专题04数列中的应用问题
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数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的根底.高考对本章的考察比拟全面，等差数列、等比数列的考察每年都不会遗漏.一般情况下都是一个客观题和一个解答题，分值占整个试卷的10%左右.
数列在实际问题中也有广泛的应用，如增长率、银行信贷、浓度匹配、养老保险等问题，其中，以函数迭代、解析几何中曲线上的点列为命题载体和有着高等数学背景的数列解答题是未来高考的一个新的亮点。
【考纲知识梳理】
数列的综合应用
1、解答数列应用题的步骤：
〔1〕审题——仔细阅读材料，认真理解题意；
〔2〕建模——将条件翻译成数学〔数列〕语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么；
〔3〕求解——求出该问题的数学解；
〔4〕复原——将所求结果复原到实际问题中。
2、数列应用题常见模型
〔1〕等差模型：如果增加〔或减少〕的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加〔或减少〕的量就是公差；
〔2〕等比数列：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比。
注：银行储蓄单利公式及复利公式所属模型分别是：
单利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，那么本利和，属于等差模型；
复利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，那么本利和，属于等比模型。
〔3〕递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是与的递推关系，还是前n项和与之间的递推关系。
【热点难点精析】
以等差数列为模型的实际应用
※相关※
1、解等差数列应用题，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差数列问题，使关系明朗化、标准化。然后用等差数列知识求解。这其中表达了把实际问题数学化的能力，也就是所谓的数学建模能力。
2、解等差数列应用题的关键是建模，建模的思路是：
从实际出发，通过抽象概括建立数列模型，通过对模型的解析，再返回实际中去，其思路
框图为：
※例题解析※
〖例〗气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第n天的维修保养费为,使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少)为止,一共使用了多少天"
以等比数列为模型的实际应用数学数组的定义是什么
※相关※
1、函数的实际应用问题中，有许多问题以等比数列为模型，此类问题往往从应用问题给出的初始条件入手，推出假设干项，逐步探索数列通项或前n项和，或前后两项的递推关系，从而建立等比数列模型，要注意题目给出的一些量的结果，合理应用。
2、与等比数列联系较大的是“增长率〞、“递减率〞的概念，在经济上多涉及利润、本钱、效益的增减问题；在人口数量的研究中也要研究增长率问题；金融问题更多涉及复利的问
题。这都与等比数列有关。
※例题解析※
〖例〗我国是一个人口大国，随着时间推移，老龄化现象越来越严重，为缓解社会和家庭压力，决定采用养老储藏金制度，公民在就业的第一年交纳养老储藏金，数目为，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0),因此，历年所交纳的储藏金数目是一个公差为d 的等差数列。与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利。这就是说，如果固定利率为r(r>0),那么，在第n年末，第一年所交纳的储藏金就变为，第二年所交纳的储藏金就变为以表示到第n年所累计的储藏金总额。
〔1〕写出与〔n≥2〕的递推关系式；
〔2〕求证：，其中是一个等比数列，是一个等差数列。
2、正方形ABCD的边长是a，依次连接正方形ABCD各边中点得到一个新的正方形，再依次连接正方形各边中点又得到一个新的正方形，依此得到一系列的正方形，如下图。现有一
只小虫从A点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段。那么这10条线段的长度的平方和是〔〕
A． B． C． D．
3、如图，在杨辉三角中，斜线l的上方，从1开场箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前n项和为Sn，那么S19等于(    )
A.129 B.172 C.228 D.283
4、用砖砌墙,第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半多一块……依次类推，每一层都用去了前一层剩下的一半多一块,如果到第九层恰好砖用完,那么共用去砖的块数为
A.1018 B.1020 C.1022 D.1024
5、 (理)用n个不同的实数a1,a2,a3,…,an,得到n!个不同的排列，每个排列为一行，可写出
一个n!行的数阵.第i行为ai1,ai2,ai3,…,ain,记bi=-ai1+2ai2-3ai3+…+(-1)nnain,i=1,2,3,…，n!.例如：用1，2，3可得数阵(如以下图).由于每行都是1，2，3的一个排列，其中1作排头的有A22=2个，于是每一列中1，2，3都分别出现2次，所以此数阵每一列各数之和都是(1+2+3)×2=12,所以b1+b2+b3+…+b6=-12+2×12-3×12=-24.那么用1,2,3,4,5,形成的数阵中b1+b2+b3+…+b120等于
