具有G δ3对角线的空间.
(2)Z 是紧度量空间.
证明　令I 是单位闭区间,X =I ×{0,1,1/2,1/3,……},Z =(I ×{1,1/2,1/3,……})∪{(0,0)}.X 的拓扑定义如下：对每一n ∈N ,I ×{1/n}具有欧氏拓扑，对每一a ∈I ，点(a ,0)的邻域基取为{(U ×{0})∪(I ×{1/k :k ≥n}):U 是a 在I 中的欧氏邻域,n ∈N}.Z 的
拓扑定义如下：对每一n ∈N ,I ×{1/n}具有欧氏拓扑，点(0,0)的邻域基取为{{(0,0)}∪(I ×{1/k :k ≥n}):n ∈N}.易验证空间X ,Z 具有所列性质.
正则匹配关键词定义f :X ϖZ 使得f (x ,y )=(x ,y ),y ≠0
(0,0),y =0，则f 是连续的闭映射且每一f -1(y )是X 的
紧度量子空间.与上述例子相关的在T 2空间中成立的一些著名定理有:
(1)具有G δ对角线的紧空间是可度量空间.(定理1.4.10)
(2)具有G δ对角线的空间如果是度量空间的完备逆象则也是度量空间.(定理2.2.10)5　存在问题
5.1　设f :X ϖY 是闭映射，其中X 具有点G δ性质,f 是否是序列商映射?(命题2.1.17(2))
5.2　遗传闭包保持集族的闭包是否仍是遗传闭包保持集族?(命题2.5.2)
5.3　可分度量空间的商π映象是否是可分度量空间的商紧映象?(推论2.9.15，推论2.
9.16)
5.4　具有可数(m odk )网的空间是否可表为可分度量空间的完备逆映象的连续象?(推论
2.10.8)
5.5　具有点可数p -k 网的次亚紧的ω
Δ空间是否是可展空间?(命题3.1.8)5.6　强6#(或次亚紧)、ωΔ空间是否具有严格p 序列?(定理3.5.4)
致谢：本文的主要内容是作者1998年9月至1999年7月在浙江大学数学系进修博士学位课程时完成的，作者对导师周友成教授的关心和帮助表示衷心的感谢.
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