matlab符号及其运算（2）
1.嵌套符号表达式
horner函数实现对符号表达式进⾏嵌套
R = horner(P)：P为待嵌套的符号表达式，R为嵌套后的符号表达式
>> syms x y
>> horner(x^3 - 6*x^2 + 11*x - 6)
ans =
x*(x*(x - 6) + 11) - 6
>> horner([x^2 + x;y^3 - 2*y])
ans =
x*(x + 1)
y*(y^2 - 2)
2.分解符号表达式
factor函数⽤于实现符号表达式的分解
factor(X)：X为多项式或多项式矩阵，系数是有理数，X最后表⽰成有理数低阶多项式相乘的形式，如果不能有理数范围内因式分解，则会返回X本⾝。
>> syms x y
>> factor(x^3 - y^3)
ans =
(x - y)*(x^2 + x*y + y^2)
>> factor(sym('12345678901234567890'))
ans =
2*3^2*5*101*3541*3607*3803*27961
3.化简符号表达式
根据⼀定的规则对符号表达式进⾏化简，函数为simplify
simplify(S)：输⼊参数S为符号表达式或符号矩阵
simplify(S,Name,Value)：指定⼀个符号表达式的属性名及对应的属性值，并对矩阵或表达式进⾏化简
>> % 对符号表达式进⾏化简
>> syms x a b c
>> simplify(sin(x)^2 + cos(x)^2)
ans =
1
>> % 对符号矩阵进⾏化简
>> simplify([(x^2 + 5*x + 6)/(x + 2),sin(x)*sin(2*x) + cos(x) * cos(2*x);(exp(-x*i)*i)/2 - (exp(x*i)*i)/2,sqrt(16)])
ans =
[ x + 3, cos(x)]
[ sin(x), 4]
>> % 使⽤IgnoreAnalyticConstraints规则对符号表达式进⾏化简
>> s = (log(x^2 + 2*x + 1) - log(x + 1)) * sqrt(x^2);
>> simplify(s)
ans =
-(log(x + 1) - log((x + 1)^2))*(x^2)^(1/2)
4.替换符号表达式
当表达式结构复杂、变量较多的时候，引⼊⼀些新的变量进⾏代换，变化结果，从⽽达到解决问题的⽬的，这种⽅法称为变量代换法。matlab提供了subs函数和subexpr函数进⾏变量代换或者叫做符号表达式的替换。
subs函数利⽤符号变量或符号表达式替换⽬标符号表达式中的符号变量
subexpr函数利⽤符号变量替换⽬标符号表达式的某个⼦符号表达式
subs函数：
subs函数可以⽤指定符合替换符号表达式中的某⼀特定符号
R = subs(S)：⽤函数中的值或matlab⼯作区间的值替代符号表达式S中的所有变量，如果没有指定符号变量的值，则返回值中的该符号变量不被替换
R = subs(S,new)：⽤新的符号变量new代替原来的符号表达式S中的默认变量
R = subs(S,old,new)：⽤新的符号变量new替换原来符号表达式S中的变量old，当new是数值形式的符号时，实际上⽤数值替换原来的符号计算表达式的值，结果仍为字符串形式
>> syms a b
>> subs(a + b, a, 4)
ans =
b + 4
>> syms a b;
>> subs(cos(a) + sin(b),{a, b}, {sym('alpha'), 2})
ans =
sin(2) + cos(alpha)
subexpr函数：
subexpr函数将表达式中重复出现的字符串⽤变量代换。
[Y,SIGMA] = subexpr(X, SIGMA)：指定⽤变量SIGMA的值，来代替符号表达式中重复出现的字符串。进⾏替换后，函数的返回值Y，被替换的符号变量由SIGMA返回
[Y,SIGMA] = subexpr(X,'SIGMA')：函数中输⼊参数SIGMA为字符或字符串，⽤来替换符号表达式中重复出现的字符串。进⾏符号替换返回值为Y，被替换的符号变量由SIGMA返回
>> syms a b c d x
>> solutions = solve(a * x ^ 3 + b * x ^ 2 + c * x + d == 0,...