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1
A.-3 600B.1 800 C.-1 080 D.-720
6、弹子跳棋共有60颗大小一样的球形弹子，现在棋盘上将它叠成正四面体球垛，使剩下的弹子尽可能得少，那么剩下的弹子有(    )
A.3 B.4 C.8 D.9
7、一种跳格游戏，某人从格外只能进入第一格，在格中每次可向前跳1格或2格，那么从格外跳到第8格的跳法种数为
A.21 B.26 C.17D.13
5、一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占据内存是原来的2倍，那么开机后，该病毒占据64MB(1MB=210KB)内存需经过的时间为(    )
8、某人从2001年起，每年1月1日到银行存人a元一年定期储蓄，假设年利率为p且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2008年1月1日将所有存款和利息全部取回，那么可取回的钱的总数(元)为(    )
A.a(1+p)7B.a(1+p)8
C.[(1+p)7-(1+p)] D.[(1+p)8-(1+p)]
9、将n2个正整数1,2,3,…,n2填入到n×n个方格中,使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等,这个正方形就叫做n阶幻方.以下图就是一个3阶幻方.定义f(n)为n阶幻方对角线上数的和.例如f(3)=15,那么f(4)是(    )
8
1
6
3
5
7
4
9
2
A.32 B.33 C.34 D.35
10、某班试用电子投票系统选举干部候选人.全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1,2,…,k.规定：同意按“1〞，不合意〔含弃权〕按“0〞.令
aij=
其中i=1,2,…，k,且j=1,2,…,k，那么同时同意第1，2号同学中选的人数为…〔 〕
A.a11+a12+…a1k+a21+a22+…+a2k B.a11+a21+…+ak1+a22+…+ak2
C.a11a12+a21a22+…+ak1ak2 D.a11a21+a12a22+…+a1ka2k
11、对于一个有限数列P=(P1,P2,…,Pn)，P的蔡查罗和(蔡查罗为一数学家)定义为(S1+S2+…+Sn)，其中Sk=P1+P2+…+Pk(1≤k≤n)，假设一个99项的数列(P1,P2,…,P99)的蔡查罗和为1 000，那么100项数列(1,P1,P2,…,P99)的蔡查罗和为
A.991 B.992 C.993 D.999
12、用n个不同的实数a1,a2,…,an可得到n!个不同的排列，每个排列为一行写成一个n!行的数阵.对第i行ai1,ai2,…,ain，记bi=-ai1+2ai2-3ai3+…+(-1)nnam，i=1,2,3,…,n!.例如：用1，2，3可得数阵如以下图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，b1+b2+…+b6=-12+2×12-3×12=-24，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，b1+b2+…+b120等于〔〕
A.-3 600 B.1 800 C.-1 080 D.-720
14、某医院购置一台医疗设备价格为ａ万元，实行分期付款，每期付款数一样，每月为一期，如果按月利率８‰，每月复利一次,假设6个月付清，共付ｘ万元，假设12个月付清,共付ｙ万元，那么ｘ、ｙ满足()
A.ｘ＝ｙ  B.ｘ＜ｙ  C.ｘ＞ｙ　D.ｘ≥ｙ
15、对于一个有限数列P=(P1,P2,…,Pn)，P的蔡查罗和(蔡查罗为一数学家)定义为(S1 +S2+…+Sn)，其中Sk=P1+P2+…+Pk(1≤k≤n)，假设一个99项的数列(P1,P2,…,P99)的蔡查罗和为1 000，那么100项数列(1,P1,P2,…,P99)的蔡查罗和为
A.991B.992 C.993 D.999
16、某林厂年初有森林木材存量S m3，木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量x m3，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，那么x的值是(    )
A. B. C. D.
17、一批花盆堆成三角形垛，顶层一个，以下各层排成正三角形，逐层每边增加一个花盆，
假设第n层与第n+1层花盆总数分别为f(n)和f(n+1)，那么f(n)与f(n+1)的关系为(    )
A.f(n+1)-f(n)=n+1 B.f(n+1)-f(n)=n C.f(n+1)=f(n)+2n D.f(n+1)-f(n)=1
18、如下图是毕达哥拉斯的生长程序：正方形一边上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形两直角边再分别连接着一个正方形，如此继续下去，共得到127个正方形.假设最后得到的正方形的边长为1，那么初始正方形的边长为_____________.
19、图(1)(2)(3)(4)分别包含1个、5个、13个、25个第十九届奥运会桔祥物“福娃迎迎〞,按同样的方式构造图形,设第n个图形包含f(n)个“福娃迎迎〞,那么f(n)= ___________.

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