2。基本积分公式表
　
(1)∫0dx=C
(2)=ln｜x|+C
（3） (m≠-1，x〉0）
(4）  (a〉0，a≠1）
（5）
(6)∫cosxdx=sinx+C
（7）∫sinxdx=—cosx+C
(8)∫sec2xdx=tanx+C
（9）∫csc2xdx=-cotx+C
（10)∫secxtanxdx=secx+C
（11）∫cscxcotxdx=—cscx+C 
(12)=arcsinx+C
（13)=arctanx+C
注．（1）不是在m=-1的特例．
（2）=ln|x|+C ,ln后面真数x要加绝对值，原因是(ln|x｜)’ =1/x．
事实上，对x〉0,(ln｜x｜)’ =1/x；若x〈0,则
（ln|x｜)' =(ln（—x))’ =。
(3)要特别注意与的区别：前者是幂函数的积分，后者是指数函数的积分． 
下面我们要学习不定积分的计算方法，首先是四则运算．
3.不定积分的四则运算
　
根据微分运算公式
d(f(x)±g（x））=df(x）±dg(x）
d(kf(x))=kdf（x)
我们得不定积分的线性运算公式
（1)∫[f(x）±g（x）]dx=∫f（x）dx±∫g（x）dx
(2)∫kf(x)dx=k∫f(x）dx,k是非零常数.
现在可利用这两个公式与基本积分公式来计算简单不定积分．
例2。5。4求∫（x3+3x++5sinx－4cosx）dx
解.原式=∫x3dx+∫3xdx+7∫dx+5∫sinxdx－4∫cosxdx
= +7ln｜x｜－5cosx－4sinx+C .
注。 此例中化为五个积分，应出现五个任意常数，它们的任意性使其可合并成一个任意常数C ,因此在最后写出C指数函数积分 即可．
例2.5.5求∫（1+）3dx
解。原式=∫（1+3+3x+)dx
=∫dx+3∫dx+3∫xdx+∫dx
=x+3+C
=x+2x++C .
注.∫dx与∫1dx是相同的，其中1可省略．
例2。5.6求
解.原式=
=
=－x+arctanx+C 。
注.被积函数是分子次数不低于分母次数的分式，称为有理假分式．先将其分出一个整式x2－1，余下的分式为有理真分式，其分子次数低于分母的次数．
例2。5。7求 。
解。原式=
=∫csc2xdx－∫sec2xdx=－cotx－tanx+C .
注。利用三角函数公式将被积函数化简成简单函数以便使用基本积分公式.
例2。5.8求 .
解.原式=
=+C .
为了得到进一步的不定积分计算方法,我们先用微分的链锁法则导出不定积分的重要计算方法¾¾换元法。
思考题.被积函数是有理假分式时，积分之前应先分出一个整式，再加上一个有理真分式，一般情形怎样实施这一步骤？
4。第一换元法(凑微分法）
　
我们先看一个例子：
例2.5。9求 .
解.因(1+x2）' =2x，与被积函数的分子只差常数倍数2，如果将分子补成2x，即可将原式变形:
原式=            　(令u=1+x2）
=. (代回u=1+x2)
注。此例解法的关键是凑了微分d（1+x2）．一般地
在F ’(u）=f（u）,u=j（x)可导,且j' (x)连续的条件下,我们有
第一换元公式（凑微分)：
                                                        u=j （x）      积分  代回 u=j （x）
∫f［j（x)]j’ (x）dx =∫f[j（x）]dj（x）=∫f(u)du=F(u)+C=F［j(x)]+C
其中函数j(x)是可导的,且F(u)是f（u)的一个原函数．
从上述公式可看出凑微分法的步骤：
 
凑微分————→换元—-——→积分————→再换元
j’ （x）dx=dj（x）  u=j（x）      得F（u)+C      得F[j（x)]+C
　
注。凑微分法的过程实质上是复合函数求导的链锁法则的逆过程．事实上，在
F '(u)=f（u）的前提下,上述公式右端经求导即得:

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