目    录
（一）含有b ax +的积分（1~9）·······················································1 （二）含有
b
ax +的积分（10~18） (5)
（三）含有22a x ±的积分（19~21） (9)
（四）含有)0(  2
>+a b ax 的积分（22~28） (11)
（五）含有)0(  2>++a c bx ax 的积分（29~30）········································14 （六）含有
)0(  22>+a a x 的积分（31~44）
.........................................15 （七）含有)0(  22>-a a x 的积分（45~58）.........................................24 （八）含有)0(  22>-a x a 的积分（59~72）.........................................37 （九）含有)0(  2>++±a c bx a 的积分（73~78） (48)
（十）含有        或))((x b a x --的积分（79~82）
...........................51 （十一）含有三角函数的积分（83~112）...........................................55 （十二）含有反三角函数的积分（其中0>a )（113~121）.......................68 （十三）含有指数函数的积分（122~131）..........................................73 （十四）含有对数函数的积分（132~136）..........................................78 （十五）含有双曲函数的积分（137~141）..........................................80 （十六）定积分（142~147） (81)
附录：常数和基本初等函数导数公式 (85)
b
x a x --±
- 1 -
（一）含有b ax +的积分（1~9）
C
b ax ln a
b ax dx b ax t C
t  ln a
dt
t
a b ax dx dt
a
dx ,adx dt t t b  ax a
b
x x b ax )x (f C b ax ln a
b ax dx .++⋅=++=+⋅==+∴=∴=≠=+-≠+=++⋅=+⎰⎰⎰⎰
1
1
1
1                1
)0(                }
|{ 1        1
1代入上式得：将，则令的定义域为被积函数证明：
C b ax μa dx b ax b ax t    C t μa dt
t a dx b ax dt
a
dx ,adx dt t b ax μC b ax μa dx b ax .μμ
μμμμμ++⋅+=++=+⋅+==+∴=∴==+-≠++⋅+=
++++⎰⎰⎰⎰111)()
1( 1)(
)
1( 1
1
)(                  1
,        1)
(      )()
1( 1
)(  2代入上式得：将则令证明：
()()()()()C  b ax  ln b b ax a
dx b ax x b ax t C
t  ln b t a
C
t  ln a b
a t                                      dt
t b
a
dt a                                      dt
t b 1a dt a ·t b t a dx b ax x  dt
a
dx    ,b t a x ,t  t b ax a
b
x |x b ax x )x (f C  b ax  ln b b ax a
dx b ax x .22222222++⋅-+=++=+⋅-=+⋅-=-=⎪⎭⎫指数函数积分
⎝
⎛-=-=+∴=-=≠=+-≠+=++⋅-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
1
1
11 11
1
1
1  )0(                  }
{        1
3代入上式得：将则令的定义域为被积函数证明：
- 2 -
C
b ax ln b b ax b b ax a dx b ax x C b ax ln a
b b ax d b ax a b dx b ax b a C b ax ln a
b x a b b ax d b ax a
b dx a b ax d b ax b
b ax a b dx b ax abx a C b ax a dx b ax a dx
b
ax b a dx b ax abx a dx b ax a dx
b ax b abx b ax a
dx b ax x C
b ax ln b b ax b b ax a dx b ax x +⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+⋅++-+=+++=++=+++-=++-=+-+=+++=++-+-+=+--+=++⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⋅++-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰  )( 2)(211          )(11              22                                  )
(1
22                                  )(221          )(21
)(1        121)(1                                )
2)(1          )( 2)(211  .422323
32
32222
32
3323321
2322
22222222232由以上各式整理得：证明：
C
x
b
ax ln b C b ax x
ln b C
b ax ln b x ln b )
b ax (d b ax b dx x b dx
b
ax b a dx x b dx )b ax (b a bx b ax x dx b a
b
Ab B Aa b
x a x b ax b ax B
x b ax x a
b
x |x b ax x )x (f C
x
b
ax ln b b ax x dx .++⋅-=++⋅=++⋅-⋅=++-=+-=+⋅-=+⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-==⇒⎩⎨⎧==+∴++=++=++=+⋅-≠+⋅=++⋅-=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
1                                              1                                              1
