最小二乘辨识方法的优劣比较
摘 要：本文系统的探讨了三种最小二乘类辨识方法的原理和性能，并对各种方法在各种不同的环境下进行了MATLAB仿真，仿真结果证明：最小二乘法不适合实时处理，在同等情况下，递推最小二乘的辨识速度较快，但在有噪声干扰下效果不理想，广义最小二乘法的辨识效果最好，且不受噪声是否有的影响，但是费时最多。
关键词：最小二乘 辨识速度 MATLAB仿真
1 引言
系统辨识是一门介于现代控制理论和系统理论的边缘学科．它将现代控制论的平滑、滤波、预测和参数估计理论，以及系统论的系统分析方法和建模思想应用于自然科学、社会科学和工程实践中的各个领域，与各个领域的专业知识相给合，形成了一个个新的交叉学科分支。
关于系统辨识的含义，早在1962年Zacleh曾作如下定义：“根据系统的输入和输出，在指定的一类系统中确定一个相被辨识系统等价的系统”。根据这个定义，在系统辨识中必须确定三方面的问题；第一，必须指定一类系统．即根据先验信息确定系统模型的类型。第二，必须
规定一类插入信号。例如正弦信号、阶跃信号、脉冲信号、白噪声、伪随机信号等。而且这些信号从时域考虑，必须能持续地激励系统的所有状态；从频域考虑，输入信号的频带能覆盖系统的频带宽度。第三，必须规定“系统等价”的含义及其度量准则。
2 线性系统的辨识
2.1 问题描述
考虑如下线性系统：
（1）
其中，u(k)为系统激励信号，y(k)为系统输出，e(k)为模型噪声。其系统模型如图1所示：
图1 SISO的系统模型结构图
其中G(z-1)是系统函数模型，N(z-1)为有噪声系统模型，e(k)为白噪声v(k)经过系统函数为N(z-1)的系统后的输出。通常
（2）
式中： （3）
（4）
则系统可表示为： （5）
设样本和参数集为：
（6）
h(k)为可观测的量， 差分方程可写为最小二乘形式
（7）
如何系统噪声e(k)存在的情况下从该方程中正确的解出，即是系统辨识的任务。
为了求出，我们面临三大问题：一是输入信号的选择，二是判决准则的选取，三是辨识算法的选择，下面一一探讨。
2.2 选择输入
为了准确辨识系统参数，我们对输入信号有两大要求，一是信号要能持续的激励系统所有状态，二是信号频带能覆盖系统的频带宽度。除此之外还要求信号有可重复性，不能是不可重复的随机噪声，因此我们通常选择M序列或逆M序列作为输入。
2.3 准则函数
因为本文主要探讨最小二乘类辨识方法，在此选取准则函数
（8）
normrnd函数用法使准则函数的估计值记做，称作参数的最小二乘估计值。
在式(7)中，令k=1,2,3,……L，可构成线性方程组：
（9）
式中
（10）
准则函数相应变为：
（11）
极小化,求得参数的估计值，将使模型更好的预报系统的输出。
2.4 辨识算法
常用的最小二乘类辨识方法有下列三种：最小二乘法，递推最小二乘法和广义最小二乘法。
2.4.1 最小二乘法
设使得，则有
（12）
展开上式，并根据以下两个向量微分公式：
（13）
得正则方程： （14）
当为正则阵时，有 （15）
且有，所以满足式（15）的唯一使得，这种通过极小化式（11）计算的方法称作最小二乘法。而且可以证明，当噪声e(k)是均值为0的高斯白噪声时，可实现无偏估计。
2.4.2 递推最小二乘算法
为了减少计算量，减少数据在计算机中占用的存，并实时辨识出系统动态特性，我们常利用最小二乘法的递推形式。下面我们来推导递推最小二乘算法的原理。
首先，将式(11)的最小二乘一次完成算法写为
（16）
定义
（17）
式中
（18）
式中，h(i)是一个列向量，也就是HL的第i行的倒置，P(k)是一个方阵，他的维数取决于未知参数的个数，假设未知参数的个数是n，则P(k)的维数是n×n.。
由式17可得P(k)的递推关系为：
（19）
设
（20）
则
（21）
由此可得： （22）
由式19和22可得
（23）
引进增益矩阵K(k)，定义 （24）
式（23）可以进一步写为 （25）
接下来可以进一步把式(20)写为
（26）
利用矩阵反演公式
将式（26）演变成
（27）
将上式代入式(24)，整理后可得
(28)
综合式25、27和28可得最小二乘递推参数估计算法RLS
（29）
2.4.3 广义最小二乘法
设SISO系统采用如下模型：
（30）
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