傅⾥叶变换相关公式
在学习⾼数的时候，就接触了傅⾥叶变换。也就记得是将⼀些周期函数表⽰成⼀系列三⾓函数的叠加，不是很理解这个变换的具体意义，就是觉的挺神奇的，可以求⼀些特殊的积分什么之类的。
到了学习信号与系统的时候，离散序列也可以傅⾥叶变换，还有⼀个叫离散傅⾥叶变换，那时学得很草，考完试之后都混在⼀起，不知道谁是谁了。
关于什么是傅⾥叶变化，⽹上有很多⼤佬写的很好。这⾥我也不打算科普（毕竟墨⽔不多，想吐也吐不出来），主要⽬的还是⽅便⾃⼰⽇后复习，省去翻书查看公式。
粗略地介绍下，傅⾥叶转化具体可以包含3个⼤类：
1. CTFS和CTFT 连续（C）时间（T）傅⾥叶（F）系数（S）/ 变换（T）
2. DTFS和DTFT 离散（D）时间（T）傅⾥叶（F）系数（S）/ 变换（T）
3. DFS和DFT 离散（D）傅⾥叶（F）系数（S）/ 变换（T）
这些英⽂缩写值得记忆的，也能够帮助我们好好理解。
⽬录
连续时间傅⾥叶系数/变换
周期的连续信号的CTFS
对象：连续的周期信号\(f(t)\)，同时得满⾜Dirichlet条件
表达公式：
三⾓形式（⾼数学的）
\[\begin{aligned} f(t) &= a_0 + \sum_{k=1}^{\infty}(a_n \cos{k\Omega t}+b_n\sin{k\Omega t})\\ a_0 &= \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}f(t)dt\\ a_k &= 2\cdot\frac{1}{T}\int_{-
T/2}^{T/2}f(t)\cos{n\Omega t}dt\\ b_k &= 2\cdot\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}{f(t)\sin{n\Omega t}}dt\\ \end{aligned} \]
复指数形式（更加通⽤形式）
\[\begin{aligned} f(t) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty}F_n e^{jn\Omega t}\\ F_n &= \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/
2}f(t)e^{-jn\Omega t}dt\\ \end{aligned} \]
两种形式可以相互转化，当\(n > 0\)的时候，\(F_n = \frac{1}{2}(a_n - jb_n)\)；当\(-n < 0\)时，\(F_{-n} = \frac{1}{2}(a_n + jb_n)\)。此式当\(n=0\)时\(F_0 = a_0\)。
⾮周期的连续信号的CTFT
对象：⾮周期的连续信号，同样得满⾜Dirichlet条件
表达公式：
设对⼀个⾮周期的连续信号\(f(t)\)的DTFT记为\(\mathscr F[f(t)]\)，则有
\[\begin{aligned} F(w)=\mathscr{F}[f(t)] &= \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-jwt} dt\\ \mathscr{F}^{-1}[F(w)] &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(w)e^{jwt}dw \end{aligned} \]
推导：
基本的思路是⽤⼀个周期⽆限长的信号来代替⾮周期信号，当周期⾜够长时可以忽略这种近似带来的影响。
1. 假设\(f(t)\)是⼀个有限的连续⾮周期信号，对它进⾏⼀个周期延拓得到⼀个周期函数\({f_T(t)}\)；
2. 对\({f_T(t)}\)进⾏DTFS，有\(\displaystyle f_T(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}F_n e^{jn\Omega t}\)，⽽\(\displaystyle F_n = \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-jn\Omega
t}dt=\frac{1}{T}F(n\Omega)\)；
3. 当\(T\to +\infty\)时，这种⽤”⽆限的周期信号“近似代替”有限的⾮周期信号“的影响就会越⼩，此时\(\Omega=\frac{2 \pi}{T}\to 0\)，可记为⼀个微分\(\Delta w\)，同时\
(n\Delta w\)可以看出⼀个连续量\(w\)，累加运算转化为积分运算，于是有
