专题四  导数的简单应用及定积分
1．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为(  )．                  　
A.B.
C.D．1
答案：A[y′＝－2e－2x，曲线在点(0,2)处的切线斜率k＝－2，∴切线方程为y＝－2x＋2，该直线与直线y＝0和y＝x围成的三角形如图所示，其中直线y＝－2x＋2与y＝x的交点A，所以三角形面积S＝×1×＝，故选A.]
2．曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．
解析　曲线方程为y＝x3－x＋3，则y′＝3x2－1，又易知点(1,3)在曲线上，有y′|x＝1＝2，即在点(1,3)处的切线方程的斜率为2，所以切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.
答案　2x－y＋1＝0
3．设函数f(x)＝D是由x轴和曲线y＝f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则z＝x－2y在D上的最大值为________．
解析　当x＞0时，求导得f′(x)＝，所以曲线在点(1,0)处的切线的斜率k＝1，切线方程为y＝x－1，画图可知区域D为三角形，三个顶点的坐标分别为，(0，－1)，(1,0)，平移直线x－2y＝0，可知在点(0，－1)处z取得最大值2.
答案　2
4．计算定积分－1(x2＋sinx)dx＝________.
解析　－1(x2＋sinx)dx＝＝.
答案　
1．利用导数的几何意义求曲线的切线方程；考查定积分的性质及几何意义．
2．考查利用导数的有关知识研究函数的单调性、极值和最值，进而解(证)不等式．
3．用导数解决日常生活中的一些实际问题，以及与其他知识相结合，考查常见的数学思想方法．
首先要理解导数的工具性作用；其次要弄清函数单调性与导数符号之间的关系，掌握求函数极值、最值的方法步骤，对于已知函数单调性或单调区间，求参数的取值范围问题，一般先利用导数将其转化为不等式在某个区间上的恒成立问题，再利用分离参数法求解.
必备知识
导数的几何意义
(1)函数y指数函数积分＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．
(2)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
(3)导数的物理意义：s′(t)＝v(t)，v′(t)＝a(t)．
基本初等函数的导数公式和运算法则
(1)基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c
f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈R)
f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a＞0且a≠1)
f′(x)＝axln a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a＞0且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝
(2)导数的四则运算法则
①[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)；
②[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)；
③′＝(v(x)≠0)．
(3)复合函数求导
复合函数y＝f(g(x))的导数和y＝f(u)，u＝g(x)的导数之间的关系为yx′＝f′(u)g′(x)．
利用导数研究函数单调性的一般步骤
(1)确定函数的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数y＝f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)＞0
或f′(x)＜0；②若已知y＝f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解．
求可导函数极值的步骤
(1)求f′(x)；
(2)求f′(x)＝0的根；
(3)判定根两侧导数的符号；
(4)下结论．
求函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤
(1)求f′(x)；
(2)求f′(x)＝0的根(注意取舍)；
(3)求出各极值及区间端点处的函数值；
(4)比较其大小，得结论(最大的就是最大值，最小的就是最小值)．
必备方法
1．利用导数解决优化问题的步骤
(1)审题设未知数；(2)结合题意列出函数关系式；(3)确定函数的定义域；(4)在定义域内求极值、最值；(5)下结论．
2．定积分在几何中的应用
被积函数为y＝f(x)，由曲线y＝f(x)与直线x＝a，x＝b(a＜b)和y＝0所围成的曲边梯形的面积为S.
(1)当f(x)＞0时，S＝ f(x)dx；
(2)当f(x)＜0时，S＝－ f(x)dx；
(3)当x∈[a，c]时，f(x)＞0；当x∈[c，b]时，f(x)＜0，则S＝ f(x)dx－ f(x)dx.
常考查：①根据曲线方程，求其在某点处的切线方程；②根据曲线的切线方程求曲线方程中的某一参数．可能出现在导数解答题的第一问，较基础．
【例1】已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0，求a、b的值．
[审题视点] 　
[听课记录]
[审题视点]求f′(x)，由可求．
解f′(x)＝－，
由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1,1)，
故即
解得a＝1，b＝1.
函数切线的相关问题的解决，抓住两个关键点：其一，切点是交点；其二，在切点处的导数是切线的斜率．因此，解决此类问题，一般要设出切点，建立关系——方程(组)．其三，求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异．过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上；在点P处的切线，点P是切点．
【突破训练1】 直线y＝2x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b＝________.
解析　切线的斜率是2，根据导数的几何意义可以求出切点的横坐标，进而求出切点的坐标，切点在切线上，代入即可求出b的值．y′＝，令＝2得，x＝，故切点为，代入直线方程，得ln＝2×＋b，所以b＝－ln 2－1.
答案　－ln 2－1
常考查：①利用导数研究含参函数的单调性问题；②由函数的单调性求参数的范围．尤其是含参函数单调性的研究成为高考命题的热点，主要考查学生的分类讨论思想，试题有一定难度．
【例2】已知函数f(x)＝x＋(a∈R)，g(x)＝ln x．求函数F(x)＝f(x)＋g(x)的单调区间．
[审题视点] 　
[听课记录]
[审题视点] 确定定义域→求导→对a进行分类讨论→确定f(x)的单调性→下结论．
解　函数F(x)＝f(x)＋g(x)＝x＋＋ln x的定义域为(0，＋∞)．
所以f′(x)＝1－＋＝.
①当Δ＝1＋4a≤0，即a≤－时，得x2＋x－a≥0，则f′(x)≥0.
所以函数F(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②当Δ＝1＋4a＞0，即a＞－时，令f′(x)＝0，得x2＋x－a＝0，
解得x1＝＜0，x2＝.
(1)若－＜a≤0，则x2＝≤0.
因为x∈(0，＋∞)，所以f′(x)＞0，
所以函数F(x)在(0，＋∞)上单调递增．
(2)若a＞0，则x∈时，f′(x)＜0；
x∈，＋∞时，f′(x)＞0.
所以函数F(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增．
综上所述，当a≤0时，函数F(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
当a＞0时，函数F(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.

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