亮度自适应的保熵直方图均衡化方法
陈文飞;许雪峰;苗作华;李康顺
【摘 要】直方图均衡化是一种简单有效的图像对比度增强技术,由于它无法保持图像的均值亮度和熵值,因此在实际工程中很少应用.提出了一种直方图规定化的新方法以避免直方图均衡化的缺点,该算法利用直方图均衡化的特点——使直方图分布尽可能均匀,通过变分法求出一个在熵值不变的约束下使得图像均值亮度最大化的直方图,最后将原始直方图转换成直方图规定化后的目标直方图.通过与已有方法HE/DSIHE/MMBEBHE/BPHEME比较,结果表明该方法不仅能够保持熵值,而且可以有效地增强图像对比度,可以用于消费型电子产品中.%Histogram Equalization (HE) is a simple and effective contrast enhancing technique, but it can't preserve the mean brightness and the entropy of the image, and hence is seldom suitable for actual application. This paper proposes a new method about histogram specification to overcome those drawbacks of HE. This method (EPHEMP) makes the histogram as flat as possible by the fundamental idea of HE, and by the variation algorithm, finds a suitable target histogram maximize the mean brightness under the constraint that th
e entropy is constant, at last transforms the original histogram to that target one by histogram specification. Comparing to the existing methods including HE, BBHE, DSIHE, MMBEBHE, and BPHEME, experimental results show that EPHEMP can not only preserve the entropy, but also enhance the contrast of the image effectively. And hence it is possible to be used for many commercial purposes such as consumer electronic products.
【期刊名称】《计算机工程与应用》
【年(卷),期】2012(048)016
【总页数】5页(P157-161)
【关键词】对比度增强;直方图均衡化;直方图规定化;变分法;保持熵值
【作 者】陈文飞;许雪峰;苗作华;李康顺
【作者单位】武汉大学计算机学院,武汉430072;成都东软学院计算机科学与技术系,成都61
1844;武汉科技大学资源与环境工程学院,武汉430081;华南农业大学信息学院,广州510642
【正文语种】中 文
【中图分类】TP391
1 引言
直方图均衡化是图像处理中一种增强对比度的标准技术[1]，其目的是为了改善低对比度图像的质量，便于图像和视频等内容的后期处理。直方图均衡化的基本思想是使图像的灰度级趋向于均匀分布，达到扩展图像的动态显示范围和增强图像对比度的目的。由于直方图均衡化方法简单有效，所以在图像对比度增强技术方面已经是应用最为广泛的技术之一。
基于直方图的图像对比度增强方法分为两类：全局方法和局部方法。全局方法是指在图像中通过单个直方图来构造全局映射函数；局部方法是指通过图像中每个像素的领域构造局部直方图，然后再构造对应的局部映射函数。为了避免传统直方图均衡化后造成图像过度增强的问题，许多学者提出了大量改进的直方图均衡化方法。例如：Kim[2]提出了均值分割的BBHE算法，Chen等[3]进一步提出递归均值分割直方图的RMSHE算法，Wang等[4]提
出了等面积的双子图像的DSIHE算法，在此基础上Sim等[5]提出了递归的RSIHE算法，Chen等[6]又提出最小均值误差的MMBEBHE算法。上述算法在某种程度上可以保持图像的均值亮度，但是它们无法很好地满足预期要求。最近直方图均衡化方法主要使用直方图平滑的方法[7-10]，或保持或提高图像的熵值，而传统的方法做不到这一点。
