第一节二重积分的概念与性质
第一篇：第一节二重积分的概念与性质
第九章重积分
第一节 二重积分的概念与性质
与定积分类似，二重积分的概念也是从实践中抽象出来的，它是定积分的推广，其中的数学思想与定积分一样，也是一种“和式的极限”.所不同的是：定积分的被积函数是一元函数，积分范围是一个区间；而二重积分的被积函数是二元函数，积分范围是平面上的一个区域.它们之间存在着密切的联系，二重积分可以通过定积分来计算.内容分布图示
★ 曲顶柱体的体积
★ 非均匀平面薄片的质量
★ 二重积分的概念
★ 二重积分的性质
★ 例
指数函数积分1★ 例
4★ 内容小结
★习题9-1
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★ 二重积分的中值定理 ★ 例2★ 例3 ★ 例5 ★ 课堂练习
内容要点：
一、二重积分的概念
引例1 求曲顶柱体的体积； 引例2 求非均匀平面薄片的质量二重积分的定义二、二重积分的性质
性质1—性质6
二重积分与定积分有类似的性质.性质1  [ f(x,y)  g(x,y)]d    f(x,y)d    g(x,y)d .DDD
性质2 如果闭区域D可被曲线分为两个没有公共内点的闭子区域D1和D2, 则
  f(x,y)d    f(x,y)d    f(x,y)d .DD1D
2这个性质表明二重积分对积分区域具有可加性.性质3 如果在闭区域D上, f(x,y) 1, 为D的面积, 则
  1 d    d  .DD
这个性质的几何意义是: 以D为底、高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积.性质4 如果在闭区域D上, 有f(x,y) g(x,y),则
  f(x,y)d    g(x,y)d .DD
特别地, 有  f(x,y)d    |f(x,y)|d .DD
性质5 设M,m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值,  为D的面积, 则
m    f(x,y)d  M .D
这个不等式称为二重积分的估值不等式.例题选讲：
二重积分的性质
(x例1不作计算，估计I  e
D2 y2)d 的值，其中D是椭圆闭区域：
x2
a2 y2b2 1(0 b a).例2（讲义例1）估计二重积分I  Dd x y 2xy 1622的值, 其中积分区域D为矩形
闭区域{(x,y)|0 x 1,0 y 2}.例3判断
r x y 1ln(x2 y2)dxdy的符号.例4积分  D x2 y2dxdy有怎样的符号, 其中 D:x2 y2 4.例5（讲义例2）比较积分  ln(x y)d 与  [ln(x y)]2d 的大小，其中区域D是三
DD
角形闭区域，三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0).课堂练习
1.将二重积分定义与定积分定义进行比较, 出它们的相同之处与不同之处.2.试用二重积分表示极限lim
  en  n2i 1j 11nni2 j2n2.
第二篇：第一节 二重积分的概念与性质09-3-30
第九章 重积分
第一节 二重积分的概念与性质
教学目的:理解并掌握二重积分的概念;几何意义;二重积分存在的条
件.熟练掌握二重积分的性质;
能正确运用性质进行判断、计算与证明.重点: 二重积分的性质的运用.难点: 运用性质判断与
计算.教学方法:直观教学,讲练结合.教学过程:
一、二重积分的概念与几何意义
1、【定义】: 设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域
其中  i表示D D任意分成n个小闭区域  1，  2, ，  n，第i个小闭区域，也表示它的面积，在每个  i上任取一点( i, i)，作乘积f( i, i)  i，(i 1,2, ,n)，并作和n f( , )  ii
i 1i，如果当各小闭区域的直径di中的最大值  max{di} 0时，这和 1 i n
式lim  0 f( , )  的极限存在，且此极限与小区间  iii
i 1ni的分法
以及点( i, i)的取法无关，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D 上的二重积分，记为
f(x,y)d ，即
D
f( , )  .  f(x,y)d  lim
D
0
i
i
i
i
1n
其中：① f(x,y)称为被积函数, ② f(x,y)d 称为被积表达式,③ x,y称为积分变量, ④ d 称为面积元素, ⑤ D称为积分区域,⑥
n
f( , )  称为积分和.i
i
i
i 12、面积元素d
在直角坐标系下用平行于坐标
轴的直线网来划分区域D,则面积元 素为 d  dxdy
故二重积分可写为
D
D
  f(x,y)d
3、【二重积分存在定理】 设f(x,y)是有界闭区域D上的连续函数,则二重积分
  f(x,y)d 存在.D4、二重积分的几何意义
0时,二重积分(1)当被积函数f(x,y)
  f(x,y)d
D
表示以
f(x,y)为顶,以D为底面的曲顶柱体的体积．
(2)当被积函数f(x,y) 0时,二重积分表示曲顶柱体体积的相反数．
二、二重积分的性质
假设被积函数在有界闭区域D上连续.1．2．
  kf(x,y)d  k  f(x,y)d ,k为常数.D
D
  [f(x,y) g(x,y)]d    f(x,y)d    g(x,y)d .D
D
D
二重积分的线性性：设 , 为常数则上述两式合并为
  [ f(x,y)  g(x,y)]d
D
    f(x,y)d    g(x,y)d .D
D
3．(二重积分对区域可加性)
  f(x,y)d    f(x,y)d    f(x,y)d ,(D D D
D
D
1D
2).4．
  d  ,  为D的面积.D
．(积分不等式)若f(x,y) g(x,y),则
  f(x,y)d    g(x,y)d .D
D
注意：若在D上f(x,y) g(x,y)但等号不是恒成立，则有
  f(x,y)d    g(x,y)d .D
D
推论:
  f(x,y)d   
D
D
f(x,y)d .6.【积分估值定理】设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大
值和最小值，则 m 
  f(x,y)d  M .其中 为D的面积.D
7.【积分中值定理】设函数f(x,y)在闭区域D上连续，则在D上至 少存在一点( , )使得
d  f(x,y)
D
. 为D的面积.f ( , )
8．设区域D D1 D2，且D1与D2关于x轴对称；
（1）当f(x,y)关于y是偶函数即 f(x,－y)＝f(x,y)时，有
  f(x,y)d  2  f(x,y)d .D
D
1当f(x,y)关于y是奇函数时即f(x,－y)＝ f(x,y)时，有
  f(x,y)d  0.D
(2)类似有设区域D D1 D2，且D1与D2关于y轴对称； 当f(x,y)关于x是偶函数时即f( x,y)＝f(x,y)时，有
  f(x,y)d  2  f(x,y)d .D
D1
当f(x,y)关于x是奇函数时即f( x,y)＝ f(x,y)时，有

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