解：$\int x \cdot e^{- x^{2}} \text{ }dx$
$$= \int x \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} \text{ }dx$$
首先，将函数拆分为两个部分：
第一部分：$\int x \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} \text{ }dx$
第二部分：$\int \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} \text{ }dx$
第一部分是解一个二次积分，其对称轴为y轴。注意这里使用的是奇函数对称的性质，因此只需求出y轴左侧的积分即可。
第一部分的具体求解过程如下：
$x \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$，其中x为常数。因此，我们有：
$\int x \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} \text{ }dx = \int_{\mspace{2mu}} \frac{\text{ }x}{\sqrt{x^{2} + 1}} \text{ }dx$
由于此积分对称于y轴，我们只需求出x轴左侧的积分即可。令x轴在原点左侧取微小量dx，那么原点右侧的积分即为负数。由于x轴两侧的函数为奇函数，所以我们可以对其中一个进行求导。那么有：
$\int_{\mspace{2mu}} \frac{\text{ }x}{\sqrt{x^{2} + 1}} \text{ }dx = - \int_{\mspace{2mu}} \frac{\text{ }- x}{\sqrt{x^{2} + 1}} \text{ }dx = - \int_{\mspace{2mu}} \frac{\text{ }- x}{\sqrt{- x^{2} + 1}} \text{ }dx$
最后对积分取负号得到正的结果，然后按照分步积分的方式进行求解。即先对x进行积，再对括号里的内容进行积分，这样分步进行有利于解题思路清晰和简便。根据微积分基本定理，可得到：
$\int_{\mspace{2mu}} \frac{\text{ }x}{\sqrt{- x^{2} + 1}} \text{ }dx = - x\sqrt{- x^{2} + 1} + C$
现在回到原问题，我们得到了第一部分的积分结果：
第一部分积分结果：$- x\sqrt{- x^{2} + 1} + C$
接下来求解第二部分积分：$\int_{\mspace{2mu}} \frac{\text{ }1}{\sqrt{1 + x^{2}}} \text{ }dx$
这个积分的思路很简单，就是直接按照公式求解即可。根据微积分基本定理，可得到：
htmlradio的text出不来$\int_{\mspace{2mu}} \frac{\text{ }1}{\sqrt{1 + x^{2}}} \text{ }dx = \ln{\sqrt{1 + x^{2}} + C}$
所以，最终的积分结果为：
$\int_{\mspace{2mu}} x \cdot e^{- x^{2}} \text{ }dx = - x\sqrt{- x^{2} + 1} + C_{1} + \ln{\sqrt{1 + x^{2}} + C_{2}}$（其中C_{1}和C_{2}为常数）
至于具体的常数C_{1}和C_{2}的值，需要根据具体的积分上下文来确定。

版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。