斐波那契数列
斐波那契数列
  “斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年。籍贯大概是比萨）。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
  斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21……
  这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。它的通项公式为：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。）【√5表示根号5】
  很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
【该数列有很多奇妙的属性】
  比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887……
  如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。
  5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6……等，你将发现随着数列的发展，前后两项之比也越来越逼近黄金分割，且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值。如果所有的数都要求是自然数，能出被任意正整数整除的项的此类如果任意挑两个
数为起始，比如5、-2.4，然后两项两项地相加下去，形成数列，必然是斐波那契数列的某项开始每一项的倍数，如4,6,10,16,26……（从2开始每个数的两倍）。
  斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。
  斐波那契数列（f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2……）的其他性质：
  1.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1
  2.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)-1
  3.f(0)+f(2)+f(4)+…+f(2n)=f(2n+1)-1
  4.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)
  5.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+1
  6.f(m+n)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n)
  7.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1)·f(n+1)
  8.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2
  9.3f(n)=f(n+2)+f(n-2)
  10.f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1,且n≥1]
  在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列
  1
  1 1
  c语言斐波那契数列1 2 1
  1 3 3 1
  1 4 6 4 1
  ……
  过第一行的“1”向左下方做45度斜线，之后做直线的平行线，将每条直线所过的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8……
  （1）细察下列各种花，它们的花瓣的数目具有斐波那契数：延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花。
  （2）细察以下花的类似花瓣部分，它们也具有斐波那契数：紫宛、大波斯菊、雏菊。
  斐波那契数经常与花瓣的数目相结合：
  3………………………百合和蝴蝶花
  5………………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草
  8………………………翠雀花
  13………………………金盏草
  21………………………紫宛
  34，55，89……………雏菊
  （3）斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那息叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。
  （4）斐波那契数列与黄金比值
  相继的斐波那契数的比的数列：
  它们交错地或大于或小于黄金比的值。该数列的极限为。这种联系暗示了无论（尤其在自然现象中）在哪里出现黄金比、黄金矩形或等角螺线，那里也就会出现斐波那契数，反之亦然。
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【与之相关的数学问题】
  1.排列组合.
  有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法?
  这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法……
  1，2，3，5，8，13……所以，登上十级，有89种
  2.数列中相邻两项的前项比后项的极限.
  就是问，当n趋于无穷大时，F(n)/F(n+1)的极限是多少？
  这个可由它的通项公式直接得到，极限是(-1+√5)/2，这个就是所谓的黄金分割点，也是代表大自然的和谐的一个数字。
  3.求递推数列a(1)=1,a(n+1)=1+1/a(n).的通项公式.
  由数学归纳法可以得到：a(n)=F(n+1)/F(n).将菲波那契数列的通项式代入，化简就得结果。
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【斐波那契数列别名】
 
  斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。
  斐波那契数列
  一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？
  我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：
  第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对;
  两个月后，生下一对小兔民数共有两对;
  三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对;
  －－－－－－
  依次类推可以列出下表：
  经过月数：---0---1---2---3---4---5---6---7---8---9--10--11--12
  兔子对数：---1---1---2---3---5---8--13--21--34--55--89-144-233
  表中数字1，1，2，3，5，8－－－构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。
  这个特点的证明：每月的大兔子数为上月的兔子数，每月的小兔子数为上月的大兔子数，即上上月的兔子数，相加。
  这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在＜算盘全书＞中提出的，这个级数的通项公式，
除了具有a(n+2)=an+a(n+1)/的性质外，还可以证明通项公式为：an=1/√[（1＋√5/2) n-(1-√5/2) n](n=1,）
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【斐波那挈数列通项公式的推导】
  斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21……
  如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式：
  F(0) = 0，F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)
  显然这是一个线性递推数列。
  通项公式的推导方法一：利用特征方程
  线性递推数列的特征方程为：
  X^2=X+1
  解得
  X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2.
  则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n
  ∵F(1)=F(2)=1
  ∴C1*X1 + C2*X2
  C1*X1^2 + C2*X2^2
  解得C1=1/√5，C2=-1/√5

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