1                                            1
111                                            1
11]1[)(                  B 1A          10                    A B)(A B )A(1  , A )(1              }
{ )(1        1)(    5于是有则设的定义域为被积函数证明：b log b log a a -=-1 提示：
- 3 -
C x b ax ln b a bx C b ax ln b a bx x ln b a b ax d b ax b a dx x b dx x b a dx b ax b a dx x b dx x b a b ax x dx b a C b b a Bb aB Ab C Aa b aB Ab x a x Cx b ax b ax x b ax C x B x b ax x a b
x x b ax x x f C x b ax ln b a bx b ax x dx ++⋅+-=++⋅+-⋅-=++++-=+++-=+⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+=+∴=++++++++=+++=+⋅-≠+⋅=++⋅+-=+⎰
⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰
1                                                1                                                  )(1111                                              1111)(                  1B A          100                    1B )( C)(A                )B()( A 1    , A )(1                }|{ )
(1)(          1)(    .62222222
2
2222
2
222
22222于是有即则设的定义域为被积函数证明：
C b ax b b ax ln a C
b ax a b
b ax ln a b ax d b ax a b b ax d b ax a dx b ax a b dx b ax a dx b ax x a b
B a
B Ab Aa x B Ab a x b ax x b ax B
b ax A b ax x a b x |x b ax x )x (f C b ax b b ax ln a dx b ax x .+⎪⎭
⎫
⎝⎛+++=
++++⋅=++-++=+-+=+⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
-==⇒⎩⎨⎧=+=∴=++⋅++=+++=+-≠+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰
1                                                  )(  1                                                  )( )(1
)(11                                                  )(1
11)
(                    1A          01                      )(A
B )A(    ,)(  )(                  }{ )
(            1)(    72
222
22222
22
22于是有即则设的定义域为被积函数证明：
- 4 -
()C  b ax b  b ax  ln b b ax a dx b ax x b ax t C t b  t  ln b t a
C  t  ln a b t a t a b dt t a b dt a dt t a b dt t a bt t b dx b ax x  t a bt
t b t a t b b ax x dt a
dx    ,b t a x ,t  t b ax a b x |x b ax x )x (f C  b ax b  b ax  ln b b ax a dx b ax x .+⎪⎪⎭⎫  ⎝⎛+-+⋅-+=++=+-⋅-=+⋅-⋅+-=-+=-+=+∴-+=-=+∴=-=≠=+-≠+=+⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+-+⋅-+=+⎰
⎰
⎰⎰⎰⎰⎰
2
3222
33332332322322222
2222
222222232221)(                  )2(1
21                                            12112)(                    2)()(                      1
1  )0(                  }{)(        21)(  8代入上式得：将则令的定义域为被积函数证明：C
|x
b
ax |ln ·b b ax b                                      C
b ax ·b b||ax ln b
|x|ln b                                      dx b ax b a dx b ax b
a dx x
b b ax x dx b a D b a B b A          1Ab 0D Bb Aab 20Ba Aa  Ab D Bb Aab 2x Ba Aa x Dx Bbx Bax Aabx 2Ab x Aa                  Dx
b ax Bx b ax A 1 b ax D
b ax B x A b ax x a b
x |x b ax x )x (f C
|x
b
ax |ln b b ax b b ax x dx .2
222
2222222++-+=++++⋅-⋅=+-+-=+⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
-=-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==++=+∴+++++=+++++=++++=++
++=+-≠+=
++-+=+⎰⎰⎰⎰⎰2222
222222
22
1)(11
111)(1
111)(              1                )()(                  )()(            )()(1          }{)
(1      ·1)(1)
(  9于是有则设：的定义域为证明：被积函数

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