熵是图像中的信息度量，一般来讲取值越大表示图像中所含的细节信息越多。如果一幅图像在变换后熵值减小意味着丢失了信息，熵值增加意味着添加了多余的信息。从理论上讲，只有保证图像信息熵不变，才能保证图像信息量不变。所以在消费型和专业型电子产品上，保持熵值比保持图像的均值亮度更加重要。本文受到BPHEME算法中保持亮度求最大熵的思想启发，通过对BPHEME算法进行改进，提出了一种保持熵不变的直方图均衡化算法，以便更好地满足消费类电子产品对图像对比度增强的应用需求。
2 直方图规定化
许多图像处理和应用希望处理的图像具有预期的直方图形状，这种将处理后的图像具有指定所期望的直方图的过程称之为直方图规定化或直方图匹配[1]。因为可以将直方图看作是灰度级变量的概率密度函数，所以用连续变量看待直方图处理过程。
局部直方图均衡化
将灰度级r和z视为连续随机变量，其对应的连续概率密度函数分别为pr（r）和pz（z）。这里r和z分别表示输入和输出图像的各自的灰度级，pr（r）是已知输入图像的概率密度估计，而pz（z）是输出图像所希望具有的指定的概率密度函数[1]。
令s为一随机变量，其具有性质如下：
其中T是累积操作符，s是累积直方图（即变量r的分布函数）。
假设z为一定义的随机变量，其具有性质如下：
由上式（1）、（2）可以得到G（z）=T（r），那么z必须满足条件：
这是直方图规定化的理论基础。
在实际应用中通常是将每一个已知的输入灰度级r映射到输出灰度级z，一般取输入和输出的累积直方图之间的最近距离的z值作为输出，如下所示[11]：
这里D表示输入灰度级的范围[0，1]。
3 亮度自适应的保熵直方图均衡化
直方图均衡化是一种传统图像增强技术，其目的是通过分配等量的像素到每一个灰度级上以改善图像的可视化效果。直方图规定化是直方图均衡化的一种通用方式（或者说直方图均衡化是一种特殊的直方图规定化），也是一种将图像归一化为预期的PDF或者具备某种特性（均值亮度，能量或熵）的标准技术。
3.1 基本信息理论
在信息论中熵是用来表示系统复杂程度的度量指标。系统越复杂，则表示系统复杂性的熵就越大。为了在3.2正确引入“变分法”求解，这里先定义一下离散型和连续型随机变量的熵[12]。
定义1设X是一个离散型随机变量，其字母表（即概率中的取值空间）为D，概率密度函数为p（x）=Pr（X=x），x∈D。那么一个离散型随机变量X的熵H（X）定义为：
这里熵的单位用比特表示。
注意：熵实际上是随机变量X的分布的泛函数，并不依赖于X的实际取值，而仅仅依赖于其概率分布。
在数字图像中假设随机变量X有L（=256）个可能的取值，如果每个取值xi出现的概率为P（xi），则此时整幅图像的信息熵为：
定义2设X是一个连续随机变量，其累积分布函数为F（x）=Pr（X≤x）。如果F（x）是连续的，则称该随机变量是连续的。当F（x）的导数存在时，令（fx）=F（'x）。若，则称f（x）是X的概率密度函数。另外，使（fx）>0的所有x构成的集合称为X的支撑集（support set）。
定义3一个以密度函数f（x）的连续型随机变量X的微分熵或差熵（differential entropy）h（X）定义为：
其中S是该随机变量X的支撑集。
与离散形式一样，微分熵仅仅依赖于随机变量的概率密度，因此有时候将微分熵写成h（f）而不是h（X）。
在实际问题中，经常要使用到连续型随机变量。
为了区别于离散型随机变量的熵，称其为差熵或微分熵（Differential Entropy）。由于直接从离散熵的定义无法推导出微分熵（结果是趋于无穷大），因此微分熵与离散熵在概念上是不同的，它并不能精确地代表集合中事件出现的不确定性，只能作为连续分布随机变量不确定程度的一种相对度量。
引理1 Hb（X）=（logba）Ha（X）
引理1告诉我们可以改变定义中熵值的底。
定理1 如果随机变量X的密度函数f（x）是黎曼可积的，那么
根据引理1和定理1，基于数字图像可得离散熵与连续熵的关系式如下：
这里he（X）和H2（X）分别表示连续熵和离散熵。
3.2 本文方法
在消费型电子产品（例如数字电视/数码相机/扫描仪/个人媒体播放器等）中，尽管保持图像均值亮度是一项高要求，但是仍然可以在限制熵值的前提下尽量提高图像亮度。
根据以上认识，构造以下模型：
这里S=[0，1]是灰度级的归一化区间（或称之为支撑集），hr是输入图像的熵值。
显然这是一个欧拉——拉格朗日的最值优化问题。
因为这里是连续熵，取自然对数，则公式中的第3个约束条件将变形为：

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