基本初等函数乘积的不定积分
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  基本初等函数乘积的不定积分
  【课题论文】湖北省教育科学 十二五 规划2011年立项课题（项目编号2011B266）
  一、幂函数与指数函数乘积的不定积分
  1。 xnaxdx=ax ni=0(-1)i1(lna)i+1(xn)(i)+C。
  二、幂函数与对数函数乘积的不定积分
  2。 xnlogaxdx=xn+1(n+1)lnalnx-1n+1+C。
  三、幂函数与三角函数乘积的不定积分
  3。 xncosxdx= ni=0(xn)(i)(sinx)(i)+C。
  4。 xnsinxdx=- ni=0(xn)(i)(cosx)(i)+C。
  四、幂函数与反三角函数乘积的不定积分
  5。 xnarcsinxdx=1n+1xn+1arcsinx- xn+11-x2dx。
  6。 xnarccosxdx=1n+1xn+1arccosx+ xn+11-x2dx。
  其中：In+1= xn+11-x2dx(令x=sint可得)=-xn1-x2n+1+nn+1In-1, ,
  五、指数函数与对数函数乘积的不定积分
  7。 axlogbxdx=1lnbax i=0(-1)i1(lna)i+1(lnx)(i)+C。
  六、指数函数与三角函数乘积的不定积分
  8。 eaxcosbxdx=1a2+b2eax(bsinbx+acosbx)+C。
  9。 eaxsinbxdx=1a2+b2eax(bsinbx-acosbx)+C。
  七、指数函数与反三角函数乘积的不论文联盟定积分指数函数积分
  10。 axarcsinbxdx=ax i=0(-1)i1(lna)i+1(arcsinbx)(i)+C。
  11。 axarccosbxdx=ax i=0(-1)i1(lna)i+1(arccosbx)(i)+C。
  八、对数函数与三角函数乘积的不定积分
  12。 cosbxlnxdx= i=01bi+1(sinbx)(i)(lnx)(i)+C。
  13。 sinbxlnxdx=- i=01bi+1(cosbx)(i)(lnx)(i)+C。
  九、对数函数与反三角函数乘积的不定积分
  14。 arcsinxlnxdx=(lnx-1)(xarcsinx+1-x2)-ln1-1-x2x-1-x2+C。
  15。 arccosxlnxdx=(lnx-1)(xarccosx-1-x2)+ln1-1-x2x+1-x2+C。
  十、三角函数与反三角函数乘积的不定积分
  16。 sinxarcsinxdx=-cosxarcsinx+ cosx1-x2+C。
  17。 sinxarccosxdx=-cosxarccosx- cosx1-x2+C。
  18。 cosxarcsinxdx=sinxarcsinx- sinx1-x2+C。
  19。 cosxarccosxdx=sinxarccosx+ sinx1-x2+C。
  十一、幂函数与幂函数乘积的不定积分
  20。 xmxndx=1m+nxm+n+c(m+n -1), xmxndx=ln|x|+c(m+n=-1)。
  十二、指数函数与指数函数乘积的不定积分
  21。 axbxdx=axbxlna+lnb+C。
  十三、对数函数与对数函数乘积的不定积分
  22。 logaxlogbx=1lnalnb ln2xdx,
  ln2xdx=xln2x-2 lnxdx=xln2x-2xlnx+2x+C。
  十四、三角函数与三角函数乘积的不定积分
  23。 sinxsinxdx=12 （1-cos2x)dx=12x-14sin2x+C。
  24。 sinxcosxdx=12sin22x+c。
  25。 cosxcosxdx=12 (1+cos2x)dx=12x+14sin2x+C。
  十五、反三角函数与反三角函数乘积的不定积分
  26。 (arcsinx)2dx=x(arcsinx)2-2 xarcsinx1-x2dx=x(arcsinx)2+2 arcsinxd1-x2=x(arcsinx)2+21-x2?arcsinx-2x+C。
  27。 arcsinxarccosxdx= arccosxd(xarcsinx+1-x2)=arccosx(xarcsinx+1-x2)- xarcsinx+1-x21-x2dx=arccosx(xarcsinx+1-x2)-x+ arcsinxd 1-x2=arccosx(xarcsinx+1-x2)+1-x2arcsinx-2x+C。
  28。 (arccosx)2dx=x(arccosx)2+2 xarccosx1-x2dx=x(arccosx)2-2 arccosxd1-x2=x(arccosx)2-21-x2arccosx+2x+C。
  上面15种情况中：有11种情况（一、二、三、四、六、九、十一、十二、十三、十四、十五）的积分结果可以用初等函数表示出来，有4种情况（五、七、八、十）的积分结果不能用初等函数表示出来。
  例 求 x3(e-x+lnx+cosx)dx。
  解 x3(e-x+lnx+cosx)dx=e-x 3i=0(-1)i(x3)(i)(-1)i+1+x44lnx-14+ 3i=0(x3)(i)(sinx)(i)=-e-x(x3+3x2+6x+6)+x44lnx-14+(x3-6x)sinx+(3x2-6)cosx+c。
 
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