\[\begin{aligned} f(t) &= \lim_{T\to +\infty} f_T(t)\\ &= \lim_{T\to +\infty} \sum_{n=-\infty}^{\infty}F_n e^{jn\Omega t}\\ &= \lim_{T\to +\infty} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{\Delta w}{2\pi}F(n\Delta w) e^{j\Delta w t}\\ &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(w)e^{jwt}dw\\ F(w) &= \lim_{T\to +\infty} \int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-jn\Omega t}dt\\ &= \lim_{T\to +\infty} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) e^{-jwt} dt\\ &= \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-jwt} dt\\ \end{aligned} \]
也就是说，求⼀个信号\(f(t)\)的频谱\(F(w)\)，实际上与频率/旋转因⼦\(e^{-jwt}\)做⼀个积分，积分对象是时域上的\(t\)；反变换同样也是⼀个积分，积分对象是频域上的\(w\)。
周期信号的DTFT
周期信号的DTFT的推导需要⽤到⼀个傅⾥叶变换对\(\mathscr F(e^{jw_0t})=2\pi \delta(w-w_0)\)，则有
\[\begin{aligned} \mathscr{F}[f_T(t)] &= \mathscr{F}\Big( \sum_{n=-\infty}^{\infty}F_n e^{jn\Omega t}\Big)\\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty}F_n \mathscr{F}(e^{jn\Omega t})\\ &= 2\pi \sum_{n=-\infty}^{\infty}F_n \delta(w-n\frac{2\pi}{T}) \end{aligned} \]
可见，有周期的连续信号在频域上是⼀系列的冲激函数之和，即在频域上是离散的。
离散时间傅⾥叶系数/变换
周期序列的DTFS
对象：周期的离散序列，⽆限长的序列必须绝对可和（和收敛）
表达公式：⽤⼀系列周期的复指数信号之和表⽰周期的离散序列
\[\begin{aligned} x_N(n) &= \sum_{k=<N>} a_k e^{jk\frac{2\pi}{N}n}\\ a_k &= \frac{1}{N}\sum_{n=<N>} x_N(n) e^{-jk\frac{2\pi}{N}n} \end{aligned} \]
其中\(a_k\)即为离散时间傅⾥叶系数（DTFS），注意符号\(\displaystyle\sum_{n=<N>}\)表⽰的是序列长度为\(N\)，但是起点可以任意起，通常我们取\(n=0,1, \cdots ,N-1\)。值得注意的是，\(a_k\)也是周期的，也是离散的。
复指数函数⼀定是周期函数，但是复指数序列\(e^{j\Omega n}\)不⼀定是周期序列，易证当\(\Omega\)为\(2\pi\)的有理数倍的时候才为周期序列。
⾮周期序列的DTFT
对象：有限长的⾮周期序列
表达公式：
设⼀有限的离散⾮周期序列的DTFT为\(\mathscr{F}[x(n)]\)，则有
\[\begin{aligned} \mathscr{F}[x(n)] &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)e^{-jwn}\\ \mathscr{F}^{-1}[X(w)] &= \frac{1}{2\pi}\int_{2\pi} X(w)e^{jwn}dw\\ \end{aligned} \]
因为\(x(n)\)是有限长度的，因此它的DTFT是复指数函数之和，也是⼀个连续的周期函数。与CTFT不同的是，DTFT是累加运算，但IDTFT仍是积分，但限制在\(2\pi\)的区间内。推导：
与周期信号的思路⼀致，⽤⽆限周期的离散序列来近似代替有限的⾮周期离散序列。
1. 设⼀个有限的⾮周期序列\(x(n)\)，进⾏周期延扩得到\(x_N(n)\)；