x,'MaxDegree',3);
>> [r,sigma] = subexpr(solutions)
r =
sigma^(1/3) - b/(3*a) - (- b^2/(9*a^2) + c/(3*a))/sigma^(1/3)
(- b^2/(9*a^2) + c/(3*a))/(2*sigma^(1/3)) - sigma^(1/3)/2 + (3^(1/2)*(sigma^(1/3) + (- b^2/(9*a^2) + c/(3*a))/sigma^(1/3))*i)/2 - b/(3*a)
(- b^2/(9*a^2) + c/(3*a))/(2*sigma^(1/3)) - sigma^(1/3)/2 - (3^(1/2)*(sigma^(1/3) + (- b^2/(9*a^2) + c/(3*a))/sigma^(1/3))*i)/2 - b/(3*a)
sigma =
((d/(2*a) + b^3/(27*a^3) - (b*c)/(6*a^2))^2 + (- b^2/(9*a^2) + c/(3*a))^3)^(1/2) - b^3/(27*a^3) - d/(2*a) + (b*c)/(6*a^2)
5.符号函数的操作
matlab提供了把两个符号函数符合成⼀个符号函数的功能函数，同时也提供了对符号函数表达式的逆功能函数
compose函数：函数表达式的符合运算
compose(f,g)：返回函数当f=f(x)和g=g(y)时的符合函数f(g(y)).x为由函数findsym确定的f的符号变量，y有函数findsym确定的g的符号变量
compose(f,g,z)：返回f = f(x) 和 g = g(y) 时的符号函数f(g(z))，返回的函数以z为⾃变量。
compose(f,g,x,z)：返回符合函数f(g(z)),x为函数f的独⽴变量。
compose(f,g,x,y,z)：返回复合函数f(g(z))，并且x为函数f的独⽴变量，y为函数g的独⽴变量
>> syms x y z t u
>> f = 1/(1 + x^2);
>> g = sin(y);
>> h = x^t;
>> p = exp(-y/u);
>> a = compose(f,g)
a =
1/(sin(y)^2 + 1)
>> c = compose(h,g,x,z)
c =
sin(z)^t
finverse函数：实现符号表达式的反函数操作
g = finverse(f)：计算输⼊参数的反函数，f为符号表达式，返回值g也是⼀个符号表达式
g = finverse(f,var)：输⼊参数var为⼀个符号变量，是函数f中的变量，且该函数的返回值g是var为⾃变量。
>> f1 = finverse(log(t))
f1 =
exp(t)
>> f2 = finverse(cos(2 * t) + 1)
f2 =
acos(t - 1)/2
6.符号微积分
符号表达式的极限：
求微分的基本思想是当⾃变量趋近某个值时，求函数值的变化。“⽆穷逼近”是为基本的⼀个基本思想。
matlab中⽤limit函数求表达式的极限
limit(expr, x, a)：求符号函数expr(x)的极限值。即计算当变量x趋近于常量a时，expr(x)的极限值
limit(expr,a)：求符号函数expr(x)的极限值。变量为函数findsym(expr)确定的默认变量
limit(expr)：求符号函数expr(x)的极限值。默认趋近于0
limit(expr, x, a, 'left')：求符号函数expr的极限值。left表⽰变量x从左边趋近于a，换成‘right'，就是从右边趋近去a
>> syms x;
>> f1 = sym((cos(x) + sin(x) - x)/x)
f1 =
(cos(x) - x + sin(x))/x
>> limit(f1,x,inf)
ans =
-1
>> limit(f1,x,0)
ans =
NaN
diff函数符号表达式的微分：
diff可以完成⼀元或多元函数的任意阶数的微分，对于⾃变量的个数多余⼀个的符号矩阵，微分为Jocabian矩阵，采⽤jacobian函数实现微分
(1) diff函数
diff(expr)：没有指定变量和导数阶数，则系统按findsym函数指⽰的默认变量对符号表达式expr求⼀阶导数
diff(expr,v)：指定符号表达式的变量v
diff(expr,sym('v'))：计算符号表达式expr的⼀阶导数，以符号变量v为⾃变量
diff(expr,n)：对符号表达式expr求n阶导数
diff(expr,v,n)：计算符号表达式expr的n阶导数，以符号变量v为⾃变量
>> f = exp(-2*x) * cos(2*x^0.5)
f =
exp(-2*x)*cos(2*x^(1/2))
>> g = diff(f,4)
g =
16*exp(-2*x)*cos(2*x^(1/2)) - (24*exp(-2*x)*cos(2*x^(1/2)))/x - (11*exp(-2*x)*cos(2*x^(1/2)))/x^2 - (15*exp(-2*x)*cos(2*x^(1/2)))/(4*x^3) + (32*exp(-2*x)*sin(2*x^(1/
>> pretty(g)
exp(-2 x) #2 24 exp(-2 x) #2 11
exp(-2 x) #2 16 - --------------- - ---------------
x 2
x
exp(-2 x) #2 15 exp(-2 x) #1 32 exp(-2 x) #1 4
- --------------- + --------------- + --------------
3 sqrt(x) 3/2
4 x x
exp(-2 x) #1 3 exp(-2 x) #1 15
+ -------------- + ---------------
5/2 7/2
x 8 x
where
#1 == sin(2 sqrt(x))
#2 == cos(2 sqrt(x))
(2) jacobian函数
matlab中，提供了jacobian函数⽤于求多元函数的导数。
jacobian(f,v)：计算数量或向量f对于向量v的jacobian矩阵。函数的返回值第i⾏第j列的数位df(i)/dv(j).当f为数量时，该函数返回f的梯度。参数v可以是数量，jacobian(f,v)等价于diff(f,v).
>> syms x y z
>> f = [x*y*z; y; x+z];
>> v = [x, y, z];
>> R = jacobian(f,v)
R =
[ y*z, x*z, x*y]
[ 0, 1, 0]
[ 1, 0, 1]
>> b = jacobian(x+z,v)
b =
[ 1, 0, 1]
符号表达式的积分:
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