2. 对\(x_N(n)\)进⾏DTFS，有\(\displaystyle x_N(n) = \sum_{k=-N/2}^{N/2-1} a_k e^{jk\frac{2\pi}{N}n}\)，其中\(\displaystyle a_k = \frac{1}{N}\sum_{n=-N/2}^{N/2-1} x_N(n)
e^{-jk\frac{2\pi}{N}n}=\frac{1}{N}X(\Omega k)\)；
3. 当\(N\to +\infty\)，\(\Omega = \frac{2\pi}{N}\to 0\)可记为微分\(\Delta w\)，离散量\(\Delta w k\)变为连续量\(w\)，累加变为积分，即
\[\begin{aligned} x(n) &= \lim_{N\to+\infty}x_N(n)\\ &= \lim_{N\to+\infty}\sum_{k=-N/2}^{N/2-1} a_k e^{jk\Omega n}\\ &= \lim_{N\to+\infty}\sum_{k=-N/2}^{N/2-1} \frac{\Delta w}{2\pi}X(\Delta w k) e^{jk\Omega n}\\ &= \frac{1}{2\pi}\int_{2\pi} X(w)e^{jwn}dw\\ X(w) &= \lim_{N\to+\infty}\sum_{n=-N/2}^{N/2-1} x_N(n) e^{-jk\Omega n}\\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)e^{-jwn} \end{aligned} \]
周期序列的DTFT
根据变换对\(\mathscr{F}(e^{j\Omega_0 n})=\delta(w - \Omega_0)\)，则对于周期序列\(x_N(n)\)，有
\[\begin{aligned} \mathscr{F}(x_N(n)) &= \mathscr{F}(\sum_{k=<N>} a_k e^{jk\Omega n})\\ &= \sum_{k=<N>} a_k\mathscr{F}(e^{jk\Omega n})\\ &= \sum_{k=<N>} a_k\delta(w-k\Omega) \end{aligned} \]
可见，周期离散序列的DTFT在频域上是⼀系列的冲激函数，冲激强度由DFTS的值确定，同时具有周期性。
离散傅⾥叶系数/变换
实际中我们处理得更多的是离散的、有限长的信号，对离散序列进⾏DTFT得到的频谱却是连续的，计算机是不能直接进⾏处理的。在上信号与系统⽼师⼀直强调，时域上的离散性对应频域上的周期性，时域上的周期性对应频域上的离散性。因此，有⼀个很⾃然的想法，就是对时域上的有限序列进⾏周期延拓，这样频域上的数据不也是离散的吗？这就是DFT的基本思想，问题的关键是：这种⽅法好不好呢？准不准呢？
指数函数积分周期序列的DFS
对象：周期序列
说明：DFS可以从DTFS中推导出来，或者说DFS其实是DTFS的另⼀种形式（多乘了个周期）
表达式：
\[X_N(k) = \rm{DFS}(x_N(n))=Na_k = \sum_{n=<N>} x_N(n) e^{-jk\frac{2\pi}{N}n}\\ x_N(n) = \frac{1}{N} \sum_{k=<N>} X_N(k) e^{jk\frac{2\pi}{N}n} \]
⾮周期序列的DFT
DFT的基本原理：
1. \(x(n)\)进⾏周期延扩得到\(x_N(n)\)，这样时域的周期反映到频域上的离散；
2. 对\(x_N(n)\)进⾏DFS得到\(X_N(k)\)，这样时域上的离散反映到频域上的周期；
3. 取\(X_N(k)\)⼀个周期的值，得到的就是DFT，即
\[X(k)=\rm{DFT}[x(n)] = \sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-jk\frac{2\pi}{N}n},0 \le k \le N-1\\ x(n) =IDFT[X(k)]= \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} X(k) e^{jk\frac{2\pi}{N}n}, 0 \le n \le N-1\\ \]
DFT可以看成是⼀个连续函数在时域上和频域上都被采样，由采样定理可知，当对DFT和离散序列乘以相应的采样函数即可得到原函数，也就是说DFT可以看出CTFT 的⼀个近似。同时，对于⼀个确定的\(x(n)\)可以唯⼀延拓成唯⼀的\(x_N(n)\)，因此DFT是惟⼀的。
总结
1. 是指满⾜绝对可积、有限的极值点和间断点的函数

版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。